Anmerkung 2

In die Natur der Quantität, diese einfache Einheit der Diskretion und der Kontinuität zu sein, fällt der Streit oder die Antinomie der unendlichen Teilbarkeit des Raumes, der Zeit, der Materie u. s. f.

Diese Antinomie besteht allein darin, daß die Diskretion eben so sehr als die Kontinuität behauptet werden muß. Die einseitige Behauptung der Diskretion gibt das unendliche oder absolute Geteiltsein, somit ein Unteilbares zum Prinzip; die einseitige Behauptung der Kontinuität dagegen die unendliche Teilbarkeit.

Die Kantische Kritik der reinen Vernunft stellt bekanntlich vier (kosmologische) Antinomien auf, worunter die zweite den Gegensatz betrifft, der die Momente der Quantität ausmacht.

Diese Kantischen Antinomien bleiben immer ein wichtiger Teil der kritischen Philosophie; sie sind es vornehmlich, die den Sturz der vorhergehenden Metaphysik bewirkten, und als ein Hauptübergang in die neuere Philosophie angesehen werden können. Bei ihrem großen Verdienste aber ist ihre Darstellung sehr unvollkommen; teils in sich selbst gehindert und verschroben, teils schief in Ansehung ihres Resultats. Wegen ihrer Merkwürdigkeit verdienen sie eine genauere Kritik, die sowohl ihren Standpunkt und Methode näher beleuchten, als auch den Hauptpunkt, worauf es ankommt, von der unnützen Form, in die er hineingezwängt ist, befreien wird.

Zunächst bemerke ich, daß Kant seinen vier kosmologischen Antinomien durch das Einteilungsprinzip, das er von seinem Schema der Kategorien hernahm, einen Schein von Vollständigkeit geben wollte. Allein die tiefere Einsicht in die antinomische oder wahrhafter, in die dialektische Natur der Vernunft faßt überhaupt jeden Begriff als Einheit entgegengesetzter Momente, denen man die Form antinomischer Behauptungen geben könnte. Werden, Dasein u. s. f. und jeder andere Begriff könnte daher seine besondere Antinomie liefern, und also so viele Antinomien aufgestellt werden, als Begriffe aufgestellt werden.

Ferner hat Kant die Antinomie nicht in den Begriffen selbst, sondern in der schon konkreten Form kosmologischer Bestimmungen aufgefaßt. Um die Antinomie rein zu haben und sie in ihrem einfachen Begriffe zu behandeln, mußten die Denkbestimmungen nicht in ihrer Anwendung und Vermischung mit der Vorstellung der Welt, des Raums, der Zeit, der Materie u. s. f. genommen, sondern ohne diesen konkreten Stoff, der keine Kraft noch Gewalt dabei hat, rein für sich betrachtet werden, indem sie allein das Wesen und der Grund der Antinomien ausmachen.

Kant gibt diesen Begriff von der Antinomie, daß sie „nicht sophistische Künsteleien seien, sondern Widersprüche, auf welche die Vernunft notwendig stoßen (nach Kantischem Ausdrucke) müsse;“ — was eine wichtige Ansicht ist. — „Von dem natürlichen Scheine der Antinomien werde die Vernunft, wenn sie seinen Grund einsieht, zwar nicht mehr hintergegangen, aber immer noch getäuscht.“ — Die kritische Auflösung nämlich durch die sogenannte transzendentale Idealität der Welt der Wahrnehmung hat kein anderes Resultat, als daß sie den sogenannten Widerstreit zu etwas subjektivem macht, worin er freilich noch immer derselbe Schein, d. h. so unaufgelöst bleibt als vorher. Ihre wahrhafte Auflösung kann nur darin bestehen, daß zwei Bestimmungen, indem sie entgegengesetzt und demselben Begriffe notwendig sind, nicht in ihrer Einseitigkeit, jede für sich, gelten kann, sondern daß sie ihre Wahrheit nur in ihrem Aufgehobensein haben.

Die Kantischen Antinomien näher betrachtet, enthalten nichts anders, als die ganz einfache kategorische Behauptung eines jeden der zwei entgegengesetzten Momente der Antinomie. Aber dabei ist diese einfache kategorische oder eigentlich assertorische Behauptung in ein schiefes, verdrehtes Gerüste von Räsonnement eingehüllt, wodurch ein Schein von Beweisen hervorgebracht, und das bloß Assertorische der Behauptung versteckt und unkenntlich gemacht werden soll; wie sich dies bei der nähern Betrachtung derselben zeigen wird.

Die Antinomie, die hierher gehört, betrifft die sogenannte unendliche Teilbarkeit der Materie, und beruht auf dem Gegensatze der Momente der Kontinuität und Diskretion, welche der Begriff der Quantität in sich enthält.

Die Thesis derselben nach Kantischer Darstellung lautet so:

Eine jede zusammengesetzte Substanz in der Welt besteht aus einfachen Teilen, und es existiert überall nichts als das Einfache, oder was aus diesem zusammengesetzt ist.

Es wird hier dem Einfachen, dem Atomen, das Zusammengesetzte gegenübergestellt, was gegen das stetige oder Kontinuierliche eine sehr zurückstehende Bestimmung ist. — Das Substrat, das diesen Abstraktionen gegeben ist, nämlich empirische Substanzen in der Welt, was hier weiter nichts heißt, als die Dinge, wie sie sinnlich wahrnehmbar sind, hat auf das Antinomische selbst keinen Einfluß; es konnte eben so gut auch Raum und Zeit genommen werden. — Indem nun die Thesis nur von Zusammensetzung statt von Kontinuität lautet, so ist sie eigentlich ein analytischer oder tautologischer Satz. Daß das Zusammengesetzte nicht an und für sich, sondern nur ein äußerlich Verknüpftes ist, und aus Anderem besteht, ist seine unmittelbare Bestimmung. — Das Andre aber des Zusammengesetzten ist das Einfache. Es ist daher ein tautologischer Satz, daß das Zusammengesetzte aus Einfachem besieht. — Wenn einmal gefragt wird, aus was Etwas bestehe, so verlangt man ein Anderes, dessen Verbindung jenes Etwas ausmache. Läßt man die Tinte wieder aus Tinte bestehen, so ist der Sinn der Frage nach dem Bestehen verfehlt, sie ist nicht beantwortet. Die Frage ist denn allein noch, ob das, wovon die Rede ist, aus etwas bestehen soll, oder nicht. Aber das Zusammengesetzte ist schlechthin ein solches, das nicht unmittelbar, nicht an und für sich, sondern ein vermitteltes, ein verbundenes ist, und aus anderem besteht. Wenn es daher wieder aus Zusammengesetztem bestehen soll, so bleibt die Frage: aus was das Zusammengesetzte bestehe? vor wie nach; weil sie im Zusammengesetzten selbst liegt. — Wird das Einfache, welches das Andre des Zusammengesetzten und dasjenige, nach welchem gefragt wird, nur für ein relativ-einfaches genommen, das für sich wieder zusammengesetzt sei, so wird die Antwort wieder in jene: daß die Tinte aus Tinte bestehe, verwandelt, und somit die Frage nur wiederholt. Der Vorstellung pflegt nur dies oder jenes Zusammengesetzte vorzuschweben, von dem auch dies oder jenes Etwas als sein Einfaches angegeben würde, was etwa wieder für sich ein Zusammengesetztes wäre. Aber es ist von dem Zusammengesetzten als solchem die Rede. Es kann also auch nicht wieder gefragt werden, aus was von neuem das Einfache bestehe, das selbst ein Zusammengesetztes sei; denn das Einfache ist nicht ein Zusammengesetztes, sondern vielmehr das Andre des Zusammengesetzten.

Was nun den Kantischen Beweis der Thesis betrifft, so macht er, wie alle Kantischen Beweise der übrigen antinomischen Sätze, den Umweg, der sich als sehr überflüssig zeigen wird, apogogisch zu sein.

„Nehmet an, beginnt er, die zusammengesetzten „Substanzen beständen nicht aus einfachen Teilen; so „würde, wenn alle Zusammensetzung in Gedanken aufgehoben würde, kein zusammengesetzter Teil und da es „(nach der so eben gemachten Annahme) keine einfache „Teile gibt, auch kein einfacher, mithin gar nichts „übrig bleiben, folglich keine Substanz sein gegeben „worden.“ —

Diese Folgerung ist ganz richtig: wenn es nichts als Zusammengesetztes gibt, und man denkt sich alles Zusammengesetzte weg, so hat man gar nichts übrig; — man wird dies zugeben, aber dieser tautologische Überfluß konnte wegbleiben, und der Beweis sogleich mit dem folgenden anfangen:

„Entweder lässt sich unmöglich alle Zusammensetzung „in Gedanken aufheben, oder es muß nach deren Aufhebung etwas ohne alle Zusammensetzung bestehendes, „d. i. das Einfache, übrig bleiben.“

„Im erstern Fall aber würde das Zusammengesetzte „wiederum nicht aus Substanzen bestehen (weil bei „diesen die Zusammensetzung nur eine zufällige Relation der Substanzen ³ ist, oh ne welche diese als für sich beharrliche „Wesen, bestehen müssen.) — Da nun dieser „Fall der Voraussetzung widerspricht, so bleibt nur der „zweite übrig: daß nämlich das substantielle Zusammengesetzte in der Welt aus einfachen Teilen bestehe.“

Derjenige Grund, welcher nebenher in eine Parenthese gelegt ist, ist in der Tat die Hauptsache, gegen welche alles bisherige völlig überflüssig ist. Das Dilemma ist dieses: Entweder ist das Zusammengesetzte das Bleibende, oder nicht, sondern das Einfach[e]. Wäre das erstere, nämlich das Zusammengesetzte das Bleibende, so wäre das Bleibende nicht die Substanzen, denn diesen ist die Zusammensetzung nur zufällige Relation; aber Substanzen sind das Bleibende, also sind sie einfach.

Es erhellt, daß ohne den apogogischen Umweg, an die Thesis: Die zusammengesetzte Substanz besteht aus einfachen Teilen, unmittelbar jener Grund als Beweis angeschlossen werden konnte, weil die Zusammensetzung bloß eine zufällige Relation der Substanzen ist, welche ihnen also äußerlich ist, und die Substanzen selbst nichts angeht. — Hat es mit der Zufälligkeit der Zusammensetzung seine Richtigkeit, so ist das Wesen freilich das Einfache. Diese Zufälligkeit aber, auf welche es allein ankommt, wird nicht bewiesen, sondern geradezu, und zwar im Vorbeigehen, in Parenthese angenommen, als etwas das sich von selbst versteht oder eine Nebensache ist. Es versteht sich zwar allerdings von selbst, daß die Zusammensetzung die Bestimmung der Zufälligkeit und Äußerlichkeit ist; allein unter Zusammensetzung sollte die Kontinuität zu verstehen sein, und diese dann freilich nicht in einer Paranthese abgetan werden.

In dem apogogischen Umwege sehen wir somit die Behauptung selbst vorkommen, die aus ihm resultieren soll. Kürzer lässt sich der Beweis so fassen:

Man nehme an, die zusammengesetzten Substanzen bestünden nicht aus einfachen Teilen. Nun aber kann man alle Zusammensetzung in Gedanken aufheben, (denn sie ist nur eine zufällige Relation;) also blieben nach deren Aufhebung keine Substanzen übrig, wenn sie nicht aus einfachen Teilen bestünden. Substanzen aber müssen wir haben, denn wir haben sie angenommen; es soll uns nicht alles verschwinden, sondern Etwas übrig bleiben, denn wir haben ein solches Beharrliches, das wir Substanz nannten, vorausgesetzt; dies Etwas muß also einfach sein.

Es gehört noch zum Ganzen, den Schlußsatz zu betrachten; er lautet folgendermaßen:

„Hieraus folgt unmittelbar, daß die Dinge der „Welt insgesamt einfache Wesen sein, daß die Zusammensetzung nur ein äußerer Zustand „derselben sei, und daß die Vernunft die Elementarsubstanzen, als einfaches Wesen denken müsse.“

Hier sehen wir die Zufälligkeit der Zusammensetzung als Folge aufgeführt, nachdem sie vorher im Beweise parenthetisch eingeführt, und in ihm gebraucht worden war.

Kant protestiert sehr, daß er bei den widerstreitenden Sätzen der Antinomie nicht Blendwerke suche, um etwa (wie man zu sagen pflege) einen Advokatenbeweis zu führen. Der betrachtete Beweis ist nicht so sehr eines Blendwerks zu beschuldigen, als einer unnützen gequälten Geschrobenheit, die nur nötig war, um die äußere Gestalt eines Beweises hervorzubringen, und es nicht in seiner ganzen Durchsichtigkeit zu lassen, daß das was als Folgerung hervortreten sollte, in Parenthese der Angel des Beweises war.

Die Antithesis lautet:

Kein zusammengesetztes Ding in der Welt besteht aus einfachen Teilen, und es existiert überall nichts Einfaches in derselben.

Der Beweis ist gleichfalls apogogisch gewendet, und auf eine andere Weise eben so tadelhaft als der vorige.

„Setzet, heißt es, ein zusammengesetztes Ding „(als Substanz) bestehe aus einfachen Teilen. Weil „alles äußere Verhältnis, mithin auch alle Zusammensetzung aus Substanzen nur im Raume möglich ist, so muß, aus so vielen Teilen das Zusammengesetzte bestehet, aus so vielen Teilen auch der Raum „bestehen, den es einnimmt. Nun besteht der Raum nicht „aus einfachen Teilen, sondern aus Räumen. Also „muß jeder Teil des Zusammengesetzten einen Raum „einnehmen.“

„Die schlechthin ersten Teile aber alles Zusammengesetzten sind einfach.“

„Also nimmt das Einfache einen Raum ein.“

„Da nun alles Reale, was einen Raum einnimmt, „ein außerhalb einander befindliches Mannigfaltiges in „sich fasset, mithin zusammengesetzt ist, und zwar aus „Substanzen, so würde das Einfache ein substantielles „Zusammengesetztes sein. Welches sich widerspricht.“

Dieser Beweis kann ein ganzes Nest (um einen sonst vorkommenden Kantischen Ausdruck zu gebrauchen) von fehlerhaftem Verfahren genannt werden.

Zunächst ist die apogogische Wendung ein durchaus grundloser Schein. Denn die Annahme, daß alles substantielle räumlich sei, der Raum aber nicht aus einfachen Teilen bestehe, ist eine direkte Behauptung, die den unmittelbaren Grund des zu Beweisenden ausmacht und mit dem das ganze Beweisen fertig ist.

Alsdann fängt dieser apogogische Beweis mit dem Satze an: „daß alle Zusammensetzung aus Substanzen, ein äußeres Verhältnis sei,“ vergißt ihn aber sonderbar genug, sogleich wieder. Es wird nämlich fortgeschlossen, daß die Zusammensetzung nur im Raume möglich sei, der Raum bestehe aber nicht aus einfachen Teilen, das Reale, das einen Raum einnehme, sei mithin zusammengesetzt. Da einmal die Zusammensetzung als ein äußerliches Verhältnis angenommen ist, so ist die Räumlichkeit, als in der allein die Zusammensetzung möglich sein soll, eben darum selbst ein äußerliches Verhältnis, das die Substanzen nichts angeht, und ihre Natur nicht berührt, so wenig als das übrige, was man aus der Bestimmung der Räumlichkeit noch folgern kann.

Ferner ist vorausgesetzt, daß der Raum, in den die Substanzen hier versetzt werden, nicht aus einfachen Teilen bestehe; weil er eine Anschauung, nämlich, nach Kantischer Bestimmung, eine Vorstellung, die nur durch einen einzigen Gegenstand gegeben werden könne, und kein diskursiver Begriff sei. — Bekanntlich hat sich aus dieser Kantischen Unterscheidung von Anschauung und Begriff viel Unfug mit dem Anschauen entwickelt, und um das Begreifen zu ersparen, ist der Wert und das Gebiet derselben ins Unendliche erweitert worden. Hierher gehört nur, daß der Raum, wie auch die Anschauung selbst zugleich begriffen werden müsse; wenn man nämlich überhaupt begreifen will. Damit entstünde die Frage, ob der Raum nicht, wenn er auch als Anschauung einfache Kontinuität wäre, nach seinem Begriffe als aus einfachen Teilen bestehend, gefaßt werden müsse, oder der Raum träte in dieselbe Antinomie ein, in welche nur die Substanz versetzt wurde. In der Tat wenn die Antinomie abstrakt gefaßt wird, betrifft sie, wie erinnert, die Quantität überhaupt und somit Raum und Zeit eben so sehr.

Weil aber einmal im Beweise angenommen ist, daß der Raum nicht aus einfachen Teilen bestehe, dies hätte Grund sein sollen, das Einfache nicht in dies Element zu versetzen, welches der Bestimmung des Einfachen nicht angemessen ist.

In der Anmerkung zu dem Beweis der Antithesis wird noch ausdrücklich die sonstige Grundvorstellung der kritischen Philosophie herbeigebracht, daß wir von Körpern nur als Erscheinungen einen Begriff haben, als solche aber setzen sie den Raum, als die Bedingung der Möglichkeit aller äußern Erscheinung notwendig voraus. Wenn hiermit unter den Substanzen nur Körper gemeint sind, wie wir sie sehen, fühlen, schmecken u. s. f., so ist von dem, was sie im Denken sind, eigentlich nicht die Rede; es handelt sich nur vom sinnlich Wahrgenommenen. Der Beweis der Antithesis war also kurz zu fassen: Die ganze Erfahrung unseres Sehens, Fühlens u. s. f. zeigt uns nur Zusammengesetztes; auch die besten Mikroskope und die feinsten Messer haben uns noch auf nichts einfaches stoßen lassen. Also soll auch die Vernunft nicht auf etwas einfaches stoßen wollen.

Wenn wir also den Gegensatz dieser Thesis und Antithesis genauer betrachten, und ihre Beweise von allem unnützen Überfluß und Verschrobenheit befreien, so enthält der Beweis der Antithesis, — durch die Versetzung der Substanzen in den Raum, — die assertorische Annahme der Kontinuität, so wie der Beweis der Thesis, — durch die Annahme der Zusammensetzung, als der Art der Beziehung des Substantiellen, — die assertorische Annahme der Zufälligkeit dieser Beziehung, und damit der absoluten Eins. Die ganze Antinomie reduziert sich also auf die Trennung und direkte Behauptung der beiden Momente der Quantität, insofern sie getrennt sind. Nach der bloßen Diskretion genommen, sind die Substanz, Materie, Raum, Zeit u. s. f. schlechthin geteilt, das Eins ist ihr Prinzip. Nach der Kontinuität ist dieses Eins nur ein aufgehobenes; das Teilen bleibt Teilbarkeit, es bleibt die Möglichkeit zu teilen, als Möglichkeit, ohne wirklich auf das Atome zu kommen. — So aber enthält die Kontinuität selbst das Moment des Atomen; so wie jenes Geteiltsein allen Unterschied der Eins aufgehoben hat, — denn die einfachen Eins ist eines was andere ist, — somit eben so ihre absolute Gleichheit und damit ihre Kontinuität enthält. Indem jede der beiden entgegengesetzten Seiten an ihr selbst ihre andere enthält, und keine ohne die andere gedacht werden kann, so folgt daraus, daß keine dieser Bestimmungen, allein genommen, Wahrheit hat, sondern nur ihre Einheit. Dies ist die wahrhafte dialektische Betrachtung derselben, so wie das wahrhafte Resultat.

Unendlich sinnreicher und tiefer, als die betrachtete Kantische Antinomie sind die dialektischen Beispiele der alten eleatischen Schule, besonders die Bewegung betreffend, die sich gleichfalls auf den Begriff der Quantität gründen, und in ihm ihre Auflösung haben. Es würde zu weitläufig sein, sie hier noch zu betrachten; sie gehören näher zu den Begriffen von Raum und Zeit, und sind bei diesen und in der Geschichte der Philosophie abzuhandeln. Sie machen der Vernunft ihrer Erfinder die höchste Ehre; sie haben das reine Sein des Parmenides zum Resultate, indem sie die Auflösung alles bestimmten Seins in sich selbst aufzeigen, und sind somit an ihnen selbst das Fließen des Heraklit. Sie sind darum auch einer gründlicheren Betrachtung würdig, als der gewöhnlichen Erklärung, daß es eben Sophismen seien; welche Assertion sich an die Wahrnehmung nach dem, dem gemeinen Menschenverstande so einleuchtenden, Vorgange des Diogenes hält, der, als ein Dialektiker den Widerspruch, den die Bewegung enthält, aufzeigte, seine Vernunft weiter nicht angestrengt haben, sondern durch ein stummes Hin- und Hergehen auf den Augenschein verwiesen haben soll, — eine Assertion und Widerlegung, die freilich leichter zu machen ist, als ihre wahrhafte Erkenntnis und Auflösung, die eine Einsicht in die dialektische Natur der Begriffe voraussetzt.

Die Kantische Auflösung der Antinomie besteht allein darin, daß die Vernunft die sinnliche Wahrnehmung nicht überfliegen und die Erscheinung, wie sie ist, nehmen solle. Diese Auflösung lässt den Inhalt der Antinomie selbst auf der Seite liegen, sie erreicht die Natur des Begriffes nicht, der wesentlich die Einheit entgegengesetzter ist, deren jedes, für sich isoliert, nichtig und an ihm selbst nur das Übergehen in sein Anderes ist, wie hier die Quantität diese Einheit und darin die Wahrheit der beiden die Antinomie ausmachenden Bestimmungen ist.

B. Kontinuierliche und discrete Größe

1. Die Quantität enthält die beiden Momente der Kontinuität und der Diskretion. Sie ist zunächst, unmittelbare Einheit derselben. Sie ist somit selbst in der Bestimmung der Kontinuität, und ist kontinuierliche Größe.

Oder die Kontinuität ist zwar zunächst nur eins der Momente der Quantität, und die Quantität ist erst mit dem andern, der Diskretion, vollendet. Aber die Kontinuität ist eben so wesentlich auch das Ganze; denn sie ist nur die zusammenhängende, gediegene Einheit, als Einheit des Diskreten. Die Kontinuität ist somit nicht nur Moment, sondern eben so sehr ganze Quantität; und diese in dieser unmittelbaren, selbst kontinuierlichen Einheit ist nicht so sehr Quantität, als Größe; — also kontinuierliche Größe.

2. Die unmittelbare Quantität ist kontinuierliche Größe. Aber die Quantität ist überhaupt nicht ein unmittelbares; oder die Unmittelbarkeit ist eine Bestimmtheit, eine Qualität derselben, deren Aufgehobensein sie selbst ist. Sie geht also aus der Unmittelbarkeit oder Unbestimmtheit in die Bestimmtheit über; die ihr immanente Bestimmtheit aber ist das Eins. — Oder die unmittelbare Quantität, die kontinuierliche Größe, ist nicht die Quantität als solche, sondern als bestimmte; aber die wahrhafte Bestimmtheit derselben ist das Eins, und die Quantität ist als discrete Größe.

Die Diskretion ist überhaupt Moment der Quantität, aber ist selbst auch die ganze Quantität, weil diese wesentlich vermittelt, negativ in sich selbst, in der Bestimmtheit des Eins ist, eine zunächst unbestimmte Vielheit von Eins. Die Quantität ist Außereinandersein, und die kontinuierliche Größe ist dies Außereinandersein, als sich ohne Negation fortsetzend, als ein in sich selbst gleicher Zusammenhang. Die discrete Größe ist dies Außereinander als nicht kontinuierlich, als unterbrochen. Mit dieser Menge von Eins aber ist nicht die Menge des Atomen, und das Leere wieder vorhanden. Sondern weil die discrete Größe Quantität ist, ist die in ihr aufgehobene Kontinuität selbst kontinuierlich. Diese Kontinuität am Diskreten besteht darin, daß die Eins das einander gleiche sind, oder daß sie dieselbe Einheit haben. Die discrete Größe ist also das Außereinander des vielen Eins, als des Gleichen, nicht das viele Eins überhaupt, sondern als das Viele einer Einheit.

Anmerkung

In der gewöhnlichen Vorstellung von kontinuierlicher und diskreter Größe wird es übersehen, daß jede dieser Größen beide Momente, sowohl die Kontinuität als die Diskretion an ihr hat, und ihr Unterschied nur dadurch konstituiert wird, welches von beiden Momente als die zum Grunde liegende Bestimmung gilt, die aber nicht allein in einer solchen Größe vorhanden ist. Dabei aber hat die kontinuierliche Größe die Diskretion nicht so an ihr, daß sie aus Eins bestünde, denn die Eins sind in ihr aufgehoben, sondern als Außereinandersein; sie ist nicht bloße Gleichheit mit sich selbst, sondern die wesentlich das Eins in ihr aufgehoben und aufbewahrt hat, die Gleichheit des Außersichseins der Repulsion. Raum, Zeit, Materie u. s. f. sind Quantitäten, die eine stetige Größe haben, indem sie Repulsionen von sich selbst, ein strömendes Aussersichkommen sind, das nicht ein Übergehen in ein Anderes ist. Sie haben die absolute Möglichkeit, daß das Eins allenthalben an ihnen gesetzt werde; sie haben diese Möglichkeit nicht, als die leere Möglichkeit eines bloßen Andersseins (wie man sagt, es wäre möglich, daß an der Stelle dieses Steines ein Baum stünde) sondern sie enthalten das Prinzip des Eins an ihnen selbst.

Umgekehrt ist an der diskreten Größe die Kontinuität nicht zu übersehen; dies Moment ist, wie gezeigt, das Eins als Einheit.

Die kontinuierliche und discrete Größe können als Arten der Größe betrachtet werden, aber nur insofern die Größe nicht unter irgend einer äußerlichen Bestimmtheit gesetzt ist, sondern unter der Bestimmtheit ihrer eigenen Momente. In dem gewöhnlichen Übergange von Gattung zu Art, lässt man an jene nach irgend einem ihr äußerlichen Einteilungsgrunde äußerliche Bestimmungen kommen. — Ferner aber geht die kontinuierliche in die discrete Größe über, weil jene zwar die Größe in einer Bestimmung ist, aber die Unmittelbarkeit oder Kontinuität ist nicht die eigentümliche, immanente Bestimmtheit der Quantität, sondern dies ist das Eins. Oder die Größe hat erst als discrete eine reale Bestimmung, denn damit tritt der Unterschied oder das Anderssein an ihr selbst ein. Die kontinuierliche Größe ist nur stetig, ununterschieden an ihr selbst, unterschieden nur gegen die ihr gegenüberstehende discrete Größe. — Allein die reale Bestimmung ist in der diskreten Größe als solcher, den Eins, welche durch ihre Einheit stetig sind, noch nicht vollendet; es gehört dazu noch die Bestimmung dieser ihrer Kontinuität durch das Eins.

C. Begrenzung der Quantität

Die discrete Größe hat erstlich das Eins zum Prinzip, zweitens ist sie wesentlich stetig, sie ist das Eins zugleich als aufgehobenes, als Einheit, das gleichsam breite, kontinuierte Eins. Insofern aber das Eins, oder die vielen Eins gleich wesentlich und unmittelbar Einheit sind, ist damit nur Quantität überhaupt, oder insofern das Eins in der Einheit aufgehoben ist, und als viele Eins in die Einheit zusammensinken, kontinuierliche Quantität gesetzt. Aber diese ist umgekehrt in discrete Größe übergegangen, und die Kontinuität das im Eins aufgehobene Moment. Das Eins ist somit zwar einerseits zur Einheit erweitert, und diese ist nicht verschwunden, sondern vielmehr wesentlich vorhanden, aber sie ist mit einer Negation gesetzt; das Eins wird an der Einheit zur Grenze. Die Kontinuität ist wesentliches Moment, und hat die Negation an ihr, aber ist unterschieden zugleich von dieser ihrer Negation, die in dieser Bestimmung Grenze ist. Diese Grenze, außer dem, daß sie auf die Einheit bezogen und die Negation an derselben ist, ist sie auch auf sich bezogen; sie ist als das, wie sie an sich ist, nämlich als Eins, umschließende, befassende Grenze. Die Grenze unterscheidet sich hier nicht zuerst von dem Insichsein oder dem Etwas ihres Daseins, sondern als Eins ist sie unmittelbar dieser negative Punkt selbst. Auf der andern Seite ist das Sein, das begrenzt ist, wesentlich hier als Kontinuität, die über die Grenze und dies Eins hinausgeht. Die wahrhafte discrete Quantität ist also eine Quantität, oder Quantum.

Oder die Größe ist zuerst unmittelbare Einheit der Kontinuität und Diskretion. Als Quantität ist sie die in sich zurückgekehrte Einheit dieser Momente; als diese ihre negative Einheit hat sie den in der unmittelbaren oder kontinuierlichen Größe nur verschwundenen oder nur möglichen Unterschied an ihr.

Erstens ist diese negative Einheit nicht nur Einheit der Kontinuität und Diskretion, als abstrakter Momente, sondern auch derselben betrachtet als kontinuierlicher und diskreter Größe. Es ist überhaupt kein wahrhafter Unterschied der kontinuierlichen und diskreten Größe. — Zweitens aber ist diese negative Einheit nicht eine Bestimmtheit, in welche die Größe übergeht, sondern die sie an ihr selbst hat; sie ist das Eins, in welchem sich als ihrer eigenen Bestimmtheit sich die Quantität setzt. Indem überhaupt die Quantität die aufgehobene Qualität, indem sie an sich selbst unendlich ist, so ist in ihrer Bewegung kein Übergehen in absolutes Anderssein vorhanden, sondern ihr Bestimmen besteht eben so sehr nur in dem Hervortreten der in ihr bereits vorhandenen Momente.

Zweites Kapitel. Quantum

Das Quantum ist die reale Quantität, wie Dasein das reale Sein. Es ist zunächst Quantität mit einer Bestimmtheit oder Grenze überhaupt, aber in seiner vollkommenen Bestimmtheit ist es Zahl. Das Quantum unterscheidet sich

zweitens in extensives und intensives Quantum, deren Unterschied aber einerseits gleichgültig ist, so daß dieselbe Zahlbestimmtheit eben so sehr auf die eine als auf die andre Weise vorhanden ist. Andererseits aber liegt darin der Unterschied des Quantums an sich selbst, das

drittens als an sich sich selbst äußerlich in die quantitative Unendlichkeit übergeht.

A. Die Zahl

Die Quantität ist Quantum, oder hat eine Grenze. Insofern die kontinuierliche und discrete Größe als Arten der Größe angesehen werden, so ist das Quantum sowohl die eine als die andere als begrenzt; oder jede von ihnen hat eine Grenze; an der kontinuierlichen ist die Grenze als Grenze der Kontinuität; an der diskreten als Negation an der Vielheit, die für sich ununterschiedene Menge überhaupt ist. Aber der Unterschied dieser Arten hat hier keine Bedeutung mehr.

Zunächst als negative Einheit des Unterschiedes, der Kontinuität und der Diskretion, ist die Quantität ein Insichsein, in dem der Unterschied aufgehoben ist, oder das sich von ihm unterscheidet. Die Quantität ist an sich das aufgehobene Fürsichsein; sie ist also schon an und für sich selbst gegen ihre Grenze gleichgültig.

Aber so wenig als das Etwas eine von seinem Insichsein unterschiedene Grenze hat, so wenig ist dies hier der Fall. Die Grenze ist das, wodurch sich Etwas von Anderem abscheidet, und sich auf sich selbst bezieht; durch seine Grenze ist also Etwas in sich und nicht in Andern; seine Grenze ist also sein Insichsein. Der Quantität ist überhaupt unmittelbar die Grenze, oder ein Quantum zu sein, nicht gleichgültig; denn sie enthält das Eins, das absolute Bestimmtsein, in sich selbst, als ihr eigenes Moment.

Dies Eins ist das Prinzip des Quantums; es ist aber nicht das abstrakte Eins, sondern das Eins als der Quantität. Dadurch ist es erstlich kontinuierlich; es ist Einheit; zweitens ist es diskret, dadurch ist es in sich eine Vielheit der Eins, welche aber die Gleichheit miteinander, jene Kontinuität, dieselbe Einheit haben. Drittens ist dies Eins Negation der Kontinuität und der Diskretion; und indem sie seine Momente ausmachen, so ist es somit die Negation seiner selbst; indem es aber eben so unmittelbar ist, so ist diese Negation seiner zugleich ein Ausschließen seines Nichtseins aus sich, eine Bestimmung seiner gegen andere Quanta. Das Eins ist insofern sich auf sich beziehende, umschließende, und anderes ausschließende Grenze.

Es ist gesagt worden, daß die Momente der Kontinuität und der Diskretion in dem begrenzenden Eins enthalten sind. Insofern in diesem Begrenzen das Eins das Bestimmende, oder das Ganze überhaupt in der Form der Diskretion ist, so ist die Kontinuität als die Einheit der vielen Eins vorhanden; sie ist das Eins, insofern es das Prinzip ist, oder die Vielen alle Eins sind. Diese Einheit unterscheidet sich insofern zugleich von den Vielen als solchen. Die Kontinuität ist aber auch das Unbestimmte der Vielheit überhaupt, und insofern ist das Eins als Grenze an ihr. Die Vielen als discrete Viele oder als Eins sind unbegrenzbar, denn als Fürsichseiende enthalten sie die Grenze als ein aufgehobenes Moment, und sind die absolute Negativität gegen dieselbe. Eine Menge als solche ist keine Grenze an den Vielen selbst, es ist eine ihnen völlig äußerliche Bestimmung. Die Grenze ist an ihnen nur als den Vielen, die darin sich gleich sind, daß sie Viele sind; diese ihre Kontinuität ist das unbestimmte Sein, an dem die Negation als Grenze ist. Zugleich aber ist sie nicht Grenze an der Kontinuität, insofern sie als die Einheit ist, denn diese macht eben das von dem Vielen, dem Diskreten und damit dem Negativen überhaupt unterschiedene Moment aus.

Das Quantum erscheint daher in seinem An-sich-bestimmtsein nicht als kontinuierliche sondern als discrete Größe, wie sich auch im Übergange zu demselben gezeigt hat. Das Quantum als begrenzte kontinuierliche Größe, ist eine unbestimmte Grenze; denn sie enthält nicht das kontinuierliche als vieles Eins, somit auch nicht in der Form des An-sich-Selbst-Bestimmtseins. — Die Momente der Kontinuität und Diskretion aber, indem sie in dem Quantum als ihrer Einheit sind, sind selbst das Ansichbestimmtsein, das ihre Einheit ausmacht. Die Kontinuität ist als Einheit, als auch als vieles Eins. Die Diskretion oder der Unterschied ist ferner darin nicht nur der unbestimmte der Vielheit überhaupt, sondern als der Bestimmte der Einheit gegen die Vielheit. Dies ist aber zugleich nicht ein bloß qualitativer Unterschied, denn die Vielen sind Eins, sie haben dieselbe Einheit. — Ferner ist das Viele nicht unterschieden von der Grenze oder dem begrenzenden Eins; es macht die Kontinuität sowohl als die Diskretion des umschließenden Eins selbst aus, denn es ist selbst kontinuierlich und diskret; das Quantum oder die Grenze der Quantität als solche ist selbst Quantität.

Das Quantum auf diese Weise an sich selbst bestimmt, ist die Zahl. Sie ist das Quantum in seiner Bestimmtheit, weil sie nur ein Verhalten des Eins, das absolut an-sich-bestimmten zu sich selbst ist, das in seinem Unterschiede von sich, also dem Bestimmtsein als durch anderes sich selbst gleich bleibt, oder worin dieser Unterschied eben so unmittelbar ein aufgehobener ist.

Die Zahl hat erstens das Eins als Prinzip, insofern ist es das kontinuierliche Eins, oder die Einheit. Ferner ist diese Einheit von sich repell[i]ert; sie ist als Viele Eins; aber diese Vielen machen selbst nur das Eins aus, insofern es das begrenzende ist. Die Vielen der Zahl machen das Quantum aus; die Vielheit ist Moment des begrenzenden Eins; die Vielen, die durch die Grenze abgesondert und umschlossen werden, sind nicht außerhalb ihrer Grenze; diese ist das Eins selbst, und dies Eins ist die Quantität und das Discrete oder das Kontinuierliche selbst, welches die Vielen sind. Diese Vielen machen die Anzahl der Zahl aus. Einesteils unterscheidet sie sich von dem Eins als der Einheit, aber zugleich ist sie nur eine Anzahl solcher Einheiten. Andernteils ist sie nicht eine Vielheit gegen das umschließende, begrenzende Eins; sondern die Anzahl macht selbst diese Begrenzung aus, welche ein bestimmtes Quantum ist; die Vielen machen eine Zahl, Ein Zwei, Ein Zehn, Ein Hundert u. s. f. aus.

Die Zahl hat also zu ihren Momenten die Einheit und die Anzahl, und ist selbst die Einheit derselben. Jene macht das Moment der Kontinuität, dies der Diskretion aus, wie sie, in dem Quantum, als Zahl sind. Die Einheit unterscheidet sich von der Anzahl, und zugleich sind sie vereinigt in der Zahl selbst als dem negativen Eins, im Zehn, im Hundert, welches eben so sehr selbst Einheit als diese Anzahl ist.

Das begrenzende Eins ist das Bestimmtsein gegen anderes, die Unterscheidung der Zahl von andern. Aber diese Unterscheidung wird nicht qualitative Bestimmtheit, sondern bleibt quantitativ, fällt nur in die vergleichende äußerliche Reflexion; die Zahl selbst bleibt in sich zurückgekehrt, und gleichgültig gegen das Andere, oder ist nicht darauf bezogen.

Diese Gleichgültigkeit der Zahl gegen anderes ist die wesentliche Bestimmung derselben; sie macht ihr An-sich-bestimmtsein, aber zugleich ihre eigene Äußerlichkeit aus. — Was das erste betrifft, so ist die Quantität selbst nicht gleichgültig gegen die Grenze; sie hat an ihr selbst die Grenze in ihrem Momente der Diskretion. Aber diese Grenze ist nicht die Beziehung auf anderes als anderes, sondern gleichgültig dagegen. Diese Gleichgültigkeit besteht darin, daß die Negation der Quantität, das Eins, unendlich auf sich bezogen ist, und das Anderssein als aufgehobenes an ihm selbst hat; ferner hat sich auch die eigne Repulsion des fürsichseienden Eins aufgehoben. Das Eins der Zahl ist insofern numerisches Eins; ein absolut an und für sich bestimmtes, das zugleich die Form der Unmittelbarkeit hat, und dem daher die Beziehung auf anderes völlig äußerlich ist. Als Eins, das Zahl ist, hat es ferner die Bestimmtheit, insofern sie Beziehung auf anderes ist, in ihm selbst, in seinem Unterschiede der Einheit und der Anzahl. Dieser Unterschied ist aber zugleich quantitativ, indem die Anzahl Vielheit der Einheiten, und die Vielheit das discrete Moment der Zahl selbst, oder ihr Eins ist.

Aber eben so sehr ist die Quantität selbst die aufgehobene Bestimmtheit, der äußerlich gewordene Unterschied. Das Eins ist Prinzip der Zahl, als numerisches Eins, das heißt, als gleichgültiges, dem die Beziehung auf anderes völlig äußerlich ist. Die Zahl aber ist die Beziehung dieses Eins; sie ist die Einheit, die als viele Eins in sich zurückkehrt. Aber weil es numerische Eins sind, so ist ihnen diese Beziehung und Rückkehr in sich eben so sehr ein gleichgültiges. Die Grenze des Quantums besteht in der Anzahl, in der sich äußerlichen Vielheit, welche zu ihrem Prinzip oder Einheit das gleichgültige Eins hat. Die Zahl ist auf diese Weise das Ansichbestimmtsein, aber das Ansichbestimmtsein der Äußerlichkeit, oder ein Ansichbestimmtsein, das eben so unmittelbar völlige Äußerlichkeit des Bestimmtseins ist. Die Quantität ist die Unendlichkeit in sich. Die Zahl ist näher diese Unendlichkeit als innerhalb ihrer selbst an sich bestimmt, und als eben so absolutes Aufgehobensein oder Äußerlichkeit des Bestimmtseins.

Anmerkung 1

Gewöhnlich werden Raumgröße und die Zahlgröße, so als zwei Arten betrachtet, als ob die Raumgröße für sich so sehr bestimmte Größe als die Zahlgröße wäre; ihr Unterschied bestünde nur in den verschiedenen Bestimmungen der Kontinuität und Diskretion; als Quantum aber stünden sie auf derselben Stufe. Die Geometrie hat zwar im Allgemeinen in der Raumgröße die kontinuierliche, und die Arithmetik in der Zahlgröße die discrete Größe zum Gegenstande. Aber bei dieser Ungleichheit des Gegenstandes haben sie nicht eine gleiche Weise und Vollkommenheit der Begrenzung oder des Bestimmtseins. Die Wissenschaft betrachtet wesentlich die Bestimmtheiten dieser Gegenstände, insofern sie Quanta sind, und sich nach dieser Seite verhalten. Die Weise der Begrenzung aber ist an beiden Gegenständen gleichfalls verschieden. Die Raumgröße hat nur eine Begrenzung überhaupt; insofern sie als an sich bestimmtes Quantum betrachtet werden soll, hat sie die Zahl nötig. Auch betrachtet die Geometrie die Raumfiguren nicht nach einer an und für sich bestimmten Größe; sie mißt sie nicht; ist nicht Meßkunst; sondern vergleicht sie nur d. h. sie betrachtet sie nur als relative Quanta, nach einer Größebestimmung, die sie zu Andern haben. Auch bei ihren Definitionen sind die Bestimmungen zum Teil von der Gleichheit der Seiten, Winkel, der gleichen Entfernung hergenommen. So bedarf der Kreis, weil er allein auf der Gleichheit der Entfernung aller in ihm möglichen Punkte von einem Mittelpunkte beruht, zu seiner Bestimmung keiner Zahl. Diese auf Gleichheit oder Ungleichheit beruhenden Bestimmungen sind echt geometrisch. Aber sie reichen nicht aus, und zu andern z. B. Dreieck, Viereck, ist die Zahl erforderlich, die das An-sich-Bestimmtsein, nicht das Bestimmtsein durch Hilfe eines Andern, also nicht durch Vergleichung enthält.

Die Zahl aber enthält diese Bestimmtheit an sich, weil das Eins ihr Prinzip ist. Die Raumgröße hat zwar an dem Punkte die dem Eins entsprechende Bestimmtheit; der Punkt aber wird, insofern er außer sich kommt, ein Anderes wird, zur Linie; weil er wesentlich nur als Eins des Raumes ist, wird er in der Beziehung, zu einer Kontinuität, in der die Punktualität, das Ansich-Bestimmtsein, das Eins, aufgehoben ist. Insofern das An-sich-Bestimmtsein im Außersichsein sich erhalten soll, muß die Linie als eine Menge von Eins vorgestellt werden, und die Grenze die Bestimmung der Vielen Eins in sich enthalten, d. h. die Größe der Linie — eben so der andern Raum-Bestimmungen — muß als Zahl genommen werden.

Anmerkung 2

Bekanntlich hat Pythagoras Vernunftverhältnisse oder Philosopheme in Zahlen dargestellt, und in neuern Zeiten ist das Rechnen als gleich bedeutend mit dem Denken, oder wie man sich genauer ausgedrückt hat, mit dem reinen realen Denken genommen worden. — Auch ist in pädagogischer Rücksicht die Zahl für den geeignetsten Gegenstand des innern Anschauens, und die rechnende Beschäftigung mit Verhältnissen derselben, für die Tätigkeit des Geistes gehalten worden, worin er seine eigensten Verhältnisse und überhaupt die Grundverhältnisse des Wesens zur Anschauung bringe. — Wiefern der Zahl dieser hohe Wert beikommen könne, geht aus ihrem Begriffe hervor, wie er sich ergeben hat.

Die Zahl ist die absolute Bestimmtheit der Quantität; ihr Element ist der gleichgültig gewordene Unterschied. Sie ist also die Bestimmtheit an sich, die zugleich völlig nur äußerlich gesetzt ist. Die Arithmetik ist daher analytische Wissenschaft, weil alle Verknüpfungen und Unterschiede, die an ihrem Gegenstande vorkommen, nicht in ihm selbst schon liegen, sondern ihm völlig äußerlich angetan sind. Sie hat keinen konkreten Gegenstand, welcher innere Verhältnisse an sich hätte, die zunächst für das Wissen verborgen, nicht in der unmittelbaren Vorstellung von ihm gegeben, sondern erst durch die Bemühung des Erkennens herauszubringen wären. Sondern seine Verhältnisse sind rein durch die Reflexion selbst in ihn hineingelegt; diese hat es daher in ihrem rechnenden Geschäfte nur mit solchen hineingelegten Bestimmungen zu tun. Weil in diesen Beziehungen hiermit nicht ein wahrhaftes Anderssein enthalten ist, so hat sie es nicht mit Entgegengesetztem zu tun; sie hat überhaupt die Aufgabe des Begriffes nicht; geht nur an dem Faden ihrer eigenen Identität fort, und verhält sich in ihrer Tätigkeit rein analytisch.

Um der Gleichgültigkeit des Verknüpften gegen die Verknüpfung, der die Notwendigkeit fehlt, willen, befindet sich das Denken hier in einer Tätigkeit, die zugleich die äußerste Entäußerung seiner selbst ist, in der gewaltsamen Tätigkeit, sich in der Gedankenlosigkeit zu bewegen und das keiner Notwendigkeit fähige zu verknüpfen. Denn der Gegenstand, die Zahl, ist nur der Gedanke und der abstrakte Gedanke der Äußerlichkeit selbst. In jedem andern konkreten Gegenstande ist das Denken sich gleichfalls äußerlich, aber er ist zugleich an ihm selbst ein innerlich verknüpftes und notwendiges; es findet also in ihm wesentliche Beziehungen; die Zahl dagegen hat das wesentlich Beziehungslose zum Prinzip.

Um dieser reinen Äußerlichkeit und eignen Bestimmungslosigkeit willen hat das Denken an der Zahl eine unendliche bestimmbare Materie, die nicht Widerstand durch eigentümliche Beziehungen leistet. Sie ist zugleich die Abstraktion von aller sinnlichen Mannigfaltigkeit, und hat vom Sinnlichen nichts als die abstrakte Bestimmung der Äußerlichkeit selbst behalten. Durch diese Abstraktion liegt sie, so zu sagen, dem Gedanken am nächsten; sie ist nur der reine Gedanke seiner eignen Entäußerung.

Der Geist, der sich über die sinnliche Welt erhebt, und sein Wesen erkennt, indem er ein Element für seine reine Vorstellung, für den Ausdruck seines Wesens sucht, kann daher darauf verfallen, ehe er das Denken selbst als dies Element faßt, und für seine Darstellung den rein geistigen Ausdruck gewinnt, die Zahl, diese innerliche, abstrakte Äußerlichkeit zu wählen. Daher sehen wir in der Geschichte der Wissenschaft, ehe das Denken den Ausdruck fand, der nur den abstrakten Gedanken selbst enthält, die Zahl zum Ausdruck von Philosophemen gebraucht werden. Sie macht die letzte Stufe der Unvollkommenheit dieses Ausdrucks aus, mit ihr verlässt das Denken, das schon die sinnliche Vorstellung für seine Darstellung verlassen hat, vollends auch selbst den reinen Gedanken der Äußerlichkeit.

Indem nun das Denken seine Bestimmungen in dies Element niederlegt, so fallen sie um der betrachteten Natur desselben willen, darin unmittelbar in die Begrifflosigkeit herab; oder die Gedanken werden in ihm als dem gedankenlosen, zu Gedankenlosem. Die Gedanken, das Lebendigste, Beweglichste, nur im Beziehen Begriffene, werden in diesem Elemente des Außersichseins, zu toten, bewegungslosen Bestimmungen. Je reicher an Bestimmtheit und Beziehung die Gedanken werden, desto verworrener einerseits und desto willkürlicher und sinnleerer andererseits wird ihre Darstellung in Zahlen. Das Eins, das Zwei, das Drei, das Vier, als Hennas oder Monas, Dias, Trias, Tetraktys, liegen noch einfachen Begriffen sehr nahe; aber wenn die Zahlen zu weiteren Verhältnissen des Begriffs übergehen sollen, so ist es vergeblich, sie noch dem Begriffe nahe erhalten zu wollen.

Wenn aber auch nur im Eins, Zwei, Drei, Vier der Begriff festgehalten, wenn sie gedacht und bewegt werden sollen, so ist dies die härteste Bewegung des Denkens; denn es hat, statt rein mit sich zu tun zu haben und bei sich einheimisch zu sein, zugleich unmittelbar mit seiner Entäußerung zu kämpfen. Es bewegt sich im Elemente seines Gegenteils, der Beziehungslosigkeit; sein Geschäfte ist die Arbeit der Verrücktheit. Daß z. B. Eins Drei, und Drei Eins ist, zu begreifen, ist darum eine so harte Zumutung, weil das Eins, das in der Zahl herrschend ist, das Beziehungslose ist, das also nicht an ihm selbst die Bestimmung zeigt, wodurch es in sein Entgegengesetztes übergeht, sondern vielmehr dies ist, eine solche Beziehung schlechthin auszuschließen und zu verweigern.

Indem also der Gedanke sich von dem sinnlichen Stoffe reinigt, ist es die letzte Stufe, daß ihm das Sinnliche, das Äußerliche zum reinen Gedanken dieser Äußerlichkeit, zur Zahl wird, und daß er diese zum Elemente und Materie seiner selbst nimmt. Aber er hat auch noch diese abstrakte Gedankenlosigkeit zu überwinden, und seine Bestimmungen in seiner eigenen unmittelbaren Form zu fassen, nämlich als Sein, Werden u. s. f. als Wesen, Identität u. s. f.

Was die Ansicht des gemeinen Rechnens selbst betrifft, daß es Denken sei, weil es „eine Bestimmung der relativen Vielheit, oder der bestimmbaren „Wiederholbarkeit von Einem und Ebendemselben in einem Andern, durch die absolute Einheit des Identischen „sei,“ so ist insofern das Rechnen freilich Denken. Aber Lesen, Schreiben u. s. f. ist eben so sehr Denken; denn auch in ihnen ist eine Bestimmung eines relativ Vielen durch eine Identität. Das Rechnen hat vor andern Funktionen des Denkens oder Bewußtseins, wie sich ergeben hat, einerseits das Abstrakte seiner Materie oder Elementes voraus; aber auf der andern Seite steht es ihnen durch das Begrifflose des Eins nach, das zwar ein rein mit sich identisches und im Andern, nämlich im Vielen sich wiederholendes ist, aber darin sich wesentlich als beziehungslos halten, und seinem Andern selbst äußerlich bleiben, somit die wahrhafte, nämlich die begreifende Einheit des Denkens in ihm abwesend sein soll.

Was es mit dem Gebrauche der Zahl und des Rechnens auf sich hat, insofern er eine pädagogische Hauptgrundlage ausmachen soll, geht aus dem Bisherigen von selbst hervor. Die Zahl ist ein unsinnlicher Gegenstand, und die Beschäftigung mit ihr und ihren Verbindungen, ein unsinnliches Geschäfte; der Geist wird somit dadurch zur Reflexion in sich und einer innerlichen abstrakten Arbeit angehalten. Auf der andern Seite aber, indem der Zahl der äußerliche, gedankenlose Unterschied zu Grunde liegt, so wird jenes Geschäfte zugleich ein gedankenloses, mechanisches Geschäft, und die Kraftanstrengung besteht vornehmlich darin, die Lebendigkeit des Geistes zu töten, den Begriff zu unterdrücken, Begriffloses festzuhalten, und begrifflos es zu verbinden. Weil das Rechnen ein so sehr äußerliches, somit mechanisches Geschäft ist, so haben sich bekanntlich Maschinen verfertigen lassen, welche die arithmetischen Operationen aufs vollkommenste vollführen. Wenn man über die Natur des Rechnens nur diesen Umstand allein kennte, so läge darin die Entscheidung, was es damit für eine Bewandtnis hat, wenn dem Geiste das Rechnen zum Hauptgeschäft gemacht, und er auf die Folter, sich zur Maschine zu vervollkommnen, gelegt wird.

B. Extensives und intensives Quantum

1. Unterschied derselben

1. Das Quantum hat seine Bestimmtheit als Grenze in der Anzahl. Es ist ein in sich Diskretes, ein Vieles, das begrenzt ist; dieses Viele hat, wie sich zeigte, nicht ein Sein für sich, das verschieden wäre von seiner Grenze und sie außer sich hätte. Denn eben innerhalb der Zahl macht die Vielheit die Bestimmtheit gegen die Einheit aus; das Eins als Einheit ist zwar an sich bestimmt als numerisches Eins, aber als Einheit ist es die unbestimmte, in sich unterschiedslose Kontinuität; Unterschied, Anderssein enthält es durch die Vielheit. Sie enthält also das Moment der Grenze, der Negation in der Zahl selbst; der Unterschied-an-sich besteht daher in der Anzahl.

Das Quantum ist also ein Vielfaches, und diese Vielheit ist eins mit seiner Grenze; es ist als Grenze, als bestimmtes Quantum, ein Vielfaches an sich selbst. So ist es extensive Größe.

Die extensive Größe ist von der kontinuierlichen zu unterscheiden; es steht ihr direkt nicht die discrete, sondern die intensive Größe gegenüber. Die extensive Größe ist die außereinanderseiende in ihrer Bestimmtheit, oder insofern die Grenze ein Vielfaches ist; sie hat das Moment der Kontinuität, insofern an ihr und auch in ihrer Grenze, als dieses Viele ein kontinuierliches und die Grenze als Negation an dieser Gleichheit der Vielen erscheint. Die kontinuierliche Größe aber ist die sich fortsetzende Quantität ohne Rücksicht auf eine Grenze, oder insofern sie mit einer Grenze vorgestellt wird, die diese außer jener Kontinuität und ist Begrenzung […]ndig[…]rhaupt, ohne daß die Diskretion an ihr gesetzt sei. — Die kontinuierliche Größe ist noch nicht die wahrhaft an sich bestimmte Größe, weil sie des vielen Eins, worin das an-sich-Bestimmtsein liegt, entbehrt; ihre Grenze ist daher außer ihr, und noch nicht Zahl. — Eben so ist die discrete Größe unmittelbar in ihrer Bestimmung nur unterschiedenes Vieles überhaupt, das, insofern es als solches eine Grenze haben sollte, nur eine Menge, d. h. ein unbestimmt und äußerlich begrenztes wäre. — Insofern aber sowohl kontinuierliche als discrete Größe Quantum sind, sind sie nach dessen wahrhafter Bestimmung Zahl, und dieses ist zunächst als extensives Quantum, — die Bestimmtheit, die wesentlich als Anzahl, jedoch als Anzahl einer und derselben Einheit ist.

2. Das extensive Quantum ist die in sich vielfache Grenze. Es hat das unterschiedene Andere an ihm selbst, und deswegen ist die Zahl das vollkommen an sich selbst bestimmte. Die Bestimmtheit, wie groß etwas ist, durch die Zahl, bedarf nicht des Unterschiedes von etwas Anderem Großem, so daß zur Bestimmtheit dieses Großen es selbst und ein Anderes Großes gehörte; es ist an-sich-bestimmte, und dadurch gleichgültige, einfach auf sich bezogene Grenze. Das Viele der Grenze aber ist wie das Viele überhaupt, nicht ein in sich ungleiches, sondern ein kontinuierliches; jedes der Vielen ist was das andere ist; es als vieles außereinanderseiendes, oder diskretes macht daher die Bestimmtheit als solche nicht aus. Dies Viele fällt also für sich selbst in seine Kontinuität zusammen und wird einfache Einheit. — Das Viele war jedoch hier nicht überhaupt Vieles für sich, sondern die Bestimmung des Vielen, Anzahl gegen die Einheit. Allein die Zahl ist Eins der Einheit und der Anzahl, oder die aus der Verschiedenheit dieser Bestimmungen in sich zurückgekehrte Einheit. Die Anzahl ist darin nur Moment, oder ist aufgehoben; sie macht also nicht die Bestimmtheit der Zahl aus, als eine Menge von numerischen Eins; sondern diese als gleichgültige, sich Äußerliche sind im Zurückgekehrtsein der Zahl in sich, aufgehoben; die Äußerlichkeit, welche die Eins der Vielheit ausmachte, verschwindet in der Beziehung der Zahl auf sich selbst.

Das Quantum, das als extensives seine Bestimmtheit an der sich selbst äußerlichen Anzahl hatte, geht also in einfache Bestimmtheit über. In dieser einfachen Bestimmung der Grenze ist es intensive Größe; und die Grenze oder Bestimmtheit als solche, die vorher als Anzahl war, ist ein einfaches, der Grad.

Der Grad ist also bestimmte Größe, Quantum, aber nicht zugleich Menge, oder Mehreres innerhalb seiner selbst; er ist nur eine Mehrheit; die Mehrheit ist das Mehrere in die einfache Bestimmung zusammengenommen. Seine Bestimmtheit wird zwar durch eine Zahl ausgedrückt, als dem an-sich-Bestimmtsein des Quantums, aber ist nicht eine Anzahl, sondern einfach, nur Ein Grad. Wenn von 10, 20 Graden gesprochen wird, so ist das Quantum, das so viele Grade hat, nicht die Anzahl und Summe derselben; so wäre es ein extensives; sondern es ist nur Einer, der zehnte, zwanzigste Grad. Er enthält dieselbe Bestimmtheit, welche in der Anzahl zehn, zwanzig liegt, aber er enthält sie nicht als Mehrere, sondern ist die Zahl als aufgehobene Anzahl, als einfache Bestimmtheit.

Aber diese Form der Beziehung auf sich, welche das Quantum erreicht hat, ist zugleich das Äusserlichwerden desselben. Die Zahl hat als extensives Quantum die Bestimmtheit an sich selbst nur in der numerischen Vielheit; aber diese, als Vieles überhaupt, fällt in die Ununterschiedenheit zusammen, und als sich äußerliches Vieles hebt es sich auf in dem Eins der Zahl, in der Beziehung derselben auf sich selbst. Das intensive Quantum bleibt bestimmtes Quantum. Die Bestimmtheit aber des Quantums ist sich äußerliches, gleichgültiges Anderssein. Der Grad, der in sich selbst einfach ist, und dies äußerliche Anderssein nicht mehr in ihm hat, hat es außer ihm, und bezieht sich darauf als auf seine Bestimmtheit. Es ist also eine äußerliche Vielheit; aber so daß dieses Äußerliche zugleich die einfache Grenze, die Bestimmtheit, welche er für sich ist, ausmacht. Die Anzahl als solche bleibt also die Bestimmtheit der Zahl, aber außer der Zahl, deren Bestimmtheit sie ist. Daß somit die Anzahl, insofern sie sich innerhalb der Zahl im extensiven Quantum befinden sollte, darin aufhob, dies bestimmt sich näher so, daß sie außerhalb derselben gesetzt worden ist. Indem die Zahl Eins, in sich reflektierte Beziehung auf sich selbst ist, so schließt sie damit die Gleichgültigkeit und Äußerlichkeit der Anzahl aus sich aus, und ist Beziehung auf sich als Beziehung durch sich selbst auf ein Äußerliches.

Hierin hat das Quantum die seinem Begriffe gemäße Realität. Das Quantum ist bestimmte Quantität. Die Bestimmtheit der Quantität ist gleichgültige Bestimmtheit, die nicht ist als auf anderes bezogen; sie hat damit das Anderssein an ihr selbst, und ist in sich selbst äußerlich. So ist sie Anzahl, das bestimmte Unterschiedensein in sich selbst; die Anzahl macht eine bestimmte Größe aus, und dies Bestimmtsein, — ob es drei, oder vier u. s. f. sind, fällt ganz innerhalb die Zahl selbst; es bedarf dazu nicht einer Vergleichung mit andern, noch ist es ein qualitativer Unterschied von Anderem. Da diese Äußerlichkeit innerliche, sich auf sich beziehende Äußerlichkeit ist, so ist sie die Äußerlichkeit ihrer selbst. Sie ist also intensive Größe, einfache Bestimmtheit, als Beziehung auf sich selbst, welche eben so sehr ihre Bestimmtheit in Äusserlichem hat; die Bestimmtheit, die an ihr selbst die sich äußerliche Bestimmtheit ist.

Sonach ist also der Grad einfache Größenbestimmtheit, unter einer Mehrheit von Intensitäten, die verschieden, aber in wesentlicher Beziehung auf einander sind, so daß jede in dieser Kontinuität mit den andern ihre Bestimmtheit hat. Diese Beziehung des Grades durch sich selbst auf sein Anderes, macht das Auf- und Absteigen der Scale der Grade zu einem stetigen Fortgang, einem Fließen, das eine ununterbrochene, unteilbare Veränderung ist. Jedes der Mehrern, die darin unterschieden werden, wird damit nicht getrennt von den Andern, sondern es hat sein Bestimmtsein nur in diesen Andern. Als sich auf sich beziehende Größebestimmung ist jeder der Grade gleichgültig gegen die andern; aber er ist eben so sehr an sich auf diese Äußerlichkeit bezogen, und hat darin seine Bestimmtheit; seine Beziehung auf sich ist also eben so sehr die nicht gleichgültige Beziehung auf das Äußerliche. Das Äußerliche ist in der Einfachheit des Grades aufgehoben; aber es ist eben so sehr auch als äußerliches außer ihm aufgehoben; denn es ist in wesentlicher Beziehung auf die einfache Bestimmtheit, also derselben eben so sehr nicht äußerlich.

2. Identität der extensiven und intensiven Größe

Die intensive Größe ist die Anzahl der extensiven Größe in die Einfachheit zusammengenommen; ein bestimmtes Eins, das seine Bestimmtheit nicht als ein Mehreres an ihm selbst hat; der Grad ist nicht innerhalb seiner ein sich Äußerliches. Allein er ist nicht nur das unbestimmte Eins, das Prinzip der Zahl überhaupt, das nicht Anzahl ist, als nur die negative, keine Anzahl zu sein. — Aber die intensive Größe hat zugleich ihre Bestimmtheit nur in einer Anzahl. Sie ist ein einfaches Eins der Mehrern; es sind mehrere Grade; aber bestimmt sind sie nicht weder als einfaches Eins, noch als Mehrere, sondern nur in der Beziehung dieses Außersichseins, oder in der Identität des Eins und der Mehrheit. Wenn also die Mehrern als solche außer dem einfachen Grade sind, so besteht in seiner Beziehung auf sie seine Bestimmtheit; er enthält also die Anzahl. Wie zwanzig als extensive Größe, die zwanzig Eins, als discrete in sich enthält, so enthält der bestimmte Grad sie als Kontinuität, welche diese bestimmte Mehrheit einfach ist; er ist der zwanzigste Grad; und ist der zwanzigste Grad nur als diese Anzahl. Diese Anzahl aber, die im Grade einfach ist, ist zugleich Äußerlichkeit an sich selbst; sie ist Anzahl nur als Menge von numerischen Eins, die eben so sehr außer jener Einfachheit des Grades ist.

Die Bestimmtheit der intensiven Größe ist daher von doppelter Seite zu betrachten. Sie ist erstens bestimmt durch andere intensive Quanta; sie ist in Kontinuität mit ihrem Anderssein, und in dieser Beziehung auf ihr Anderssein besteht ihre Bestimmtheit. Insofern sie die einfache Bestimmtheit ist, ist sie also bestimmt gegen andere Grade; sie schließt dieselben aus sich aus, und hat ihre Bestimmtheit in diesem Ausschließen.

Aber zweitens ist sie an ihr selbst bestimmt; insofern ist sie es in der Anzahl, als in ihrer Anzahl, nicht als in der ausgeschlossenen oder nicht in der Anzahl anderer Grade. Der zwanzigste Grad enthält die zwanzig an sich selbst; er ist nicht nur bestimmt als unterschieden vom neunzehnten, ein und zwanzigsten u. s. f. sondern seine Bestimmtheit ist seine gleichgültige Anzahl. Aber insofern die Anzahl die seinige ist, und zwar ist die Bestimmtheit zugleich wesentlich als Anzahl, so ist er extensives Quantum.

Extensive und intensive Größe sind also eine und dieselbe Bestimmtheit des Quantums, sie sind nur dadurch unterschieden, daß die eine dasselbe ist in einfacher Bestimmtheit, die andere in vielfacher. Die extensive Größe geht in intensive Größe über, weil ihr Vieles an und für sich in die Einheit zusammenfällt, und als Bestimmtheit des Vielen, sich äußerlichen numerischen Eins gegen die Einheit, in der Beziehung der Zahl auf sich selbst gegen diese Einheit, außer ihr tritt. Aber umgekehrt hat dieses Einfache seine Bestimmtheit nur an der Anzahl und zwar als seiner; denn es ist zugleich gleichgültig gegen die anders bestimmten Intensitäten. Die intensive Größe ist also eben so wesentlich extensive Größe.

Der Unterschied von extensiver und intensiver Größe beruht auf dem Unterschiede ihrer Momente, der Anzahl und der Einheit; sie ist die eine und die andre Größe in der Bestimmung des einen oder des andern Moments gesetzt. Aber weil diese Momente ihr wesentlich sind, weil die Bestimmtheit eben so sehr Bestimmtheit des Vielen als eines kontinuierlichen oder einfachen Beziehung auf sich, wie als des diskreten, des sich äußerlichen ist, so ist ihr Gesetztsein in einem derselben, eben so sehr ihr Gesetztsein in dem Andern; oder ihr Dasein ist dieses gedoppelte Dasein, das aber in Rücksicht auf die Bestimmtheit des Quantums selbst gleichgültig ist.

Anmerkung

In der gewöhnlichen Vorstellung pflegen extensives und intensives Quantum so als Arten von Größen unterschieden zu werden, als ob es Gegenstände gäbe, die nur intensive, andere, die nur extensive Größe hätten. Ferner ist die Vorstellung einer philosophischen Naturwissenschaft hinzugekommen, welche das Mehrere, das Extensive, z. B. in der Grundbestimmung der Materie, einen Raum zu erfüllen, so wie in andern Begriffen, in ein Intensives verwandelte, in dem Sinne, daß das Intensive, als das Dynamische die wahrhafte Bestimmung sei, und z. B. die Dichtigkeit oder spezifische Raumerfüllung wesentlich nicht als eine gewisse Menge und Anzahl materieller Teile in einem Quantum Raum, sondern als ein gewisser Grad der raumerfüllenden Kraft der Materie gefaßt werden müsse.

Es sind hierbei zweierlei Bestimmungen zu unterscheiden; es kommt der Begriff von auseinander bestehenden selbstständigen Teilen, die nur äußerlich in ein Ganzes verbunden sind, und der davon verschiedene Begriff von Kraft vor. Was in der Raumerfüllung einerseits nur als eine Menge einander äußerlichen Atome angesehen wird, wird andererseits als die Äußerung einer zu Grunde liegenden einfachen Kraft betrachtet. — Diese Verhältnisse von Ganzem und Teilen, der Kraft und ihrer Äußerung gehören aber nicht hierher, sondern werden unten betrachtet werden. — Das andere aber ist die quantitative Bestimmtheit, die dabei vorkommt, und in Ansehung deren die Größe als extensives Quantum aufgehoben und in den Grad, als die wahrhaft sein sollende Bestimmung, verwandelt wird.

In Ansehung dieser vermeinten Wesentlichkeit des Unterschiedes ist es hinreichend gezeigt zu haben, daß er für die Bestimmtheit des Quantums selbst unwesentlich, die eine Form aber für die andere wesentlich ist, und daher jedes Dasein seine Größebestimmung eben so sehr als extensives wie als intensives Quantum darstellt.

Als Beispiel hiervon dient daher alles, insofern es in einer Größebestimmung erscheint. Die Zahl selbst hat diese gedoppelte Form notwendig unmittelbar an ihr selbst. Sie ist eine Anzahl, insofern ist sie extensive Größe. Aber sie ist auch ein Eins, ein Zehn, ein Hundert; insofern steht sie auf dem Übergange zur intensiven Größe, indem in dieser Einheit das Vielfache in Einfaches zusammengeht. Das Zehnte, das Hundertste ist dies Einfache an ihm selbst, das seine Bestimmtheit an dem außer ihm fallenden Mehrern hat, und ist insofern eigentlich intensive Größe. Die Zahl ist Zehn, Hundert, und dieselbe ist zugleich die Zehnte, Hundertste im Zahlensystem; beides ist dasselbe; jede Bestimmung kann für die andere genommen werden; die zehnte Zahl im Zahlensystem ist Zehn.

Das Eins im Kreise heißt Grad, weil ein Teil des Kreises wesentlich seine Bestimmtheit in einem Mehrern außer ihm hat, nur als eines einer gewissen Anzahl solcher Eins bestimmt ist. Der Grad des Kreises ist aber nur Prinzip der Zahl einer Größe des Kreises, nur ihr Eins. Ein Quantum selbst vom Kreise ist ein Bogen von bestimmter Größe, eine gewöhnliche Zahl, nämlich eine Anzahl solcher Eins, die Grade sind. Diese Zahl ist extensive Größe, und intensive nur insofern, wie so eben erinnert, die Zahl dies überhaupt ist.

Die Größe wirklicher Gegenstände, stellt ihre gedoppelte Seite, extensiv und intensiv zu sein, an den gedoppelten Bestimmungen des Daseins des Gegenstandes dar, in deren einer er als ein äußerliches, in der andern aber als ein innerliches erscheint. So ist z. B. eine Masse als Gewicht, ein extensiv-Großes, insofern sie eine Anzahl von Pfunden, Zentnern u. s. f. ausmacht; ein intensiv-Großes, insofern sie einen gewissen Druck ausübt; diese Größe des Drucks ist ein einfaches, ein Grad, der seine Bestimmtheit an einer Scale von Graden des Druckes hat. Als drückend erscheint die Masse als ein In-sich-sein, als Subjekt, dem der intensive Größenunterschied zukommt. — Umgekehrt was diesen Grad des Drucks ausübt, ist vermögend, eine gewisse Anzahl von Pfunden u. s. f. von der Stelle zu bewegen, und mißt seine Größe hieran.

Oder die Wärme hat einen Grad; der Wärmegrad, er sei der 10te, 20ste u. s. f. ist eine einfache Empfindung, ein subjektives. Aber dieser Grad ist eben so sehr vorhanden als extensive Größe, als die Ausdehnung einer Flüssigkeit, des Quecksilbers im Thermometer, der Luft oder des Thons u. s. f. Ein höherer Grad der Temperatur drückt sich aus als eine längere Quecksilbersäule, oder als ein schmalerer Thonzylinder; er erwärmt einen größeren Raum auf dieselbe Weise als ein geringerer Grad den kleineren Raum.

Der höhere Ton ist als der intensivere, zugleich eine größere Menge von Schwingungen, oder ein lauterer Ton, dem ein höherer Grad zugeschrieben wird, macht sich in einem größeren Raume hörbar. — Mit der intensiveren Farbe lässt sich eine größere Fläche, als mit einer schwächeren, auf gleiche Weise färben; oder das Hellere, eine andere Art von Intensität, ist weiter sichtbar als das weniger Helle u. s. f.

Eben so im Geistigen ist die hohe Intensität des Charakters, Talents, Genies, von eben so weitgreifendem Dasein, ausgedehnter Wirkung und vielseitiger Berührung. Der tiefste Begriff hat die allgemeinste Bedeutung und Anwendung.

3. Veränderung des Quantums

Der Unterschied des extensiven und intensiven Quantums ist der Bestimmtheit des Quantums an ihm selbst gleichgültig; er ist nur ein Unterschied seines Daseins, oder es hat die Bestimmungen, welche das Extensive und Intensive ausmachen, als seine Momente in ihm selbst. Aber wenn es dagegen als gegen einen Unterschied des Daseins gleichgültig ist, so sind dafür seine Momente in einen innern Gegensatz getreten. Das extensive Quantum ist als sich auf sich beziehendes Eins in das intensive Quantum übergegangen. Dieses aber, welches somit allein zu betrachten ist, ist die Größebestimmtheit, die einfach in sich, aber eben in dieser sich auf sich beziehenden Bestimmtheit sich äußerlich ist, nicht in sich, sondern in einem andern Mehrern besteht.

Die intensive Größe ist also fürsichseiendes Quantum und darin wesentlich auf ein Anderes bezogen. Dies Andre ist ein Anderes dieser Größe; ein anderes Quantum. Sie ist also nur, als ihre Bestimmung in einer andern Größe habend. Aber sie hat ihre Bestimmung, ihr Ansichsein, in einer andern Größe, heißt, sie ist nicht sie selbst, sondern ein anderes Quantum. Oder sie geht wesentlich in eine andere Größe über.

Die intensive Größe ist aber überhaupt das reale Quantum. Das Quantum ist die als aufgehoben gesetzte Bestimmtheit, die gleichgültige Grenze; das heißt also, es ist die Bestimmtheit, welche eben so sehr die Negation ihrer selbst ist. So ist das Quantum als Grad gesetzt. Er ist die einfache sich auf sich beziehende Bestimmtheit, welche die Negation ihrer selbst ist, indem sie ihre Bestimmtheit nicht an ihr, sondern in einem andern Quantum hat; er ist also, indem er dieses bestimmte Quantum ist, vielmehr wesentlich nicht er, sondern ein anderes Quantum.

Ein Quantum ist also überhaupt in absoluter Kontinuität mit seiner Äußerlichkeit, mit seinem Anderssein. Es kann daher nicht nur über jede Größebestimmtheit hinausgegangen, sie kann nicht nur verändert werden, sondern sie muß sich verändern. Die Quanta erschienen zuerst als äußerliche gegeneinander, in der Bestimmung von numerischen Eins. Aber sie sind nicht nur äußerlich gegeneinander, sondern sind sich selbst äußerlich. Die Größebestimmung kontinuiert sich also so in ihr Anderssein, daß sie ihr Sein nur in dieser Kontinuität mit einem andern hat. Ein Quantum ist also es selbst, und eben so wesentlich nicht es selbst, sondern die Negation seiner, ein Anderes. Es ist nicht eine seiende, sondern eine werdende Grenze.

Das Eins ist unendlich, oder die sich auf sich beziehende Negation; es ist daher die Repulsion seiner von sich selbst. Das Quantum ist gleichfalls unendlich und repelliert sich von sich selbst. Aber das Quantum ist das bestimmte Eins, das Eins, welches in Dasein und in die Grenze übergegangen ist. Das Quantum ist also die Repulsion der Bestimmtheit von sich selbst; sie ist daher nicht das Erzeugen des sich selbst gleichen, wie die Repulsion des Eins, sondern seines Andersseins. Wie über das Eins nicht von einem Dritten hinausgegangen wird, sondern es selbst sich von sich abstößt, so ist es auch der Begriff des Quantums über sich hinaus zu schicken, und ein Anderes zu werden. Es besteht darin, sich zu vermehren oder zu vermindern; es ist die Äußerlichkeit der Bestimmtheit an sich selbst.

Das Quantum schickt sich selbst über sich hinaus; dies Andre, zu dem es wird, ist zunächst selbst ein Quantum; eine nicht seiende, sondern sich über sich selbst hinaustreibende Grenze; es kontinuiert sich in sein Anderssein; es ist sich äußerlich; und diese Äußerlichkeit seiner selbst ist es selbst. Die in diesem Hinausgehen wieder entstandene Grenze ist also schlechthin nur eine solche, die sich wieder aufhebt, und so fort ins Unendliche.

C. Quantitative Unendlichkeit

1. Begriff derselben

Das Quantum verändert sich und wird ein anderes Quantum; es ist aber eine weitere Bestimmung dieser Veränderung, daß sie ins Unendliche fortgeht.

Das Quantum wird ein Anderes; es kontinuiert sich in sein Anderssein; das Andre ist also auch ein Quantum. Aber das Andre ist zugleich das Andre nicht nur eines Quantums, sondern des Quantums selbst. Denn das Quantum ist die gleichgültige Bestimmtheit, welche gegen Anderes, aber auch gegen sich gleichgültig ist. Wie sich seine Momente in dem intensiven Quantum bestimmt haben, ist es die Bestimmtheit, die sich nicht auf anderes, sondern auf sich selbst bezieht; eben so sehr aber ist diese Bestimmtheit schlechthin nur die Bestimmtheit in einem Andern; die Beziehung auf Anderes ist ihm äußerlich, aber es ist selbst diese Äußerlichkeit seiner. Es ist also das Quantum selbst, welches sich widerspricht, und somit sich an sich auflöst; es selbst ist somit die Negation seiner selbst; die Veränderung betrifft nicht nur ein Quantum, sondern das Quantum. Das Quantum ist ein Sollen; es enthält, an sich bestimmt zu sein, und dieses An-sich-bestimmtsein selbst ist vielmehr das Bestimmtsein in einem Andern; und umgekehrt ist es das aufgehobene Bestimmtsein in einem andern; es ist gleichgültiges Bestimmtsein. Es ist also gegen sich selbst ein Anderes und Äußerliches; es enthält dies, endlich zu sein, und über die Endlichkeit, über das Bestimmtse[…]n in einem Andern hinauszugehen, und unendlich zu sein.

Bei der qualitativen und quantitativen Unendlichkeit ist es wesentlich zu bemerken, daß nicht von einem Dritten über das Endliche hinausgegangen wird, sondern daß die Bestimmtheit als sich in sich selbst auflösend, über sich hinausgeht. Aber das qualitative und quantitative Unendliche unterscheiden sich dadurch, daß im ersten der Gegensatz des Endlichen und Unendlichen qualitativ ist, und der Übergang des Endlichen in das Unendliche, oder die Beziehung beider auf einander nur im Ansich, in ihrem Begriffe liegt. Die qualitative Bestimmtheit ist zunächst unmittelbar, seiend; und bezieht sich auf das Anderssein wesentlich als auf ein ihr Anderes, sie ist nicht gesetzt, ihre Negation, ihr Anderes an ihr selbst zu haben. Die Größe hingegen ist als solche, aufgehobene Bestimmtheit; sie ist gesetzt, die Negation, ungleich mit sich und das Veränderliche zu sein. Das qualitative Endliche und Unendliche stehen sich daher absolut gegeneinander über; ihre Einheit ist, die zu Grunde liegende innerliche Beziehung; das Endliche kontinuiert sich daher nicht unmittelbar in sein Anderes. Hingegen das quantitative Endliche bezieht sich an ihm selbst in sein Unendliches. Ihre Beziehung ist daher der unendliche Progreß.

2. Der unendliche Progreß

Der Progreß ins Unendliche ist nichts anderes, als der Ausdruck des Widerspruchs, den das quantitativ-Endliche oder das Quantum überhaupt enthält. Er ist die Wechselbestimmung des Endlichen und Unendlichen, die in der qualitativen Sphäre betrachtet worden ist, aber mit dem Unterschiede, daß wie so eben erinnert, im Quantitativen sich die Grenze an ihr selbst in ihr Jenseits fortsetzt, und somit umgekehrt auch das quantativ-Unendliche gesetzt ist, das Quantum, sein Anderes an ihm selbst zu haben. Endliches und Unendliches ist, das eine das Nichtsein des andern. Aber weil die quantitative Bestimmtheit der nur aufgehobene Unterschied ist, so ist das Quantitative in seinem Außersichsein selbst. Das quantitativ-Unendliche ist also zwar das aufgehobene Quantum nicht nur als ein Quantum, sondern als das Quantum. Aber weil das Quantum sich in sein Aufgehobensein kontinuiert, so ist das Unendliche eben so sehr als das Gegenteil seiner selbst, als Quantum bestimmt.

Das Quantum also ist die Bestimmtheit-an-sich, die gegen anderes gleichgültige Bestimmtheit, welche aber eben so sehr nur ist, als sich äußerlich. Der unendliche Progreß ist der Ausdruck dieses Widerspruchs, nicht die Auflösung desselben; er bleibt schlechthin im Widerspruche stehen, und geht nicht über ihn hinaus.

Oder der Progreß ins Unendliche ist nur die Aufgabe des Unendlichen, nicht die Erreichung desselben. Er ist das perennierende Erzeugen desselben, ohne über das Quantum selbst hinauszukommen, und ohne daß das Unendliche ein Positives und Gegenwärtiges würde. Das Quantum ist ein solches, in dessen Begriff es ist, ein Jenseits seiner zu haben. Dies Jenseits ist erstlich das reine Moment des Nichtseins des Quantums; denn es löst es sich an sich selbst auf. So bezieht es sich auf sein Jenseits, auf seine Unend lichkeit. Dies ist das qualitative Moment des Gegensatzes. Aber zweitens steht das Quantum in Kontinuität mit diesem seinem Jenseits, das ein Nicht[suner][…][s] Nichtsein des Quantums ist; denn das Quantum […][st]eht eben darin, das Andre seiner selbst, sich selbst äußerlich zu sein; also ist dies Andre, dies Äußerliche eben so sehr nicht ein Anderes als das Quantum. Das Jenseits, oder das Unendliche ist also selbst ein Quantum. Das Jenseits ist auf diese Weise aus seiner Flucht zurückgerufen, und das Unendliche erreicht. Aber weil dies zum Diesseits gewordene wieder ein Quantum ist, ist nur wieder eine neue Grenze gesetzt worden. Das wieder entstandene Quantum ist darum, weil es Quantum ist, auch wieder von sich selbst geflohen, ist als solches über sich hinaus, und hat sich in sein Nichtsein von sich selbst repelliert; es hat somit ein perennierendes Jenseits. Aber das Quantum besteht zugleich eben darin, sich äußerlich zu sein. Also ist jenes Jenseits, selbst wieder das Quantum.

Wird dies, daß hierin das Jenseits oder das Unendliche als Quantum und umgekehrt das Quantum als Unendliches bestimmt wird, in einen Ausdruck vereinigt, so gibt diese Verbindung ein Unendlichgroßes oder Unendlichkleines. Aber diese Verbindung ist selbst nichts anderes als nur der falsche Ausdruck des Widerspruchs, oder des unendlichen Progresses. Denn das Quantum und sein Jenseits sind darin in ihrer absoluten Bestimmtheit gegen einander, das eine als das Nichtsein des andern, erhalten. Das Unendlichgroße und Unendlichkleine, wird als ein Quantum vorgestellt; es ist ein Großes oder Kleines; aber als Quantum hat es sein Jenseits eben so sehr von sich abgestoßen; es ist nicht zum Unendlichen erweitert, sondern im perennierenden Gegensatze gegen dasselbe erhalten. Das Große noch so sehr erweitert, schwindet daher zur Unbeträchtlichkeit zusammen; denn insofern es sich auf das Unendliche als auf sein Nichtsein bezieht, ist der Gegensatz nach diesem Momente qualitativ; das erweiterte Quantum, hat also dem Unendlichen nichts abgewonnen; sondere wiese ist vor wie nach das Nichtsein desselben. Oder, die Vergrößerung des Quantums ist keine Näherung zum Unendlichen, denn der Unterschied des Quantum und seiner Unendlichkeit hat wesentlich das Moment, ein nicht quantitativer Unterschied zu sein. — Eben so das Unendlichkleine ist als Kleines ein Quantum und bleibt daher absolut d. h. qualitativ zu groß für das Unendliche, und ist diesem entgegengesetzt.

Das Unendlichgroße oder Kleine ist daher nur selbst der unendliche Progreß. Diese Unendlichkeit, welche als das Jenseits des Endlichen bestimmt ist, ist als die schlechte quantitative Unendlichkeit zu bezeichnen. Sie ist Unendlichkeit des Progresses und wie die qualitative schlechte Unendlichkeit, nur das perennierende Herüber- und Hinübergehen von dem einen Gliede des bleibenden Widerspruchs zum andern, von der Grenze zu ihrem Nichtsein, von dieser aufs neue zurück zu ebendemselben zur Grenze. Es ist nicht sowohl ein Fortgehen, sondern ein Wiederholen von einem und eben demselben, Setzen, Aufheben, und Wiedersetzen und Wiederaufheben; eine Ohnmacht des Negativen, dem das, was es aufhebt, durch sein Aufheben selbst als ein kontinuierliches wiederkehrt. Es sind zwei so zusammengeknüpft, daß sie sich schlechthin fliehen; und indem sie sich fliehen, können sie sich nicht trennen, sondern sind in ihrer Trennung verknüpft.

Anmerkung 1

Die schlechte Unendlichkeit pflegt vornehmlich in der Form des Progresses des Quantitativen ins Unendliche, — dies fortgehende überfliegen der Grenze, das die Ohnmacht ist, sie aufzuheben, und der perennierende Rückfall in dieselbe, — für etwas Erhabenes und für eine Art von Gottesdienst gehalten zu werden, so wie derselbe in der Philosophie als ein Letztes angesehen worden ist. Es finden sich allenthalben Tiraden solcher Art, die als erhabene Produktionen bewundert worden sind. In der Tat aber macht diese moderne Erhabenheit nicht den Gegenstand groß, welcher vielmehr entflieht, sondern nur das Subjekt, das so große Quantitäten in sich verschlingt. Es tut sich aber die Dürftigkeit dieser subjektiv bleibenden Erhebung, die an der Leiter des Quantitativen hinaufsteigt, damit kund, daß sie in der vergeblichen Arbeit dem unendlichen Ziele nicht näher kommt, welches zu erreichen ganz anders anzugreifen ist.

Bei folgenden Tiraden dieser Art ist es zugleich ausgedrückt, in was solche Erhebung übergeht und aufhört. Kant z. B. führt es als erhaben auf,

„wenn das Subjekt mit dem Gedanken sich über „den Platz erhebt, den es in der Sinnenwelt einnimmt, „und die Verknüpfung ins unendlich Große erweitert, „eine Verknüpfung mit Sternen über Sternen, mit „Welten über Welten, Systemen über Systemen, überdem noch in grenzenlose Zeiten ihrer periodischen Bewegung, deren Anfang und Fortdauer. — Das Vorstellen erliegt diesem Fortgehen ins Unermeßlich-Ferne, „wo die fernste Welt immer noch eine fernere hat, die „so weit zurückgeführte Vergangenheit noch eine weitere „hinter sich, die noch so weit hinausgeführte Zukunft „immer noch eine andere vor sich; der Gedanke erliegt dieser Vorstellung des Unermeßlichen; wie ein „Traum, daß einer einen langen Gang immer weiter „und unabsehbar weiter fortgehe, ohne ein Ende abzusehen, mit Fallen oder mit Schwindel endet.“

Diese Darstellung, außerdem daß sie den Inhalt des quantitativen Erhebens in einen Reichtum der Schilderung zusammendrängt, verdient wegen der Wahrhaftigkeit vornehmlich Lob, mit der sie es angibt, wie es dieser Erhebung am Ende ergeht: der Gedanke erliegt, das Ende ist Fallen und Schwindel. Was den Gedanken erliegen macht, und das Fallen desselben und Schwindel hervorbringt, ist nichts anderes, als die Langeweile jener Wiederholung, welche eine Grenze verschwinden und wieder auftreten und wieder verschwinden, so immer das eine um das andere, und eins im andern, in dem Jenseits das Diesseits, in dem Diesseits das Jenseits perennierend entstehen und vergehen lässt, und nur das Gefühl der Ohnmacht dieses Unendlichen oder dieses Sollens gibt, das über das Endliche Meister werden will und nicht kann.

Auch die Hallesche, von Kant sogenannte schauderhafte Beschreibung der Ewigkeit pflegt besonders bewundert zu werden, aber oft gerade nicht wegen derjenigen Seite, die das wahrhafte Verdienst derselben ausmacht:

| „Ich häufe ungeheure Zahlen, | Gebirge Millionen auf, | Ich setze Zeit auf Zeit, und Welt auf Welt zu Hauff, | Und wenn ich von der grausen Höhe | Mit Schwindeln wieder nach dir sehe, | Ist alle Macht der Zahl, vermehrt zu Tausendmalen, | Noch nicht ein Teil von dir.“ | „Ich zieh sie ab, und du liegst ganz vor | mir.“

Wenn auf jenes Aufbürden und Auftürmen von Zahlen und Welten als auf eine Beschreibung der Ewigkeit der Wert gelegt wird, so wird übersehen, daß der Dichter selbst dieses sogenannte schauderhafte Hinausgehen für etwas vergebliches und hohles erklärt, und daß er damit schließt, daß nur durch das Aufgeben dieses leeren unendlichen Progresses das wahrhafte Unendliche selbst zur Gegenwart vor ihn komme.

Bekanntlich tun sich auch die Astronomen auf das Erhabene ihrer Wissenschaft gern darum viel zu Gute, weil sie mit einer unermeßlichen Menge von Sternen, mit so unermeßlichen Räumen und Zeiten zu tun habe, in denen Entfernungen und Perioden, die für sich schon so groß sind, zu Einheiten dienen, welche noch so vielmal genommen, sich wieder zur Unbedeutenheit verkürzen. Das schale Erstaunen, dem sie sich dabei überlassen, die abgeschmackten Hoffnungen, erst noch in jenem Leben von einem Sterne zum andern zu reisen und ins Unermeßliche fort dergleichen neue Kenntnisse zu erwerben, geben sie für ein Hauptmoment der Vortrefflichkeit ihrer Wissenschaft aus, — welche allerdings bewundernswürdig ist, aber nicht um der quantitativen Unendlichkeit willen, die in ihr vorkommt, sondern im Gegenteil um der Maßverhältnisse und der Gesetze willen, welche die Vernunft in diesen Gegenständen erkannt hat, und die das vernünftige Unendliche gegen jene unvernünftige Unendlichkeit sind.

Der Unendlichkeit, die sich auf die äußere sinnliche Anschauung bezieht, setzt Kant die andere Unendlichkeit gegenüber, wenn

„das Individuum auf sein unsichtbares Ich zurückgeht, und die absolute Freiheit seines Willens als ein „reines Ich allen Schrecken des Schicksals und der Tyrannei entgegenstellt, von seinen nächsten Umgebungen „anfangend, sie für sich verschwinden, eben so das, was „als dauernd erscheint, Welten über Welten in Trümmer zusammenstürzen lässt, und einsam sich als sich „selbst gleich erkennt.“

Ich in dieser Einsamkeit mit sich ist zwar das erreichte Jenseits; im reinen Selbstbewußtsein ist die absolute Negativität zur Gegenwart gebracht und bei sich selbst, welche in jenem Fortgehen über das sinnliche Quantum, nur flieht. Aber indem dies reine Ich in seiner Abstraktion und Inhaltslosigkeit sich fixiert, hat es das Dasein überhaupt, die Fülle des natürlichen und geistigen Universums als ein Jenseits sich gegenüber. Es stellt sich derselbe Widerspruch dar, der dem unendlichen Progresse zu Grunde liegt; nämlich ein Zurückgekehrtsein in sich, das unmittelbar zugleich Außersichsein, Beziehung auf sein Anderes als auf sein Nichtsein, ist. Welche Beziehung eine Sehnsucht bleibt, weil Ich sich seine Leere einerseits, und die Fülle als sein Jenseits fixiert hat.

Kant fügt diesen beiden Erhabenheiten die Bemerkung bei, „daß Bewunderung (für die erstere, äußerliche) und Achtung (für die zweite, innerliche) Erhabenheit, zwar zur Nachforschung reizen, aber den „Mangel derselben nicht ersetzen können.“ — Er erklärt damit jene Erhebungen als unbefriedigend für die Vernunft, welche bei ihnen und den damit verbundenen Empfindungen nicht stehen bleiben, und das Jenseits und das Leere nicht für das Letzte gelten lassen kann.

Als ein Letztes ist der unendliche Progreß vornehmlich in seiner Anwendung auf die Moralität genommen worden. Der so eben angeführte zweite Gegensatz des Endlichen und Unendlichen, der mannigfaltigen Welt und des in seine Freiheit erhobenen Ichs, ist zunächst in seiner Reinheit qualitativ. Indem das Selbstbestimmen des Ich zugleich darin besteht die Natur zu bestimmen und sich von ihr zu befreien, so bezieht es sich durch sich selbst auf sein Anderes, welches als äußerliches Dasein ein Vielfältiges und Quantitatives ist. Das Bestimmen eines Quantitativen wird aber selbst quantitativ, und die negative Beziehung des Ich darauf, die Macht des Ich über das Nicht-Ich oder über die Sinnlichkeit und äußere Natur, wird daher so vorgestellt, daß die Moralität immer größer, die Macht der Sinnlichkeit aber immer kleiner werden könne und solle; die völlige Angemessenheit des Willens aber zum moralischen Gesetze wird in den ins Unendliche gehenden Progreß verlegt, das heißt, als ein absolutes unerreichbares Jenseits vorgestellt, und eben dies solle der wahre Anker und der rechte Trost sein, daß es ein unerreichbares ist.

In diesem Gegensatze werden Ich und Nicht-Ich, oder der reine Wille und die Natur und Sinnlichkeit als vollkommen selbstständig und gleichgültig gegeneinander vorgestellt. Der reine Wille hat sein eigentümliches Gesetz, das in wesentlicher Beziehung auf die Sinnlichkeit steht; eben so hat die Natur Gesetze, die weder aus dem Willen genommen und ihm entsprechend sind, noch auch nur, wenn gleich verschieden davon, an sich eine wesentliche Beziehung auf ihn hätten, sondern sie sind überhaupt für sich bestimmt, in sich fertig und geschlossen. Zugleich sind beide aber Momente eines und desselben einfachen Wesens, des Ich; der Wille ist das Negative, das darin besteht, die Natur aufzuheben, also nur ist, insofern ein solches von ihm verschiedenes ist, das von ihm aufgehoben werde. Er setzt sich in ein Verhalten gegen die Sinnlichkeit, sie zu bestimmen; er geht dadurch über sich hinaus, berührt sie und ist so selbst von ihr affiziert. Die Natur und Sinnlichkeit ist als ein selbstständiges System von Gesetzen vorausgesetzt; das Beschränken durch ein anderes ist ihr also gleichgültig; sie erhält sich in diesem Begrenztwerden, tritt selbstständig in die Beziehung ein, und begrenzt den Willen eben so sehr, als er sie begrenzt. — Es ist Ein Akt, daß der Wille sich selbst bestimmt, und das Anderssein einer Natur aufhebt, und daß dies Anderssein gesetzt ist, oder daß es sich in sein Aufgehobenwerden kontinuiert. Der Widerspruch, der hierin liegt, wird im unendlichen Progresse nicht aufgelöst, sondern im Gegenteil als unaufgelöst und unauflösbar dargestellt und behauptet; der Kampf der Moralität und der Sinnlichkeit wird vorgestellt, als das an und für sich seiende, absolute Verhältnis.

Die Ohnmacht über den Gegensatz des Endlichen und Unendlichen Meister zu werden, nimmt zur Größe ihre Zuflucht, um sie als die Mittlerin zu gebrauchen, weil sie das aufgehobene Qualitative, der gleichgültig gewordene Unterschied ist. Allein indem beide Glieder des Gegensatzes als qualitativ verschieden zu Grunde liegen, so wird dadurch, daß sie sich in ihrer gegenseitigen Beziehung als Quanta verhalten, eben jedes gegen diese Veränderung gleichgültig. Die Natur wird durch Ich bestimmt; aber weil diese Negation nicht dem qualitativen sondern nur den quantitativen Unterschied enthält, so ist es eben ein solcher, der die Natur nicht selbst betrifft, sondern sie als das bestehen lässt, was sie ist.

In der abstrakteren Darstellung der Kantischen Philosophie oder wenigstens ihrer Prinzipien, nämlich in der Fichteschen Wissenschaftslehre, macht der unendliche Progreß auf dieselbe Weise die Grundlage und das Letzte aus. Auf den ersten Grundsatz dieser Darstellung, Ich = Ich, folgt ein zweiter davon unabhängiger, die Entgegensetzung des Nicht-Ich; die Beziehung beider wird als der quantitative Unterschied angenommen, daß Nicht-Ich zum Teil durch Ich bestimmt wird, zum Teil auch nicht. Das Nicht-Ich kontinuiert sich auf diese Weise in sein Nichtsein als ein seinem Nichtsein entgegengesetzt bleibendes, als ein nicht aufgehobenes. Nachdem daher die Widersprüche, die darin liegen, entwickelt worden sind, so ist das schlüssliche Resultat dasjenige Verhältnis, welches der Anfang war; das Nicht-Ich bleibt ein unendlicher Anstoß, ein absolut-Anderes; die letzte Beziehung seiner und des Ich aufeinander ist der unendliche Progreß, derselbe Widerspruch, mit welchem angefangen wurde. Das Endliche, und das endliche Verhältnis soll das absolute Wahre sein.

Weil das Quantitative überhaupt die Negation der Bestimmtheit ist, so glaubte man für die Einheit des Absoluten, für die Eine Substantialität, viel oder vielmehr Alles gewonnen zu haben, indem man den Gegensatz überhaupt zu einem nur quantitativen Unterschiede herabsetzte. Aller Gegensatz ist nur quantitativ, war einige Zeit ein Hauptsatz der neuern Philosophie; die entgegengesetzten Bestimmungen haben dasselbe Wesen, denselben Inhalt; — ferner hat auch jede Seite des realen Gegensatzes beide Bestimmungen, beide Faktoren in ihr; nur daß auf der einen Seite der eine Faktor, auf der andern der andre überwiegend ist; und das Überwiegende wurde häufig auch in dem Sinne genommen, daß in der einen Seite der eine Faktor, eine Materie oder eine Tätigkeit, in größerer Menge oder in stärkerem Grade vorhanden sei, als in der andern. Was das letztere betrifft, insofern verschiedene Stoffe oder Tätigkeiten vorausgesetzt werden, so bestätigt und vollendet der quantitative Unterschied vielmehr ihre Äußerlichkeit und Gleichgültigkeit gegeneinander. Was aber das erstere betrifft, daß der Unterschied der absoluten Einheit nur quantitativ sein soll, so ist das Quantitative zwar die aufgehobene unmittelbare Bestimmtheit, aber es ist die nur unvollkommene Negation; denn es ist erst die erste Negation, nicht die unendliche, nicht die Negation der Negation. — Oder indem Sein und Denken als quantitative Bestimmungen der absoluten Substanz vorgestellt werden, so werden sie, als Quanta, eben dadurch, wie in untergeordneter Sphäre der Kohlenstoff, Stickstoff u. s. f. sich vollkommen äußerlich und beziehungslos. Es ist ein Drittes, eine äußerliche Reflexion, welche von ihrem Unterschiede abstrahiert, und ihre innere, nur ansichseiende Einheit erkennt. Diese Einheit wird auf diese Weise nur als erste unmittelbare vorgestellt, oder nur als Sein, welches in seinem quantitativen Unterschiede sich gleich bleibt, aber nicht sich durch sich selbst gleich setzt; oder es ist nicht begriffen, als Negation der Negation, als unendliche Einheit. Es ist nur der qualitative Gegensatz, welcher die wahrhafte Unendlichkeit enthält, und der quantitative Unterschied geht, wie sich sogleich näher ergeben wird, in das Qualitative über.

Anmerkung 2

Es ist oben erinnert worden, daß die Kantischen Antinomien Darstellungen des Gegensatzes des Endlichen und Unendlichen, in einer concretern Gestalt, auf speziellere Substrate der Vorstellung angewendet, sind. Die oben betrachtete Antinomie enthielt mehr den Gegensatz der qualitativen Endlichkeit und Unendlichkeit. In einer andern, der ersten der vier kosmologischen Antinomien, ist es mehr die quantitative Grenze, die in ihrem Widerstreite betrachtet wird. Ich will die Untersuchung dieser Antinomie daher hier anstellen.

Sie betrifft nämlich die Begrenztheit oder Unbegrenztheit der Welt in Zeit und Raum. — Es konnte eben so gut dieser Gegensatz auch in Rücksicht auf Zeit und Raum selbst betrachtet werden, denn ob Zeit und Raum Verhältnisse der Dinge selbst, oder aber nur Formen der Anschauung sind, ändert nichts für das antinomische der Begrenztheit oder Unbegrenztheit.

Die nähere Auseinanderlegung dieser Antinomie wird gleichfalls zeigen, daß die beiden Sätze und eben so ihre Beweise, die wie bei der oben betrachteten apogogisch geführt sind, auf nichts, als auf die zwei einfachen, entgegengesetzten Behauptungen hinauslaufen: es ist eine Grenze, und es muß über die Grenze hinausgegangen werden.

Die Thesis ist:

„Die Welt hat einen Anfang in der „Zeit, und ist dem Raume nach auch in „Grenzen eingeschlossen.“

Der eine Teil des Beweises, die Zeit betreffend, nimmt das Gegenteil an,

„die Welt habe der Zeit nach keinen Anfang, so ist „bis zu jedem gegebenen Zeitpunkt eine Ewigkeit abgelaufen, und mithin eine unendliche Reihe auf „einander folgenden Zustände der Dinge in der Welt ver flossen. Nun besteht aber eben darin die Unendlichkeit einer Reihe, daß sie durch sukzessive Synthesis niemals vollendet sein kann. Also ist eine unendliche „verflossene Weltreihe unmöglich, mithin ein Anfang der „Welt eine notwendige Bedingung ihres Daseins; welches zu erweisen war.“

Der andere Teil des Beweises, der den Raum betrifft, wird auf die Zeit zurückgeführt. Das Zusammenfassen der Teile einer im Raume unendlichen Welt erforderte eine unendliche Zeit, welche als abgelaufen angesehen werden müsste, insofern die Welt im Raume nicht als ein werdendes, sondern als ein vollendetes gegebenes anzusehen ist. Von der Zeit aber wurde im ersten Teile des Beweises gezeigt, daß eine unendliche Zeit als abgelaufen anzunehmen unmöglich ist.

Man sieht aber sogleich, daß es unnötig war, den Beweis apogogisch zu machen, oder überhaupt einen Beweis zu führen, indem in ihm selbst unmittelbar die Behauptung dessen zu Grunde liegt, was bewiesen werden sollte. Es wird nämlich irgend ein oder jeder gegebene Zeitpunkt angenommen, bis zu welchem eine Ewigkeit (-- Ewigkeit hat hier nur den geringen Sinn einer schlecht-unendlichen Zeit) abgelaufen sei. Ein gegebener Zeitpunkt heißt nichts anders, als eine bestimmte Grenze in der Zeit. Im Beweise wird also eine Grenze der Zeit als wirklich vorausgesetzt; sie ist aber eben das, was bewiesen werden sollte. Denn die Thesis besteht darin, daß die Welt einen Anfang in der Zeit habe.

Nur der Unterschied findet Statt, daß die angenommene Zeitgrenze ein Jetzt, als Ende der vorher verflossenen, die zu beweisende aber Jetzt als Anfang einer Zukunft ist. Allein dieser Unterschied ist unwesentlich. Jetzt wird als der Punkt angenommen, in welchem eine unendliche Reihe auf einander folgender Zustände der Dinge in der Welt verflossen sein soll, also als Ende, als qualitative Grenze. Würde dies Jetzt nur als quantitative Grenze betrachtet, über welche hinaus zu gehen und die fließend sei, so wäre die unendliche Zeitreihe in ihr nicht verflossen, sondern führe fort zu fließen, und das Räsonnement des Beweises fiele weg. Dieser als qualitative Grenze für die Vergangenheit angenommene Zeitpunkt aber ist zugleich Anfang für die Zukunft, — denn an sich ist jeder Zeitpunkt die Beziehung der Vergangenheit und der Zukunft, — und zwar ist er absoluter Anfang für dieselbe. Denn es tut nichts zur Sache, daß vor seiner Zukunft und vor dem Anfange derselben schon eine Vergangenheit ist; indem dieser Zeitpunkt qualitative Grenze ist, — und als qualitative ihn anzunehmen, liegt in der Bestimmung des Vollendeten, Abgelaufenen, also sich nicht kontinuierenden, — so ist die Zeit in ihm abgebrochen, und die Vergangenheit, von der die Rede ist, ohne Beziehung auf die Zeit, welche nur Zukunft in Rücksicht auf diese Vergangenheit genannt werden konnte, und daher nur Zeit überhaupt ist, die einen absoluten Anfang hat. Stünde sie aber, — (wie sie es denn tut —) durch das Itzt, den gegebenen Zeitpunkt, in einer Beziehung auf die Vergangenheit, wäre sie in der Tat Zukunft, so wäre auch dieser Zeitpunkt von der andern Seite keine Grenze, die unendliche Zeitreihe kontinuierte sich in dem, was Zukunft hieß, und wäre nicht, wie angenommen worden, vollendet.

In Wahrheit ist die Zeit reine Quantität; der im Beweise gebrauchte Zeitpunkt, in welchem sie unterbrochen sein sollte, ist vielmehr nur das sich selbst auf hebende Fürsichsein des Itzt. Der Beweis leistet nichts, als daß er die in der Thesis behauptete absolute Grenze der Zeit als einen gegebenen Zeitpunkt vorstellig macht und geradezu annimmt, eine populäre Bestimmung, welche das sinnliche Vorstellen leicht als eine Grenze passieren, somit im Beweise dies als Annahme gelten lässt, was vorher als das zu beweisende aufgestellt wurde.

Die Antithesis heißt:

„Die Welt hat keinen Anfang und keine Grenzen im Raume, sondern ist sowohl „in Ansehung der Zeit als des Raumes unendlich.“

Der Beweis setzt das Gegenteil:

„Die Welt habe einen Anfang. Da der Anfang „ein Dasein ist, wovor eine Zeit vorhergeht, darin das „Ding nicht ist, so muß eine Zeit vorhergegangen sein, „darin die Welt nicht war, d. i. eine leere Zeit. Nun „ist aber in einer leeren Zeit kein Entstehen irgend „eines Dings möglich; weil kein Teil einer solchen Zeit „vor einem andern irgend eine unterscheidende „Bedingung des Daseins, vor der des Nichtdaseins „an sich hat. Also kann zwar in der Welt manche Reihe der Dinge anfangen, die Welt selbst aber keinen Anfang nehmen, und ist in Ansehung der vergangenen „Zeit unendlich.“

Dieser apogogische Beweis enthält, wie die andern, nur die direkte und unbewiesene Behauptung dessen, was er beweisen sollte. Er nimmt nämlich zuerst ein Jenseits des weltlichen Daseins, eine leere Zeit, an; aber kontinuiert alsdann auch das weltliche Dasein eben so sehr über sich hinaus in diese leere Zeit hinein, hebt diese dadurch auf, und setzt somit das Dasein ins Unendliche fort. Die Welt ist ein Dasein; der Beweis setzt voraus, daß dies Dasein entstehe, und das Entstehen eine in der Zeit vorhergehende Bedingung habe. Darin aber eben besteht die Antithesis selbst, daß es kein unbedingtes Dasein, keine absolute Grenze gebe, sondern das wesentliche Dasein immer eine vorhergehende Bedingung fordere. Diese Bedingung ist zugleich selbst bedingt; sie wird in der leeren Zeit gesucht, was so viel heißt, als daß sie selbst als zeitlich und somit als Dasein, und beschränktes angenommen wird. Überhaupt also ist die Annahme gemacht, daß die Welt als Dasein ein anderes Dasein voraussetze und so fort ins Unendliche.

Der Beweis in Ansehung der Unendlichkeit der Welt im Raume ist dasselbe. Apogogischer Weise wird die räumliche Endlichkeit der Welt angenommen; „sie befände „sich somit in einem leeren unbegrenzten Raume, und „hätte ein Verhältnis zu ihm; ein solches Verhältnis der Welt zu keinem Gegenstande aber ist Nichts.“

Was bewiesen werden sollte, ist hier im Beweise gleichfalls direkt vorausgesetzt. Es wird nämlich direkt angenommen, daß die begrenzte räumliche Welt sich in einem leeren Raume befinden und ein Verhältnis zu ihm haben sollte, das heißt, daß über sie hinausgegangen werden müsse, einerseits in das Leere, in das Jenseits und Nichtsein derselben, andererseits aber daß sie damit im Verhältnis stehe, also sich darein hinein kontinuiere, und das Jenseits mit weltlichem Dasein erfüllt vorzustellen sei. Was die Antithesis behauptet, die Unendlichkeit der Welt im Raume, ist nichts anderes, als einesteils der leere Raum, andernteils das Verhältnis der Welt zu ihm, das heißt die Kontinuität derselben in ihm, oder die Erfüllung desselben; welcher Widerspruch, der Raum zugleich als leer und zugleich als erfüllt, der unendliche Progreß des Daseins im Raume ist. Aber dieser Widerspruch selbst, das Verhältnis der Welt zum leeren Raume, ist im Beweise direkt angenommen.

Die Thesis und Antithesis und die Beweise derselben stellen daher nichts dar, als die entgegengesetzten Behauptungen, daß eine Grenze ist, und daß die Grenze eben so sehr nur eine aufgehobene ist; daß nämlich die Grenze ein Jenseits hat, mit dem sie in Beziehung steht, wohin über sie hinauszugehen ist, worin aber wieder eine solche Grenze entsteht, die keine ist.

Die Auflösung dieser Antinomien ist, wie die der obigen, transzendental, das heißt, sie besteht in der Behauptung der Idealität des Raums und der Zeit, als Formen der Anschauung, in dem Sinne, daß die Welt an ihr selbst nicht im Widerspruch mit sich, nicht ein sich aufhebendes, sondern das Bewußtsein in seinem Anschauen und in der Beziehung der Anschauung auf Verstand und Vernunft, ein sich selbst widersprechendes Wesen sei.

3. Unendlichkeit des Quantums

1. Das unendliche Quantum, als unendlichgroßes oder unendlichkleines, ist selbst der unendliche Progreß; es ist Quantum als ein Großes oder Kleines, und ist Nichtsein des Quantums als Unendliches. Das Unendlichgroße und Unendlichkleine sind daher Bilder der Vorstellung, die bei näherer Betrachtung sich als nichtiger Nebel und Schatten zeigen. Der unendliche Progreß aber drückt nichts anders aus, als die Natur des Quantums, das als intensive Größe seine Realität erreicht hat.

Das Quantum, in sich zurückgekehrt, ist einfach, auf sich bezogen und als an sich bestimmt. Aber indem durch diese Einfachheit das Anderssein und die Bestimmtheit an ihm selbst aufgehoben ist, so ist diese ihm äußerlich; es hat seine absolute Bestimmtheit vielmehr außer ihm. Dies sein Außersichsein ist zunächst das abstrakte Nichtsein des Quantums überhaupt, die schlechte Unendlichkeit. Aber ferner ist es auch ein Großes, das Quantum kontinuiert sich in sein Nichtsein, denn es hat eben seine Bestimmtheit in seiner Äußerlichkeit; diese seine Äußerlichkeit ist daher eben so sehr selbst Quantum, nur ein anderes Quantum, das aber wieder wie das erste sich aufhebt.

Das Quantum ist also an sich bestimmtes; diese seine Bestimmtheit aber hat es außer sich, es hebt sich also auf; umgekehrt ist es in seinem Außersichsein in sich zurückgekehrt, sein Außersichsein ist eben so sehr aufgehoben.

Dieser Kreis ist das Wahrhafte, was im unendlichen Progresse gesetzt ist. Es ist vorhanden das Quantum und sein Jenseits. Erstens hebt sich das Quantum auf, es ist an sich selbst das Hinausgehen über seine Grenze; das Jenseits ist die Unendlichkeit, aber es ist die schlechte Unendlichkeit, denn zweitens kontinuiert sich das Quantum in sie. Dies Jenseits das Nichtsein des Quantums, die Unendlichkeit wird selbst begrenzt, und von neuem ein Quantum gesetzt, das heißt, dies Jenseits wird selbst auf gehoben. Das Quantum ist eben es selbst durch sein Äusserlichsein; dies macht gerade die Bestimmtheit des Quantums, oder das aus, was das Quantum ist. Es ist also im unendlichen Progresse der Begriff des Quantums, wie er an sich ist; und es ist in dem Progresse vorhanden, das Aufheben des Quantums aber eben so sehr seines Jenseits; oder die Negation des Quantums sowohl, als die Negation dieser Negation.

Das Hinausgehen über das Quantum ist die Negation desselben, das Unendliche; aber es wird ein neues Quantum gesetzt, dies ist die Negation des Unendlichen, dieses schlechten Unendlichen, das der Vorstellung als ein Absolutes gilt, als ein Letztes, das sich nicht wieder aufhebt, und über das nicht mehr hinausgegangen werden könne. Die Wahrheit des unendlichen Progresses ist also, daß Quantum und sein Jenseits gesetzt sind, aber daß sie gesetzt sind, als aufgehobene. Seine Wahrheit ist also ihre Einheit, worin sie sind, aber als Momente.

Dies ist somit die wahre Auflösung des Widerspruchs, dessen Ausdruck der unendliche Progreß ist. Sie besteht in nichts anderem als in der Wiederherstellung des Begriffs der Größe, daß sie gleichgültige oder äußerliche Grenze ist. Im unendlichen Progresse als solchem pflegt nur darauf reflektiert zu werden, daß jedes Quantum, es sei noch so groß oder klein, verschwinden, daß über dasselbe muß hinausgegangen werden können; aber nicht darauf, daß dies sein Aufheben, das Jenseits, das schlecht-Unendliche selbst auch verschwindet. Dies geschieht aber darin, daß das Quantum sich in seine Negation hinein kontinuiert, daß über jedes Quantum hinaus, in sein Aufheben, ein neues Quantum gesetzt wird. Das erste Aufheben ist zwar an sich das Aufheben der Negation, — denn das Quantum ist aufgehobene Grenze, — aber es ist zugleich nur an sich dies; dies Unendliche ist nämlich fixiert, als das Jenseits des Quantums, das noch als ein Diesseits bestehen bleibt; oder das Quantum ist nur genommen als ein unmittelbares, und das Unendliche nur als die erste Negation. Aber im unendlichen Progresse ist mehr vorhanden, — als nur das Aufheben des unmittelbaren Quantums, oder als nur ein erstes Aufheben; es wird darin auch dies schlechte Unendliche, — durch die neue Begrenzung aufgehoben; es ist also darin vorhanden die Negation der Negation, oder das, was das Unendliche in Wahrheit ist. — Der Begriff des Quantums aber ist nicht nur wieder hergestellt, sondern er hat seine nähere Bestimmung erhalten; es ist das durch seinen Begriff bestimmte Quantum entstanden, was verschieden ist, von dem unmittelbaren Quantum.

2. Das Jenseits des Quantums hat nämlich eine bestimmtere, positive Bedeutung, als nur die des Nichtseins des Quantums; und eben so das Aufheben dieses Jenseits, und die Vereinigung desselben mit dem Quantum selbst.

Das Quantum ist als gleichgültige Grenze an sich selbst bestimmt; dieses sich auf sich beziehende Bestimmtsein ist das Verschwundensein seiner Äußerlichkeit, die es an ihm selbst hat; diese tritt damit außer demselben; sein Hinausgehen über sich ist sein wesentliches Moment, es bezieht sich durch sich selbst auf seine Äußerlichkeit; diese aber macht sein Ansich bestimmt sein aus, und die Natur seines Ansichbestimmtseins besteht in dieser Äußerlichkeit. Das Jenseits des Quantums ist also nicht das bloße Nichtsein, die leere, unbestimmte Negation desselben. Sondern das Quantum geht darum über sich hinaus, insofern es gleichgültige Grenze ist; es hebt diese Gleichgültigkeit auf, und setzt das Ansichsein derselben, als ein unendliches Jenseits, als das worin es negiert, worin es nicht es selbst, sondern die Äußerlichkeit seiner selbst ist. Aber vielmehr ist diese Äußerlichkeit das Gegenteil ihrer selbst; sie ist absolutes Moment der Größe selbst; denn das Quantum ist nicht es in seiner Unmittelbarkeit, sondern ist wesentlich Hinausgehen über sich; dies Hinausgehen über sich, diese seine Äußerlichkeit gehört also ihm selbst.

Sein Hinausgehen über sich aber ist das Aufheben seiner Gleichgültigkeit gegen das Äußerliche, das seine Bestimmtheit ist, es setzt damit diese als sich selbst. Es hebt sein Jenseits, seine Negation auf, das heißt, es hebt die Äußerlichkeit seines Bestimmtseins auf; vereinigt es mit sich und macht sich dadurch an sich bestimmt.

Jedes der Momente der Bewegung des unendlichen Progresses ist das Gegenteil seiner selbst; denn der unendliche Progreß ist der gesetzte Widerspruch. Das Quantum geht erstens über sich hinaus; dies heißt also 1) es hebt sich auf, setzt seine Negation, sein Jenseits und 2) es setzt damit vielmehr sein absolutes Bestimmtsein, das was es an sich ist. Zweitens dies Unendliche wird wieder bestimmt, es wird eine neue Grenze gesetzt; dies heißt somit 1) das Ansichsein des Quantums wird aufgehoben, es entzieht nur wieder ein gleichgültiges Quantum, 2) es wird die Negation des Quantums, das Jenseits desselben aufgehoben, sein Hinausgehen über sich wird also in es selbst zurückgenommen. Beide Seiten drücken dies aus, daß das Quantum, und daß die Negation des Quantums negiert wird; es ist also gesetzt seine unendliche Beziehung auf sich selbst, oder sein Ansichbestimmtsein. Die Unendlichkeit, die nur die schlechte, und ein Jenseits des Quantums war, gehört ihm an, das Quantum ist selbst unendlich.

In dieser Wiederherstellung des Quantums ist es als gleichgültige Grenze, als dies perennierende Hinausgehen über sich aufgehoben. Die Gleichgültigkeit und Äußerlichkeit des Quantums verschwindet also nur insofern als das Jenseits desselben aufgehoben ist. Das Quantum hat die Unendlichkeit, das Ansichbestimmtsein nicht mehr außer sich. Die Grenze ist also als gleichgültige oder als aufgehobene aufgehoben. Sie ist somit wieder qualitativ geworden.

Das Unendliche also, welches im unendlichen Progresse nur die leere Bedeutung eines Nichtseins, eines Jenseits hat, ist in der Tat nicht anderes als die Qualität. Das Quantum ist gleichgültige Grenze; es geht über sich hinaus ins Unendliche; es sucht damit nichts anderes, als das Ansichbestimmtsein, das qualitative Moment. Aber dies qualitative Moment ist nicht ein Jenseits seiner, es liegt in ihm selbst. Denn eben dies Hinausgehen selbst, oder das Jenseits, die Negation seiner ist dasjenige, was das Quantum zum Quantum macht; dies ist seine Bestimmtheit an sich; eben seine Gleichgültigkeit ist seine Bestimmung selbst.

Oder das Quantum ist die aufgehobene Qualität; aber das Quantum ist unendlich, geht über sich hinaus, es ist die Negation seiner. Es ist also die Negation der negierten Qualität, oder es ist die Wiederherstellung derselben.

Das Quantum aber, das als gleichgültige Grenze aufgehoben und qualitativ bestimmt ist, ist das quantitative Verhältnis. Im Verhältnisse ist das Quantum sich äußerlich, von sich selbst verschieden; aber diese seine Äußerlichkeit, die Beziehung auf das andere Quantum, macht zugleich seine Bestimmtheit aus; es hat darin nicht eine gleichgültige, sondern qualitative Bestimmung; es ist in seiner Äußerlichkeit in sich zurückgekehrt.

Anmerkung

Das mathematische Unendliche ist einesteils interessant durch die Erweiterung der Mathematik und die großen Resultate, welche seine Einführung in dieselbe hervorgebracht hat; andernteils aber ist es dadurch merkwürdig, daß es dieser Wissenschaft noch nicht gelungen ist, sich über den Gebrauch desselben durch den Begriff zu rechtfertigen. Die Rechtfertigungen beruhen auf der Richtigkeit der mit seiner Hilfe sich ergebenden Resultate, welche aus sonstigen Gründen erwiesen ist; nicht aber auf der Klarheit des Gegenstandes und der Operation, durch welche die Resultate herausgebracht werden, sogar daß diese Operation vielmehr als unrichtig zugegeben wird.

Dies ist schon ein Mißstand an und für sich, denn ein solches Verfahren ist unwissenschaftlich. Es führt aber auch den Nachteil mit sich, daß die Mathematik, indem sie die Natur dieses ihres Instruments nicht kennt, weil sie mit der Metaphysik oder Kritik desselben nicht fertig ist, den Umfang seiner Anwendung nicht bestimmen, und von Missbräuchen desselben sich nicht sicheren kann.

In philosophischer Rücksicht aber ist das mathematische Unendliche darum wichtig, weil ihm in der Tat der Begriff des wahrhaften Unendlichen zu Grunde liegt und weil es viel höher steht, als das gewöhnlich sogenannte metaphysische Unendliche, von dem aus die Einwürfe gegen ersteres gemacht werden. Gegen diese Einwürfe weiß sich die Wissenschaft der Mathematik gewöhnlich nur dadurch zu retten, daß sie die Kompetenz der Metaphysik verwirft, indem sie behauptet, daß sie mit dieser Wissenschaft nichts zu schaffen und sich um ihren Begriff nicht zu bekümmern habe, wenn sie nur auf ihrem eigenen Boden konsequent verfahre. Sie habe nicht zu betrachten, was an sich, sondern was auf ihrem Felde das Wahre sei. Die Metaphysik weiß die glänzenden Resultate des Gebrauchs des mathematischen Unendlichen nicht zu leugnen oder umzustoßen, und die Mathematik weiß mit der Metaphysik ihres eigenen Begriffs und daher auch mit der Ableitung der Verfahrungsweisen, die der Gebrauch des Unendlichen nötig macht, nicht ins Reine zu kommen.

Wenn es die einzige Schwierigkeit des Begriffs überhaupt wäre, von der die Mathematik gedrückt würde, so könnte sie diesen ohne Umstände auf der Seite liegen lassen, insofern nämlich der Begriff mehr ist, als nur die Angabe der wesentlichen Bestimmtheit einer Sache; denn sie ist nicht eine Wissenschaft, die es mit den Begriffen ihrer Gegenstände zu tun, und durch die Entwicklung des Begriffs, wenn auch nur durch Räsonnement, ihren Inhalt zu erzeugen hat. Allein bei der Methode ihres Unendlichen findet sie den Hauptwiderspruch an der eigentümlichen Methode, worauf sie überhaupt als Wissenschaft beruht. Denn die Rechnung des Unendlichen erlaubt und erfordert Verfahrungsweisen, welche die Mathematik sonst bei Operationen mit endlichen Größen durchaus verwerfen muß, und zugleich behandelt sie ihre unendlichen Größen, wie endliche Quanta, und will auf jene dieselben Verfahrungsweisen anwenden, welche bei diesen gelten.

Die Mathematik zeigt bei ihrem Gebrauche des Unendlichen und bei den der mathematischen Verfahrungsart geradezu widerstreitenden Operationen, die er nötig macht, daß Resultate, die sie dadurch findet, ganz mit denen übereinstimmen, welche durch die eigentlich mathematische, die geometrische und analytische, Methode gefunden werden. Aber teils betrifft dies nicht alle Resultate, und der Zweck der Einführung des Unendlichen ist nicht allein, den gewöhnlichen Weg abzukürzen, sondern zu Resultaten zu gelangen, die durch diesen nicht geleistet werden können. Teils aber rechtfertigt der Erfolg die Manier des Wegs nicht an und für sich. Diese Manier aber der Rechnung des Unendlichen ist immer durch den Schein der Ungenauigkeit gedrückt, den sie sich gibt, indem sie endliche Größen um eine unendlich kleine Größe das einemmal vermehrt, sie in der ferneren Operation zum Teil beibehält, aber einen Teil derselben auch vernachlässigt. Dies Verfahren zeigt die Sonderbarkeit, daß der eingestandenen Ungenauigkeit unerachtet, ein Resultat herauskommt, das nicht nur ziemlich und so nahe, daß der Unterschied außer Acht gelassen werden könnte, sondern vollkommen genau ist. In der Operation selbst aber, die dem Resultate vorher geht, kann die Vorstellung nicht entbehrt werden, daß einiges nicht gleich Null, aber so unbeträchtlich sei, um außer Acht gelassen werden zu können. Bei dem aber, was unter mathematischer Bestimmtheit zu verstehen ist, fällt aller Unterschied einer größeren oder geringern Genauigkeit gänzlich hinweg, wie in der Philosophie nicht von größerer oder geringerer Wahrscheinlichkeit, sondern von der Wahrheit allein die Rede sein kann. Wenn die Methode und der Gebrauch des Unendlichen durch den Erfolg, und selbst dies nur zum Teil, gerechtfertigt wird, so ist es nicht so überflüssig dessen ungeachtet die Rechtfertigung derselben zu fordern, als es bei der Nase überflüssig scheint, nach dem Erweise des Rechts, sich ihrer zu bedienen, zu fragen. Denn es ist bei der mathematischen als einer wissenschaftlichen Erkenntnis wesentlich um den Beweis zu tun, und auch in Ansehung der Resultate ist es der Fall, daß die streng mathematische Methode nicht zu allen den Beleg des Erfolgs liefert, der aber ohnehin nur ein äußerlicher Beleg ist.

Es ist der Mühe wert, den mathematischen Begriff des Unendlichen und einige der merkwürdigsten Versuche näher zu betrachten, welche die Absicht haben, den Gebrauch desselben zu rechtfertigen und die Schwierigkeit, von der sich die Methode gedrückt fühlt, zu beseitigen. Die Betrachtung dieser Rechtfertigungen und Bestimmungen des mathematischen Unendlichen, welche ich in dieser Anmerkung weitläufiger anstellen will, wird zugleich das beste Licht auf die Natur des wahren Begriffes selbst werfen, und zeigen, wie er ihnen vorgeschwebt und zu Grunde gelegen hat.

Die gewöhnliche Bestimmung des mathematischen Unendlichen ist, daß es eine Größe sei, über welche es keine größere oder kleinere mehr gebe. — In dieser Definition ist zwar der wahre Begriff noch nicht unmittelbar ausgedrückt, aber, wenn sie näher betrachtet wird, darin enthalten. Denn eine Größe wird in der Mathematik so definiert, daß sie etwas sei, das vermehrt und vermindert werden könne; überhaupt also eine gleichgültige Grenze. Indem nun das Unendlichgroße oder kleine ein solches ist, das nicht mehr vermehrt oder vermindert werden kann, so ist es in der Tat kein Quantum als solches mehr.

Diese Konsequenz ist notwendig und unmittelbar. Aber die Reflexion, daß das Quantum, — und ich nenne in dieser Anmerkung das endliche Quantum, nur Quantum überhaupt, — aufgehoben ist, ist es, die gewöhnlich nicht gemacht wird, welche für das gewöhnliche Begreifen die Schwierigkeit ausmacht, indem das Quantum, indem es unendlich ist, als ein aufgehobenes, als ein solches zu denken gefordert wird, das zugleich nicht ein Quantum ist.

Um das anzuführen, wie Kant jenen Begriff beurteilt ⁴, so findet er ihn nicht übereinstimmend mit dem, was man unter einem unendlichen Ganzen verstehe. „Nach dem gewöhnlichen Begriffe sei eine Größe unendlich, über die keine größere (d. i. über die darin enthaltene Menge einer gegebenen Einheit) möglich ist. — Durch ein unendliches Ganzes sei nicht vorgestellt, sagt er, wie groß es sei, mithin sei sein Begriff nicht der Begriff eines Maximums (oder Minimums) sondern es werde dadurch nur sein Verhältnis zu einer beliebig anzunehmenden Einheit gedacht, in Ansehung deren dasselbe größer ist, als alle Zahl. Je nachdem diese Einheit größer oder kleiner angenommen würde, würde das Unendliche größer oder kleiner sein; allein die Unendlichkeit, da sie bloß in dem Verhältnisse zu dieser gegebenen Einheit bestehe, würde immer dieselbe bleiben, obgleich freilich die absolute Größe des Ganzen dadurch gar nicht erkannt würde.“

Kant tadelt es also, daß unendliche Ganze als ein Maximum, als eine vollendete Menge einer gegebenen Einheit angesehen werden. Das Maximum oder Minimum ist nämlich selbst ein Quantum, eine Menge, nicht bloß ein Verhältnis. Die gewöhnliche Vorstellung, der das Unendlichgroße oder kleine als ein Etwas, das ein Quantum sei, erscheint, kann die von Kant angeführte Konsequenz, nicht ablehnen, die auf ein größeres oder kleineres Unendliches führt, je nachdem die zum Grunde liegende Einheit als größer oder kleiner angenommen würde, die ein veränderliches ist. Oder überhaupt indem das Unendliche als Quantum vorgestellt wird, so gilt noch für dasselbe der Unterschied eines größeren oder kleineren. Allein die Kritik trifft nicht den Begriff des wahrhaften mathematischen Unendlichen, der unendlichen Differenz, denn diese ist kein endliches Quantum mehr.

Kants Begriff dagegen, den er den wahren transzendentalen nennt, ist, „daß die sukzessive Synthesis der Einheit in Durchmessung eines Quantums niemals vollendet sein könne.“ Einerseits ist hier zwar ein Quantum als gegeben vorausgesetzt; aber dies solle erst synthesirt und zwar solle dies Synthesiren, wodurch es zu einer Anzahl und einem Quantum gemacht würde, niemals vollendet werden. Hiermit ist, wie erhellt, nichts als der Progreß ins Unendliche ausgesprochen, nur transzendental, oder eigentlich subjektiv und psychologisch vorgestellt. An sich soll zwar das Quantum vollendet sein, aber transzendentalerweise, nämlich im Subjekte entstehe nur ein solches Quantum, das unvollendet und schlechthin mit einem Jenseits behaftet sei. Es wird also hier überhaupt beim Widerspruche, den die Größe enthält, stehen geblieben, aber verteilt an das Objekt und das Subjekt, so daß jenem die Begrenztheit, diesem aber das Hinausgehen über sie, das schlechte Unendliche, zukommt.

Das wahrhafte unendliche Quantum aber ist an sich selbst unendlich; es ist dies, wie sich oben ergeben hat, als solches, in welchem das endliche Quantum oder das Quantum überhaupt, und sein Jenseits, das schlechte Unendliche, auf gleiche Weise aufgehoben sind. Das aufgehobene Quantum aber ist in die Einfachheit und in die Beziehung auf sich selbst zurückgegangen, — nicht nur wie das extensive, indem es in intensives Quantum überging, als welches seine Bestimmtheit nur an sich an einer äußern Vielfachheit hat, gegen welches es jedoch gleichgültig und wovon es verschieden sein soll. Das unendliche Quantum dagegen enthält die Äußerlichkeit und die Negation seiner an ihm selbst; so ist es nicht mehr irgend ein endliches Quantum, nicht eine Größebestimmtheit, die ein Dasein als Quantum hätte, sondern es ist einfach als Moment; es ist nur der Begriff seines Bestimmtseins, oder eine Größebestimmtheit in qualitativer Form. Als Moment ist es in wesentlicher Einheit mit seinem Andern, nur als bestimmt durch dieses sein Anderes. Oder es hat nur Bedeutung in Beziehung auf ein im Verhältnis mit ihm stehendes. Außer diesem Verhältnisse ist es Null; — da gerade das Quantum als solches gegen das Verhältnis gleichgültig sein, und zu seiner Bestimmung keines andern bedürfen soll. In dem Verhältnisse aber ist es eben so kein Quantum, eben darum, weil es nur Moment, nur etwas ist im Verhältnisse, nicht ein für sich gleichgültiges.

Indem das Quantum somit nach seiner Wahrheit nur als Größebestimmung ist, hat es qualitative Natur, und ist unendlich, denn erstlich enthält dies seine Negation, — es hat nämlich aufgehört, das was es seiner Bestimmung nach sein sollte, ein gleichgültiges zu sein. Zweitens hat es das An-sich-bestimmtsein an ihm, denn es hat sie nicht mehr als ein Jenseits außer ihm.

Dieser Begriff wird sich zeigen, dem mathematischen Unendlichen zu Grunde liegen, und er wird deutlicher werden, indem wir die verschiedenen Stufen des Ausdrucks des Quantums als eines Verhältnis-Moments betrachten, von der untersten an, wo es zugleich Quantum als solches ist, bis zu der höhern, wo es die Bedeutung und den Ausdruck eigentlicher unendlicher Größe hat.

Nehmen wir zuerst das Quantum in dem Verhältnisse, wie es eine gebrochene Zahl ist. Der Bruch 2/7 z. B. ist nicht ein Quantum, wie 1, 2, 3 u. s. f., er ist zwar eine gewöhnliche endliche Zahl, jedoch nicht eine unmittelbare, wie die ganzen Zahlen, sondern als Bruch ist er mittelbar bestimmt durch zwei Zahlen, die Anzahl und Einheit gegeneinander sind, so daß die Einheit selbst eine bestimmte Anzahl ist. Aber von dieser nähern qualitativen Bestimmung derselben gegeneinander, abstrahiert, und sie bloß nach dem, was ihnen als Quantum hier widerfährt, betrachtet, so sind 2 und 7 sonst gleichgültige Quanta, hier treten sie aber nur als Momente eines andern auf. Aus diesem Grunde soll nun sogleich 2 und 7 hier nicht als 2 und 7, sondern als ihre Bestimmung gegeneinander gelten. Statt ihrer kann daher eben so gut 4 und 14, oder 6 und 21 u. s. f. gesetzt werden. Hiermit fangen sie an, einen qualitativen Charakter zu haben. Gälten sie als bloße Quanta, so ist 2 und 7, schlechthin nur 2 und 7; 4 und 14, 6 und 21 u. s. f. sind schlechthin etwas anderes und können nicht an die Stelle jener Zahlen gesetzt werden. Insofern 2 und 7 nicht nach dieser Bestimmtheit gelten, so ist ihre gleichgültige Grenze aufgehoben, sie haben somit, ob zwar noch unvollkommen, das Moment der Unendlichkeit an ihnen, indem sie zugleich nicht bloß nicht sind, sondern auch ihre Bestimmtheit, als eine an sich seiende qualitative, — nämlich nach dem, was sie im Verhältnisse gelten, — bleibt. Es können unendlich viele andere an ihre Stelle gesetzt werden, so daß zugleich der Wert des Bruches, die Bestimmtheit, welche die Seiten des Verhältnisses haben, sich nicht ändert.

Die Darstellung, welche die Unendlichkeit an einem Zahlenbruche hat, ist aber darum noch unvollkommen, weil die beiden Seiten des Bruchs, 2 und 7, wenn sie aus dem Verhältnisse genommen werden, gewöhnliche gleichgültige Quanta sind; die Beziehung derselben, im Verhältnisse und Momente zu sein, ist ihnen etwas äußerliches und gleichgültiges.

Die Buchstaben, mit denen in der allgemeinen Arithmetik operiert wird, haben die Eigenschaft nicht, daß sie einen bestimmten Zahlenwert haben, sondern sind allgemeine Zeichen, und unbestimmte Möglichkeiten jedes bestimmten Wertes. Der Bruch scheint daher um seiner Elemente willen ein passenderer Ausdruck des Unendlichen zu sein, weil a und b aus ihrer Beziehung aufeinander genommen, unbestimmt bleiben, und auch getrennt keinen besondern eigentümlichen Wert haben — Allein diese Buchstaben sind zwar unbestimmte Größen; ihr Sinn aber ist, daß sie irgend ein endliches Quantum seien. Da sie also zwar nur die allgemeine Vorstellung, aber von der bestimmten Zahl sind, so ist es ihnen ebenfalls gleichgültig, im Verhältnisse zu sein, und außer demselben behalten sie diesen Wert.

Die beiden Seiten, die die Größen im Bruche haben, bestanden darin, endliche Größen, Quanta, und zugleich unendlich, keine Quanta zu sein. Das Verhältnis selbst als solches ist erstlich ein Quantum; zweitens aber nicht ein unmittelbares, sondern das den qualitativen Gegensatz in ihm hat; ein gegen das andere nicht gleichgültiges sondern dadurch bestimmtes, in seinem Anderssein in sich zurückgekehrtes und somit Unendliches zu sein. Diese beiden Seiten stellen sich auf folgende Weise dar.

Der Bruch 2/7 kann ausgedrückt werden, als 0,285714 ... wie als 1 + a + a2 + a3 u. s. f. So ist er als eine unendliche Reihe dargestellt, und der Bruch selbst heißt die Summe oder der endliche Ausdruck derselben. Vergleichen wir diese beiden Ausdrücke, so stellt die unendliche Reihe den Bruch nicht mehr als ein Verhältnis, sondern nur nach der Seite dar, daß er ein Quantum ist, als eine Menge von solchen, die zu einander hinzukommen, als eine Anzahl, oder hat wenigstens die Bestimmung ihn so darzustellen. — Daß die Größen, die ihn als Anzahl ausmachen sollen, wieder aus Dezimalbrüchen, also selbst aus Verhältnissen bestehen, darauf kommt es hier nicht an; denn dieser Umstand betrifft ihre Einheit, nicht sie, insofern sie die Anzahl konstituieren; wie eine aus mehrern Ziffern bestehende ganze Zahl des Dezimalsystems wesentlich als eine Anzahl gilt, und nicht darauf gesehen wird, daß sie aus Produkten einer Zahl und der Zahl Zehn und deren Potenzen besteht. So wie es hier auch nicht darauf ankommt, daß es andere Brüche gibt als der zum Beispiel genommene 2/7, die zu Dezimalbrüchen gemacht, nicht eine unendliche Reihe geben; es ist nur davon die Rede, daß jeder als eine solche ausgedrückt werden könne.

In der unendlichen Reihe, die den Bruch wesentlich als Anzahl darstellen soll, verschwindet also die Seite, daß er Verhältnis ist, und wenn er auch als eine Summe von Verhältnissen ausgedrückt wird, so wird, indem diese als Glieder einer Summe genommen werden, davon abstrahiert, daß sie Verhältnisse sind. Mit dem Verhältnisse schwindet also auch die Seite, nach welcher der Bruch die Unendlichkeit an ihm hatte. Diese aber ist auf eine andere Weise hereingekommen; die Reihe ist nämlich selbst unendlich.

Von welcher Art aber die Unendlichkeit der Reihe sei, erhellt von sich selbst; es ist die schlechte Unendlichkeit des Progresses. Denn die Reihe enthält den Widerspruch, etwas, das ein Verhältnis und qualitativer Natur ist, als ein verhältnisloses, als ein bloßes Quantum, als Anzahl darzustellen. An der Anzahl, die in der Reihe ausgedrückt ist, fehlt immer etwas, so daß über das, was gesetzt ist, immer hinausgegangen werden muß, um die gefoderte Bestimmtheit zu erreichen. Das Gesetz des Fortgangs ist bekannt; es liegt in der Bestimmung des Quantums, die im Bruche enthalten ist, und in der Natur der Form, in der sie ausgedrückt werden soll. Sie kann durch Fortsetzung der Reihe so genau gemacht werden, als man nötig hat; aber immer bleibt die Darstellung durch sie nur ein Sollen; sie ist mit einem Jenseits behaftet, das nicht aufgehoben werden kann, weil ein qualitatives als Anzahl auszudrücken, der bleibende Widerspruch ist.

In dieser unendlichen Reihe ist jene Ungenauigkeit wirklich vorhanden, von der am wahrhaften mathematischen Unendlichen nur der Schein vorkommt. Diese beiden Arten des mathematischen Unendlichen sind so wenig zu verwechseln, als die beiden Arten des philosophischen Unendlichen. Bei der Darstellung des wahrhaften mathematischen Unendlichen ist anfangs die Form der Reihe gebraucht oder auch neuerlich wieder hervorgerufen worden. Aber sie ist für dasselbe nicht wesentlich; im Gegenteil ist das Unendliche der unendlichen Reihe wesentlich von ihm unterschieden, wie die Folge zeigen soll; es steht sogar dem Ausdrucke des Bruches nach.

Die unendliche Reihe enthält nämlich darum die schlechte Unendlichkeit, weil das was sie ausdrücken soll, ein Sollen bleibt; und was sie ausdrückt, mit einem Jenseits, das nicht verschwindet, behaftet und verschieden von dem ist, was ausgedrückt werden soll. Sie ist unendlich nicht um der Glieder willen, die gesetzt sind, sondern darum, weil sie unvollständig sind, weil das Andere das zu ihnen wesentlich gehört, jenseits ihrer ist; was in ihr da ist, der gesetzten Glieder mögen so viele sein als wollen, ist nur ein endliches, und zwar gesetzt als endliches, als solches, das nicht ist, was es sein soll. Dagegen ist das, was der endliche Ausdruck, oder die Summe einer solchen Reihe genannt wird, ohne Mangel; er enthält vielmehr das, was die Reihe nur sucht, vollständig; das Jenseits ist aus seiner Flucht zurückgerufen; was er ist, und was er sein soll, ist nicht getrennt, sondern ist dasselbe. Er enthält also keine Endlichkeit, nicht ein solches, über das hinausgesehen werden muß.

Dies kann auch so betrachtet werden, daß in der unendlichen Reihe das Negative außerhalb ihrer Glieder ist, welche Gegenwart haben, indem sie nur als Teile der Anzahl gelten. In dem endlichen Ausdrucke dagegen, der ein Verhältnis ist, ist das Negative immanent, als das Bestimmtsein der Seiten des Verhältnisses durcheinander.

In der Tat ist also die gewöhnlich sogenannte Summe, das 2/7 oder , ein Verhältnis; und der sogenannte endliche Ausdruck ist der wahrhaft unendliche Ausdruck. Die unendliche Reihe aber ist in Wahrheit die Summe; ihr Zweck ist, das was an sich Verhältnis ist, in der Form einer Summe darzustellen, und die vorhandenen Glieder der Reihe sind nicht als Glieder eines Verhältnisses, sondern eines Aggregats. Ferner ist sie vielmehr der endliche Ausdruck; denn sie ist das unvollkommene Aggregat, und bleibt wesentlich ein Mangelhaftes. — Wird der Bruch insofern der endliche Ausdruck genannt, weil er ein bestimmtes Quantum ist, so ist die unendliche Reihe erstens nach dem, was in ihr da ist, gleichfalls ein bestimmtes Quantum, zugleich aber ein geringeres, als sie sein soll; alsdann auch das, was ihr fehlt, ist ein bestimmtes Quantum; und das was in ihr da ist, zusammen mit dem was ihr fehlt, ist ein eben solches, dasselbe, was der Bruch ist. Insofern also der Bruch ein endliches, d. h. ein bestimmtes Quantum ist, ist sie es gleichfalls und noch mehr als er. Insofern er aber unendlich, und zwar im wahrhaften Sinne unendlich an ihm selbst ist, weil er das negative Jenseits an ihm selbst hat, ist sie mangelhaft, und hat das Unendliche nur als ein Jenseits außer ihr.

Mit unendlichen Reihen aber, die nicht summierbar sind, hat es eine andere Bewandtnis; die Mathematik bleibt jedoch bei diesem Unterschiede, als einem äußerlichen und zufälligen Umstande, ob sie summiert werden können oder nicht, stehen. Sie enthalten nämlich eine höhere Art der Unendlichkeit, als die summierbaren; eine Inkommensurabilität, oder die Unmöglichkeit, das darin enthaltene quantitative Verhältnis als ein Quantum — sei es auch als Bruch — darzustellen; die Form der Reihe jedoch, die sie haben, ist dieselbe schlechte Unendlichkeit, welche in der summierbaren Reihe ist.

Dieselbe hier am Bruch und an seiner Reihe bemerkte Verkehrung findet Statt, insofern das mathematische Unendliche, nämlich das wahrhafte, das relative Unendliche, das gewöhnliche metaphysische dagegen das absolute Unendliche genannt worden ist. In der Tat ist vielmehr das metaphysische nur das relative, weil die Negation, die es ausdrückt, nur im Gegensatze einer Grenze ist, die von ihm nicht aufgehoben wird; das mathematische Unendliche hingegen hat die endliche Grenze wahrhaft in sich aufgehoben, weil das Jenseits derselben mit ihr vereinigt ist.

In dem Sinne, in welchem ich aufgezeigt habe, daß die sogenannte Summe oder der endliche Ausdruck einer unendlichen Reihe, vielmehr als der Unendliche anzusehen ist, ist es vornehmlich, daß Spinoza den Begriff der wahren Unendlichkeit gegen den der schlechten aufstellt, und durch Beispiele erläutert. Sein Begriff gewinnt am meisten Licht, indem ich das, was er hierüber sagt, an diese Entwicklung anschließe.

Er definiert zunächst das Unendliche als die absolute Affirmation der Existeuz irgend einer Natur, das Endliche im Gegenteil als Bestimmtheit als Verneinung. Die absolute Affirmation einer Existenz ist nämlich als ihre Beziehung auf sich selbst zu nehmen, nicht dadurch zu sein, daß ein Anderes ist; das Endliche hingegen ist die Verneinung, ein Aufhören, insofern ein Anderes außer ihm anfängt. Die absolute Affirmation einer Existenz erschöpft nun zwar den Begriff der Unendlichkeit nicht; dieser enthält, daß die Unendlichkeit Affirmation ist nicht als unmittelbare Affirmation, sondern nur als wiederhergestellte, durch die Reflexion des Andern in sich selbst; oder als Negation des Negativen. Aber bei Spinoza hat die Substanz und deren absolute Einheit die Form von unbewegter Einheit, von einer Starrheit, worin der Begriff der negativen Einheit des Selbsts, die Subjektivität, sich noch nicht findet.

Sein mathematisches Beispiel vom wahren Unendlichen ist bekanntlich ein Raum zwischen zwei ungleichen Kreisen, deren einer innerhalb des andern, ohne ihn zu berühren, fällt, und die nicht konzentrisch sind. Er machte, wie es scheint, sich viel aus dieser Figur und dem Begriff, als deren Beispiel er sie gebrauchte, daß er sie zum Motto seiner Ethik machte. — „Die Mathematiker, sagt er, schließen, daß die Ungleichheiten, die in einem solchen Raume möglich sind, unendlich sind, nicht aus der unendlichen Menge der Teile, denn seine Größe ist bestimmt und begrenzt, und ich kann größere und kleinere solche Räume setzen, sondern weil die Natur der Sache jede Bestimmtheit übertrifft.“ — Man sieht, Spinoza verwirft jene Vorstellung vom Unendlichen, nach welchem es als Menge oder als Reihe vorgestellt wird, die nicht vollendet ist, und erinnert, daß hier an dem Raume des Beispiels das Unendliche nicht jenseits, sondern gegenwärtig und vollständig ist; dieser Raum ist darum ein unendlicher, „weil die Natur der Sache jede Bestimmtheit übersteigt,“ weil die darin enthaltene Größenbestimmung zugleich nicht ein Quantum ist. Jenes Unendliche einer Reihe nennt Spinoza das Unendliche der Imagination; das Unendliche hingegen als Beziehung auf sich selbst, das Unendliche des Denkens oder infinitum actu. Es ist nämlich actu, es ist wirklich unendlich, weil es in sich vollendet und gegenwärtig ist. So ist die Reihe 0,285714 ... oder 1 + a + a2 + a3 ... das Unendliche bloß der Einbildung, oder des Meinens; denn es hat keine Wirklichkeit, es fehlt ihm schlechthin etwas; hingegen 2/7 oder ist das wirklich, nicht nur was die Reihe in ihren vorhandenen Gliedern ist, sondern noch das dazu, was ihr mangelt, was sie nur sein soll. Das 2/7 oder ist gleichfalls eine bestimmte Größe, wie der zwischen den zwei Kreisen eingeschlossene Raum Spinozas und dessen Ungleichheiten; und kann wie dieser Raum größer oder kleiner gemacht werden. Aber es kommt damit nicht die Ungereimtheit eines größeren oder kleineren Unendlichen heraus; denn dies Quantum des Ganzen, geht das Verhältnis seiner Momente, die Natur der Sache, d. h. die qualitative Größenbestimmung nichts an. Die Einbildung dagegen bleibt beim Quantum als solchem stehen, und reflektiert nicht auf die qualitative Beziehung, welche den Grund der vorhandenen Inkommensurabilität ausmacht.

Diese Inkommensurabilität im allgemeinern Sinne ist auch schon am 2/7 vorhanden, insofern 2 und 7 Primzahlen zu einander sind, somit das Quantum 2/7 nicht als ganze Zahl, oder nicht als ein unmittelbares, verhältnisloses Quantum ausgedrückt werden kann. Die höhere, eigentliche Inkommensurabilität aber schließt das Beispiel Spinozas, überhaupt die Funktionen krummer Linien in sich. Sie führt uns näher auf das Unendliche, das die Mathematik bei solchen Funktionen, überhaupt bei den Funktionen veränderlicher Größen braucht, und welches das wahrhafte mathematische Unendliche, überhaupt das absolute quantitative Unendliche ist, das auch Spinoza sich dachte.

Der Begriff der Größen, deren Beziehung diese Funktionen ausdrücken, nämlich der veränderlichen Größen, ist aber genauer zu fassen, als es gewöhnlich geschieht. Sie sind nämlich veränderlich nicht in dem Sinne, wie im Bruche 2/7 die beiden Zahlen 2 und 7 veränderlich sind, indem eben so sehr 4 und 14, 6 und 21 und so fort ins Unendliche andre Zahlen an ihre Stelle gesetzt werden können, ohne die im Bruche gesetzte Größenbestimmung zu ändern. So kann auch in an die Stelle von a und b jede beliebige Zahl gesetzt werden, ohne das zu ändern was ausdrücken soll. In dem Sinne, daß jede beliebige Zahl an die Stelle von dem x und y einer Funktion gesetzt werden könne, sind a und b so sehr veränderliche Größe, oder sind es noch mehr, insofern die Funktion das x und y in eine Grenze überhaupt, oder wenigstens in Beziehung aufeinander, einschließt. Der Ausdruck: veränderliche Größen, ist daher oberflächlich und ungeschickt, das zu bestimmen, was die Größen einer Funktion auszeichnet.

Ihr wahrhafter Begriff liegt in folgendem. In 2/7 oder sind 2 und 7, jedes für sich, bestimmte Quanta und die Beziehung ist ihnen nicht wesentlich; a und b soll gleichfalls solche Quanta vorstellen, die auch außer dem Verhältnisse bleiben, was sie sind. Ferner ist 2/7 und ein fixes Quantum, ein Quotient; das Verhältnis ist eine Anzahl, deren Einheit der Nenner, und die Anzahl dieser Einheiten der Zähler — oder umgekehrt ausdrückt; wenn auch 4 und 14 u. s. f. an die Stelle von 2 und 7 treten, bleibt das Verhältnis auch als Quantum dasselbe. In der Funktion = p z. B. dagegen haben x und y zwar den Sinn, bestimmte Quanta sein zu können; aber nicht x und y, sondern nur x und y2 haben einen bestimmten Quotienten. Dadurch sind diese Seiten des Verhältnisses erstens nicht nur keine bestimmten Quanta, sondern zweitens ihr Verhältnis ist nicht ein fixes, sondern ein veränderliches Quantum. Sie sind auch nicht bloß allgemeine Quanta, bei denen so wie bei ihrem Verhältnisse ein bestimmtes Quantum gemeint sein sollte. Sondern ihr Verhältnis selbst ist als Quantum an und für sich veränderlich. Dies ist aber darin enthalten, daß x nicht zu y ein Verhältnis hat, sondern zum Quadrate von y, weil das Verhältnis einer Größe zur Potenz nicht ein Quantum, sondern ein Begriffsverhältnis ist. Das Potenzenverhältnis ist nicht eine äußerliche, sondern eine durch sich selbst bestimmte Begrenzung; also ein wesentlich qualitatives Verhältnis; wovon unten weiter die Rede sein wird. Wenn dem x ein bestimmter Wert gegeben wird, so erhält auch y durch die Funktion einen bestimmten Wert; wenn aber x einen andern Wert erhält, so bleibt das vorige Verhältnis als Quantum nicht, sondern ist verändert. In der Funktion der geraden Linie y = a x ist = a ein gewöhnlicher Bruch und Quotient; diese Funktion ist daher nur formell eine Funktion von veränderlichen Größen, oder x und y sind hier was a und b in , nicht wahrhaft das, was die veränderlichen Größen in den eigentlichen Funktionen sind. — Um der besondern Natur der veränderlichen Größen in den eigentlichen Funktionen, wäre es wohl zweckmäßig gewesen, für sie andere Bezeichnungen einzuführen, als die gewöhnlichen der unbekannten Größen in jeder endlichen, bestimmten oder unbestimmten Gleichung, indem sie auch wesentlich verschieden von solchen bloß unbekannten Größen, die an sich vollkommen bestimmte Quanta, oder ein bestimmter Umfang von bestimmten Quantis sind.

In Funktionen wahrhaft veränderlicher Größen also ist das Verhältnis als Quantum ein veränderliches. Was beständig im Verhältnis dieser Größen ist, — denn der Parameter oder die Konstante drückt nicht ein unmittelbares Verhältnis derselben aus, sondern insofern sie, wie gesagt, noch durch ein Potenzenverhältnis gegeneinander bestimmt sind —, ist nicht durch eine Zahl, oder Zahlenbruch auszudrücken, oder auf die Funktion einer geraden Linie zurückzubringen, sondern es ist Quantitätsverhältnis, das nur qualitativer Natur ist.

Die Seiten x und y einer solchen Funktion können aber auch noch Quanta bedeuten, allein ihre Bestimmung zu einander ist qualitativer Natur und ihr Bestimmtsein durch das Verhältnis macht ihre wesentliche Größe aus. Sie sollen die quantitative Bestimmtheit, die ihnen zukommt, nicht außer dem Verhältnisse für sich schon unmittelbar haben, und ihnen die Beziehung nicht wie dem 2 und 7 in nur äußerlich sein. Wenn 2 als Zähler eines Bruchs angenommen ist, so ist der Nenner dadurch noch nicht bestimmt. In eine Funktion aber verbunden, ist, wenn die eine Größe bestimmt wird, die andere gleichfalls dadurch bestimmt; und zwar nicht nach einem konstanten Quotienten. Die quantitative Bestimmtheit, der Exponent des Verhältnisses der veränderlichen Größe ist also qualitativer Natur. Dabei haben jedoch die veränderlichen Größen, als die Seiten des Verhältnisses, ob zwar nicht mehr der Exponent, noch die Bedeutung von Quantis.

Diese Bedeutung aber geht vollends in den unendlich kleinen Differenzen gänzlich verloren. d x, d y sind kein Quantum mehr, noch sollen sie ein solches bedeuten, sondern haben allein in ihrer Beziehung eine Bedeutung, einen Sinn bloß als Momente. Sie sind nicht mehr Etwas, das Etwas als Quantum genommen, nicht endliche Differenzen; aber auch nicht Nichts, nicht die bestimmungslose Null. Außer ihrem Verhältnisse sind sie reine Nullen, aber sie sollen nur als Momente des Verhältnisses, als Bestimmungen des Differential-Coefficianten genommen werden.

In diesem Begriff des Unendlichen ist das Quantum wahrhaft zu einem qualitativen vollendet; es ist wirklich unendlich gemacht; es ist nicht nur als dieses oder jenes Quantum aufgehoben, sondern als Quantum überhaupt. Es bleibt aber Quantitätsbestimmtheit, Element von Quantis, Prinzip, oder sie in ihrem ersten Begriffe.

Gegen diesen Begriff des Unendlichen ist aller Angriff gerichtet, der auf die Mathematik des wahrhaft Unendlichen, die Differential- und Integralrechnung, gemacht worden ist. Unrichtige Vorstellungen der Mathematiker selbst veranlaßten es zuweilen, daß er nicht anerkannt worden ist; vornehmlich aber ist die Unvermögenheit, den Gegenstand als Begriff darzustellen, Schuld an diesen Anfechtungen. Den Begriff kann aber die Mathematik, wie schon oben erinnert worden, hier nicht umgehen; denn als Mathematik des Unendlichen schränkt sie sich nicht auf die endliche Bestimmtheit ihrer Gegenstände ein, — wie in der reinen Mathematik der Raum und die Zahl und deren Bestimmungen nur nach ihrer Endlichkeit betrachtet und auf einander bezogen werden —; sondern setzt eine Bestimmung in die Identität mit ihrer entgegengesetzten. Die Operationen, die sie sich als Differential- und Integralrechnung erlaubt, sind daher der Natur bloß endlicher Bestimmungen und deren Beziehungen gänzlich widersprechend und haben darum ihre Rechtfertigung allein in dem Begriff.

Wenn die Mathematik des Unendlichen daran festhielt, daß jene Quantitäts-Bestimmungen verschwindende Größen, d. h. solche, die nicht mehr irgend ein Quantum, aber auch nicht Nichts, sondern noch eine Bestimmtheit gegen anderes sind, so schien nichts klarer, als daß es keinen solchen Mittelzustand, wie man es nannte, zwischen Sein und Nichts gebe. — Was es mit diesem Einwurfe und sogenannten Mittelzustande auf sich habe, ist oben bereits gezeigt. Allerdings ist die Einheit des Seins und Nichts kein Zustand; ein Zustand wäre eine Bestimmung des Seins und Nichts, in welchen diese Momente nur etwa zufälligerweise gleichsam als in eine Krankheit oder äußerliche Affektion geraten sollten; sondern diese Mitte und Einheit, das Verschwinden oder eben so das Werden, ist vielmehr allein ihre Wahrheit.

Was unendlich sei, ist ferner gesagt worden, sei nicht vergleichbar als ein größeres oder kleineres; es könne daher nicht ein Verhältnis von Unendlichen zu Unendlichen, noch Ordnungen oder Dignitäten des Unendlichen geben, als welche Unterschiede der unendlichen Differenzen in der Wissenschaft derselben vorkommen. — Es liegt bei diesen Einwürfen immer die Vorstellung zu Grunde, daß hier von Quantis die Rede sein solle, die als Quanta verglichen werden; daß Bestimmungen, die keine Quanta mehr sind, kein Verhältnis mehr zu einander haben Vielmehr ist aber das, was nur im Verhältnis ist, kein Quantum; denn das Quantum ist eine solche Bestimmung, die außer ihrem Verhältnis ein vollkommen gleichgültiges Dasein haben, der ihr Unterschied von einem andern gleichgültig sein soll, da hingegen das qualitative nur das ist, was es in seinem Unterschiede von einem Andern ist. Jene unendlichen Größen sind daher nicht nur vergleichbar, sondern sind nur Momente der Vergleichung oder des Verhältnisses.

Ich führe hier die wichtigsten Bestimmungen an, welche von Mathematikern über dies Unendliche gegeben worden sind. Es wird daraus erhellen, daß diesen ihren Bestimmungen der Gedanke der Sache, übereinstimmend mit dem hier entwickelten Begriffe, zu Grunde liegt, daß sie ihn aber als Begriff nicht ergründeten und deswegen bei der Anwendung wieder Auskunftsmittel nötig hatten, welche ihrer bessern Sache widersprechen.

Der Gedanke kann nicht richtiger bestimmt werden, als Newton ihn gegeben hat. Ich trenne dabei die Bestimmungen ab, die der Vorstellung der Bewegung und der Geschwindigkeit angehören, (von welcher er vornehmlich den Namen Fluxionen nahm,) weil der Gedanke hierin nicht in der gehörigen Abstraktion, sondern konkret, vermischt mit außerwesentlichen Begriffen erscheint. — Diese Fluxionen erklärt Newton näher (Princ. mathem. phil. nat. L. 1. Lemma XI. Schol.) dahin, daß er nicht unteilbare — eine Form deren sich frühere Mathematiker, Cavalleri und andere, bedienten, und welche den Begriff eines an sich bestimmten Quantums enthält, — verstehe, sondern verschwindende Teilbare. Ferner nicht Summen und Verhältnisse bestimmter Teile, sondern die Grenzen (limites) der Summen und Verhältnisse. Es werde die Einwendung gemacht, daß verschwindende Größen kein letztes Verhältnis haben, weil es, ehe sie verschwunden, nicht das Letzte, und wenn sie verschwunden, keines mehr ist. Aber unter dem Verhältnisse verschwindender Größen sei das Verhältnis zu verstehen, nicht ehe sie verschwinden, und nicht nachher, sondern mit dem sie verschwinden (quacum evanescunt). Eben so ist das erste Verhältnis werdender Größen, das, mit dem sie werden.

Nach dem damaligen Stande der wissenschaftlichen Methode wurde nur erklärt, was unter einem Ausdrucke zu verstehen sei; daß nun dies oder jenes darunter zu verstehen sei, ist eigentlich eine subjektive Zumutung oder auch eine historische Forderung, wobei nicht gezeigt wird, daß ein solcher Begriff an und für sich notwendig ist und innere Wahrheit hat. Aber das Angeführte zeigt, daß der von Newton aufgestellte Begriff dem entspricht, wie die unendliche Größe sich in der obigen Darstellung aus der Reflexion des Quantums in sich ergab. Es sind Größen verstanden, in ihrem Verschwinden, d. h. die nicht mehr Quanta sind; ferner nicht Verhältnisse bestimmter Teile, sondern die Grenzen des Verhältnisses. Denn auch das unmittelbare Verhältnis, insofern es einen Exponenten hat, ist ein Quantum; es sollen also sowohl die Quanta für sich, die Seiten des Verhältnisses, als damit auch das Verhältnis, insofern es ein Quantum wäre, verschwinden; die Grenze des Größen-Verhältnisses ist, worin es ist, und nicht ist; dies heißt genauer, worin das Quantum verschwunden, und damit das Verhältnis nur als qualitatives Quantitäts-Verhältnis erhalten ist. — Newton fügt hinzu, daß daraus, daß es letzte Verhältnisse der verschwindenden Größen gebe, nicht zu schließen sei, daß es letzte Größen, Unteilbare, gebe. Dies wäre nämlich wieder ein Absprung von dem Verhältnisse als solchem auf die Seiten desselben, welche für sich außer ihrer Beziehung einen Wert haben sollten, als Unteilbare, als etwas, das nicht ein relatives wäre. — An der Teilbarkeit hält er darum fest, um noch das Quantitative zu erhalten, weil das Unteilbare oder Atome, das Eins, ein Verhältnisloses sein würde.

Gegen jenen Missverstand erinnert er noch, daß die letzten Verhältnisse nicht Verhältnisse letzter Größen seien, sondern Grenzen, denen die Verhältnisse der ohne Grenze abnehmenden Größen näher sind als jeder gegebene, d. h. endliche Unterschied, welche Grenze sie aber nicht überschreiten, so daß sie Nichts würden. — Unter letzten Größen hätten nämlich, wie gesagt, Unteilbare oder Eins verstanden werden können. In der Bestimmung des letzten Verhältnisses aber ist sowohl die Vorstellung des gleichgültigen Eins, des verhältnislosen, als auch des endlichen Quantums entfernt. Es bedürfte aber weder des Abnehmens ohne Grenze, in das Newton das Quantum versetzt und das nur den Progreß ins Unendliche ausdrückt, noch der Bestimmung der Teilbarkeit, welche hier keine unmittelbare Bedeutung mehr hat, wenn der gefoderte Begriff sich zum Begriffe einer Größebestimmung, die rein nur Moment des Verhältnisses ist, fortgebildet hätte.

Gleich interessant ist die andere Form der Neutonischen Darstellung dieser Größen, nämlich als erzeugter Größen. Eine erzeugte Größe (genita) ist ein Produkt oder Quotient, Wurzeln, Rechtecke, Quadrate, auch Seiten von Rechtecken, Quadraten; — überhaupt eine endliche Größe. — „Sie als veränderlich betrachtet, wie sie in fortdauernder Bewegung und Fließen zu- oder abnehmend ist, so verstehe er ihre momentanen Incremente oder Decremente unter dem Namen von Momenten. Diese sollen aber nicht für Teilchen von bestimmter Größe genommen werden (particulae finitae). Solche sind nicht selbst Momente, sondern aus Momenten erzeugte Größen; es sind vielmehr die werdenden Prinzipien oder Anfänge endlicher Größen zu verstehen.“ — Das Quantum wird hier von sich selbst unterschieden, wie es als ein Produkt, oder Daseiendes, und wie es in seinem Wer den, in seinem Anfange und Prinzip, das heißt, wie es in seinem Begriffe, oder was hier dasselbe ist, in seiner qualitativen Bestimmung ist; in der letztern sind die quantitativen Unterschiede, die unendlichen Incremente oder Decremente nur Momente; erst das gewordene ist in die Gleichgültigkeit des Daseins und in die Äußerlichkeit übergegangen, in der es Quantum ist. — Die Incremente und Decremente fallen zwar innerhalb der sinnlichen Vorstellung des Quantums; die angeführten andern Bestimmungen aber muß die Philosophie des Begriffs des wahrhaft mathematischen Unendlichen anerkennen.

Gegen die betrachteten Bestimmungen steht die gewöhnliche Vorstellung von unendlich-kleinen Größen weit zurück. Nach derselben sollen sie von der Beschaffenheit sein, daß nicht nur sie gegen endliche Größen, sondern auch deren höhere Ordnungen gegen die niedrigere, oder auch die Produkte aus mehrern gegen eine einzelne zu vernachlässigen seien. — Leibnitz, wie die vorhergehenden Erfinder von Methoden, die sich auf diese Größe bezogen, hielt sich an diese Vorstellung; sie ist es vornehmlich, die diesem Calcul beim Gewinne der Bequemlichkeit, den Schein von Ungenauigkeit in dem Wege seiner Operationen gibt. — Wolf hat sie in seiner Weise, die Sachen populär zu machen, d. h. den Begriff zu verunreinigen und unrichtige sinnliche Vorstellungen an dessen Stelle zu setzen, verständlich zu machen gesucht. Er vergleicht nämlich die Vernachlässigung der unendlichen Differenzen höherer Ordnungen gegen niedrigere, mit dem Verfahren eines Geometers, der bei der Messung der Höhe eines Bergs um nicht weniger genau gewesen sei, wenn der Wind indes ein Sandkörnchen von der Spitze weggeweht habe.

Wenn die Billigkeit des gemeinen Menschenverstandes eine solche Ungenauigkeit erlaubt, so haben dagegen alle Geometer diese Vorstellung verworfen. — Es dringt sich von selbst auf, daß in der Wissenschaft der Mathematik von einer solchen empirischen Genauigkeit ganz und gar nicht die Rede ist, daß das mathematische Messen durch Operationen des Calculs oder durch Konstruktionen und Beweise der Geometrie gänzlich vom Feldmessen, vom Messen empirischer Linien, Figuren u. s. f. unterschieden ist. Ohnehin zeigen, wie oben angeführt, die Analytiker durch die Vergleichung des Resultats, wie es auf streng geometrischem Wege und wie es nach der Methode der unendlichen Differenzen erhalten wird, daß das eine dasselbe ist als das andere, und daß ein Mehr oder Weniger von Genauigkeit ganz und gar nicht Statt findet. Und es versteht sich von selbst, daß ein absolut genaues Resultat nicht aus einem Verfahren herkommen könne, das ungenau wäre. Jedoch kann auf der andern Seite wieder das Verfahren selbst, jener Vernachlässigung aus dem Grunde der Unbedeutenheit nicht entbehren. Und dies ist die Schwierigkeit, um welche die Bemühungen der Analytiker gehen, sich selbst das hierin liegende Widersinnige begreiflich zu machen.

Euler, indem er die allgemeine Neutonische Definition zu Grunde legt, dringt vornehmlich darauf, daß die Differentialrechnung die Verhältnisse der Incremente einer Größe betrachte, daß aber die unendliche Differenz als solche ganz als Null zu betrachten sei. — Es ist zur Genüge erläutert, wie dies zu verstehen ist; die unendliche Differenz ist Null nur des Quantums, nicht eine qualitative Null, sondern als Null des Quantums ist sie vielmehr reines Moment nur des Verhältnisses. Sie ist nicht ein Unterschied um eine Größe; wie wenn ein Quantum von einem andern subtrahiert wird, wo ihr Unterschied selbst auch ein Quantum ist, dem es gleichgültig ist, ob es als eine Differenz, oder als eine Summe, Produkt u. s. f. angesehen wird, und das also nicht nur den Sinn einer Differenz hat. Indem die Verhältnisse der unendlichen Differenzen aus den Verhältnissen veränderlicher aber als endlich betrachteter Größen abgeleitet werden, so enthalten jene Verhältnisse als Resultate dasjenige als Moment in sich, was jene als daseiend, oder in endlicher Bestimmung ausdrücken, — oder vielmehr nur in endlicher Bestimmbarkeit, denn die endlichen Größen, die solche Incremente haben, als hier betrachtet werden, sind veränderliche, die nicht selbst ein bestimmtes Quantum haben, aber eines haben können. Einerseits ist es, wie erinnert, überhaupt schief und der sinnlichen Vorstellung angehörig, die unendlich-kleinen Größen, als Incremente oder Decremente, und als Differenzen auszusprechen. Denn dieser Darstellung liegt zu Grunde, daß zu der zuerst vorhandenen endlichen Größe, etwas hinzukomme oder davon abgezogen werde, eine Subtraktion oder Addition, eine arithmetische, äußerliche Operation vorgehe; vielmehr ist der Übergang von der veränderlichen Größe in ihre unendliche Differenz, oder der Funktion in ihr Differential von ganz anderer Natur; es ist als die Zurückführung derselben auf das qualitative Verhältnis ihrer Quantitätsbestimmungen zu betrachten. — Andererseits hat es deswegen eine schiefe Seite, wenn gesagt wird, daß die Incremente für sich Nullen seien, daß nur ihre Verhältnisse betrachtet werden. Denn eine Null hat überhaupt keine Bestimmtheit mehr. Diese Vorstellung kommt also zwar bis zum Negativen des Quantums, und spricht es bestimmt aus, aber faßt dies Negative nicht zugleich in seiner positiven Bedeutung auf, welche, wie gezeigt, darin besteht, daß die veränderlichen Größen, indem ihr Verhältnis in seine qualitative Bestimmtheit zurückgeht, keine Quanta, aber auch nicht bestimmungslose Nullen, sondern Momente sind; es ist ein Verhältnis von Quantitätsbestimmungen, die, wenn sie aus dem Verhältnisse gerissen und als Quanta genommen werden wollten, nur Nullen wären. — Lagrange urteilt über die Methode, welche die Vorstellung der Grenzen oder letzten Verhältnisse zu Grunde legt, — welche besonders L' Huillier ausbildete, — daß wenn man gleich sehr gut das Verhältnis zweier Größen sich vorstellen könne, so lange sie endlich bleiben, so gebe dies Verhältnis dem Verstande keinen deutlichen und bestimmten Begriff, sobald seine Glieder zugleich Null werden. — In der Tat muß der Verstand über diese bloß negative Seite, daß die Verhältnisglieder Nullen als Quanta sind, hinausgehen, und sie positiv, als qualitative Momente auffassen.

In Rücksicht der Erhaltung des Verhältnisses im Verschwinden der Quantorum findet sich, z. B. bei Carnot, der Ausdruck, daß vermöge des Gesetzes der Stetigkeit, die verschwindenden Größen noch das Verhältnis, aus dem sie herkommen, ehe sie verschwinden, behalten. — Diese Vorstellung drückt die wahre Natur der Sache aus, insofern nicht diejenige Stetigkeit des Quantums verstanden wird, welche es im unendlichen Progreß hat, wo es sich in sein Verschwinden kontinuiert, nämlich im Jenseits seiner wieder nur ein endliches Quantum, ein neues Glied der Reihe, oder die Summe desselben mit den vorhergehenden, entsteht. In derjenigen Negation dagegen, welche das wahrhafte Unendliche ist, verschwinden die Quanta als gleichgültige, äußerliche Bestimmungen, und werden nur Momente des Verhältnisses. Das Verhältnis ist daher in diesem Übergange so sehr stetig und sich erhaltend, daß er vielmehr allein darin besteht, das Verhältnis rein herauszuheben, und die verhältnislose Seite verschwinden zu machen. Diese Reinigung des quantitativen Verhältnisses ist nichts anders, als wenn ein empirisches Dasein begriffen wird. Dies wird hierdurch so über sich selbst erhoben, daß sein Begriff dieselben Bestimmungen enthält, als es selbst, aber in ihrer Wesentlichkeit und in die Einheit des Begriffes gefaßt, worin sie ihr gleichgültiges, begriffloses Bestehen verloren haben.

Ich enthalte mich, die Anführungen zu vermehren, indem die betrachteten Bestimmungen zur Genüge gezeigt haben, daß ihnen der wahrhafte Begriff des quantitativen Unendlichen zu Grunde liegt, ob er gleich nicht in seiner Bestimmtheit herausgehoben und gefaßt worden ist. Aus diesem Grunde aber geschieht es, daß er sich nicht in seiner Anwendung erhält und die Operation ihm ungetreu wird. Sie gründet sich vornehmlich auf die Vorstellung eines bloß relativ-kleinen. Der Calcul macht es notwendig, die unendlichen Größen den gewöhnlichen arithmetischen Operationen des Addierens u. s. f., welche sich auf die Natur endlicher Größen gründen, zu unterwerfen, und sie somit als endliche Größen für einen Augenblick gelten zu lassen und als solche zu behandeln. Der Calcul hätte sich einesteils darüber zu rechtfertigen, daß er sie das einemal in diese Sphäre herabzieht, und daß er auf der andern Seite sie hin und wieder weglässt und als Quanta vernachlässigt, nachdem er so eben die Gesetze der endlichen Größen auf sie angewendet hatte.

Ich führe noch einiges über die Versuche der Geometer an, die Schwierigkeit, welche der Methode den Schein von Ungenauigkeit gibt, zu beseitigen.

Die älteren Analytiker machten sich hierüber weniger Skrupel; aber die Bemühungen der Neueren gingen vornehmlich dahin, den Calcul des Unendlichen zur Evidenz der eigentlich geometrischen Methode zurückzubringen und in ihr die Strenge der Beweise der Alten in der Mathematik zu erreichen. Allein da das Prinzip der Analysis des Unendlichen höherer Natur, als das Prinzip der Mathematik endlicher Größen ist, so muß jene auf das geringere Verdienst der Evidenz, das diese vornehmlich der Begrifflosigkeit ihres Inhalts und ihrer Methode verdankt, notwendig Verzicht tun, wie die Philosophie auch auf diejenige Deutlichkeit keinen Anspruch machen kann, die die Wissenschaften des Sinnlichen, z. B. Naturgeschichte hat, und wie Essen und Trinken für ein verständlicheres Geschäfte gilt, als Denken und Begreifen.

Mehrere haben versucht, den Begriff des Unendlichen ganz zu entbehren, und ohne ihn das zu leisten, was an den Gebrauch desselben gebunden schien. — Lagrange spricht z. B. von der Methode, die Landen erfunden hat, und sagt von ihr, daß sie rein analytisch sei und die unendlich kleinen Differenzen nicht gebrauche, sondern zuerst verschiedene Werte der veränderlichen Größen einführe, und sie in der Folge gleichsetze. Er urteilt übrigens, daß darin die der Differentialrechnung eignen Vorzüge, Einfachheit der Methode und Leichtigkeit der Operationen verloren gehe. — Es erhellt aus dem angeführten, daß das Verschwinden des Quantums auch in dieser Methode vorkommt, nämlich darin, daß die verschiedenen angenommenen Werte veränderlicher Größen einander gleichgesetzt werden; denn ein Quantum einem andern ihm ungleichen gleichsetzen, heißt nichts anderes, als sie aufheben, und zwar hier, um dadurch ihre allgemeine Verhältnisbestimmung zu gewinnen. — L' Huilliers Methode, die sich auf die Vorstellung der Grenzen eines Verhältnisses gründete, dringt vornehmlich darauf, d x und d y schlechthin nur als Momente des Differential-Koeffizienten, und als ein einziges unteilbares Zeichen anzusehen. Aber wenn diese Methode dem philosophischen Begriffe des quantitativen Unendlichen am getreusten bleibt, so leistet sie nach dem Urteile der Geometer nicht dasjenige, was die Rechnung des Unendlichen dadurch erreicht, daß sie die Seiten des Differential-Koeffizienten von einander absondert. Außerdem daß die Grenze immer das Positive, hier nämlich ein Quantum, einerseits, andererseits aber das Negative davon getrennt vorstellt, und beide nicht in die einfache Bestimmung des qualitativen Quantitätsmoments vereinigt; — so scheint diese Methode nicht den für die Rechnungsweise, die den Vorzug der Leichtigkeit des Calculs des Unendlichen ausmacht, notwendigen Übergang der Verhältnismomente in die Gestalt endlicher Größen, und die Angabe der Gesetze, die für sie auf diesem Boden und für den Rückgang derselben in ihre Eigentümlichkeit erforderlich sind; zu leisten.

Die Eltern unter den Neueren, wie z. B. Fermate, Barrow und andre, die sich zuerst des Unendlich-kleinen in derjenigen Anwendung bedienten, welche später zur Differential- und Integralrechnung ausgebildet wurde, und dann auch Leibnitz und die Folgenden, haben immer unverhohlen, die Produkte von unendlichen Differenzen, so wie ihre höhern Potenzen nur aus dem Grunde weglassen zu dürfen geglaubt, weil sie relativ gegen die niedrige Ordnung verschwinden. Hierauf beruht bei ihnen allein der Fundamentalsatz der ganzen Lehre, was das Differential eines Produkts oder einer Potenz ist. Aus dem gleichen Grunde wird der Hauptsatz, die Kurven betreffend, angenommen, der darin besteht, daß die Elemente der Kurven, nämlich die Incremente der Abszisse und der Ordinate, das Verhältnis der Subtangente und der Ordinate zu einander haben; indem für die Absicht, ähnliche Dreiecke zu erhalten, der Bogen, der die dritte Seite eines Dreiecks zu den beiden Inkrementen ausmacht, als eine gerade Linie, als Teil der Tangente, und damit das eine der Incremente bis an die Tangente reichend angesehen wird. Diese Annahmen erheben diese Momente einerseits über die Natur endlicher Größen; andererseits aber wird ein Verfahren auf sie angewendet, das nur von endlichen Größen gilt, und bei dem nichts aus Rücksicht der Unbedeutenheit vernachlässigt werden darf. Die Schwierigkeit, von der die Methode gedrückt wird, bleibt in der angeführten Verfahrungsweise in ihrer ganzen Stärke.

Newton hat (Princ. Math. phil. nat. Lib. II. Lemma II. nach Propos. VII.) ein sinnreiches Kunststück gebraucht, um das arithmetisch unrichtige Weglassen der Produkte unendlicher Differenzen oder höherer Ordnungen derselben bei dem Finden der Differentialja, zu beseitigen. Er findet das Differential des Produkts — woraus sich dann die Differentialja der Quotienten, Potenzen u. s. f. leicht herleiten, — auf folgende Art. Das Produkt, wenn x, y, jedes um die Hälfte seiner unendlichen Differenz kleiner genommen wird, geht über in ; aber wenn x und y um eben so viel zunimmt, in . Von diesem zweiten Produkt das erste abgezogen, bleibt y d x + x d y als Überschuß, und dies sei der Überschuß des Wachstums um ein ganzes d x und d y, denn um dieses Wachstum sind beide Produkte unterschieden; es ist also das Differential von x y. — Man sieht in diesem Verfahren fällt das Glied, welches die Hauptschwierigkeit ausmacht, das Produkt der beiden unendlichen Differenzen, d x d y durch sich selbst hinweg. Aber es ist unrichtig, daß oder daß der Überschuß eines Produkts, dessen Faktoren jeder um ein ganzes Inkrement zunimmt, über das Produkt der ursprünglichen Faktoren, — gleich sei dem Überschusse des Produkts, wenn seine Faktoren jeder um die Hälfte des Inkrements wächst, über das Produkt, insofern seine Faktoren um diese Hälfte abgenommen haben.

Andere Formen, die Newton bei der Ableitung des Differentials gebraucht, sind an konkrete Bedeutungen der Elemente und deren Potenzen gebunden. — Beim Gebrauche der Reihen, der seine Methode auszeichnet, liegt die gewöhnliche Vorstellung der Reihen zu nahe, daß man es immer in seiner Macht habe, durch das Hinzufügen weiterer Glieder die Größe so genau zu nehmen, als man nötig habe, und daß die weggelassenen relativ unbedeutend, überhaupt das Resultat nur eine Näherung sei. — Der Fehler, in welchen Newton bei der Auflösung eines Problems durch das Weglassen wesentlicher höherer Potenzen verfiel, der seinen Gegnern eine Gelegenheit des Triumphs ihrer Methode über die seinige gab, und von dem Lagrange in seiner neuerlichen Untersuchung desselben den wahren Ursprung aufgezeigt hat, — beweist wenigstens das Formelle und die Unsicherheit, die im Gebrauche seines Instruments noch vorhanden war. Lagrange (in seiner Theorie des Fonctions analytiques) zeigt, daß Newton dadurch in den Fehler fiel, daß er das Glied der Reihe vernachlässigte, das die Potenz enthielt, auf welche es in der bestimmten Aufgabe ankam.

Es ist nämlich merkwürdig, daß in der Mechanik die Glieder der Reihe, in der die Funktion einer Bewegung entwickelt wird, ihre bestimmte Bedeutung haben, so daß das erste Glied, oder die Erste Funktion sich auf das Moment der Geschwindigkeit, die zweite auf die beschleunigende Kraft, und die dritte auf den Widerstand von Kräften bezieht. Die Glieder der Reihe sind also hier nicht nur als Teile einer Summe anzusehen, sondern als qualitative Momente eines Ganzen des Begriffs. Hierdurch erhält das Weglassen der übrigen Glieder, die der schlechtunendlichen Reihe angehören, eine gänzlich verschiedene Bedeutung, von dem Weglassen aus dem Grunde der relativen Kleinheit derselben. Sie sind wegzulassen, weil durch die Begriffsbestimmungen, denen die erstern Glieder angehören, das Ganze des Gegenstands als Begriff und dadurch auch als Summe, überhaupt seine Quantitätsbestimmung vollendet ist. Die Newtonsche Auflösung enthielt jenen Fehler, nicht weil in ihr Glieder der Reihe, als Teile einer Summe, sondern weil ein Glied, das eine Begriffsbestimmung enthält, welche zum Ganzen gehörte, weggelassen wurde.

In dieser Rücksicht ist es auch, daß das Differential von xn, durch das erste Glied der Reihe, die durch Entwicklung von (x + d x)n sich ergibt, gänzlich erschöpft ist; — eine Ansicht, auf welche L' Huillier vornehmlich drang. Daß die übrigen Glieder nicht berücksichtigt werden, kommt nicht von ihrer relativen Kleinheit her; — es wird dabei nicht eine Ungenauigkeit, ein Fehler oder Irrtum vorausgesetzt, der durch einen andern Irrtum ausgeglichen und verbessert würde; eine Ansicht, von welcher aus Carnot vornehmlich die gewöhnliche Methode der Infinitesimalrechnung rechtfertigt. Sondern indem hier nicht von einer Summe die Rede ist, sondern von einem Verhältnis, so ist das Differential vollkommen durch das erste Glied erschöpft, indem die ferneren Glieder, oder Differentiale höherer Ordnungen sich auf dieselbe Weise aus ihren vorhergehenden entwickeln, als das Differential der ursprünglichen Funktion aus derselben, somit in ihnen nichts, als nur die Wiederholung eines und desselben Verhältnisses, das man allein will, und das somit im ersten Glied bereits vollkommen erreicht ist.

Ich führe die Erläuterungen, welche Carnot über die Methode der unendlichen Größen gibt, nicht besonders an. Sie enthalten das geläutertste, was in den oben angeführten Vorstellungen vorkam. Aber bei dem Übergange zur Operation selbst treten mehr oder weniger die gewöhnlichen Vorstellungen, von der unendlichen Kleinheit der weggelassenen Glieder gegen die andern ein. Er rechtfertigt die Methode vielmehr durch die Tatsache, daß die Resultate richtig werden, und durch den Nutzen, den die Einführung unvollkommener Gleichungen, d. h. solcher, in denen eine solche arithmetisch unrichtige Weglassung geschehen ist, für die Vereinfachung und Abkürzung des Calculs hat, als durch die Natur der Sache selbst.

Lagrange hat bekanntlich die ursprüngliche Methode Newtons, die Methode der Reihen, wieder aufgenommen, um der Schwierigkeiten, welche die Vorstellung des Unendlich-kleinen, so wie derjenigen, welche die Methode der ersten und letzten Verhältnisse und Grenzen mit sich führt, überhoben zu sein. Es ist von seinem Functionen-Calcul, dessen sonstige Vorzüge in Rücksicht auf Präzision, Abstraktion und Allgemeinheit hier nicht weiter auszuheben sind, nur dies anzuführen, daß er auf dem Fundamentalsatze beruht, daß die Differenz, ohne daß sie Null werde, so klein angenommen werden könne, daß jedes Glied der Reihe die Summe aller folgenden an Größe übertreffe. — Man sieht, daß die wegzulassenden Glieder der Reihe hier nur in der Rücksicht, daß sie eine Summe konstituieren, in Betracht kommen, und der Grund, sie wegzulassen, in das Relative ihres Quantums gesetzt wird. Die Weglassung ist also hier auch nicht für das Allgemeine auf denjenigen Grund zurückgeführt, der in einigen Anwendungen vorkommt, worin nämlich, wie vorhin erinnert, die Glieder der Reihe eine bestimmte qualitative Bedeutung haben, und folgende Glieder außer Acht gelassen werden, nicht darum weil sie unbedeutend an Größe sind, sondern weil sie unbedeutend der Qualität nach sind.

Ich stelle diesen einzig richtigen Gesichtspunkt, die qualitative Natur der unendlichen Differenzen, zum Schlusse dem Missverstand entgegen, welcher besonders in den älteren Darstellungen vorzukommen scheint, und der die unendlichen Differenzen als gänzlich verhältnislose Momente nimmt, und mit den Quantis auch die Verhältnis-Bestimmung verschwinden lässt.

Indem nämlich die unendlichen Differenzen das Verschwinden der Seiten des Verhältnisses, als Quantorum, sind, so ist das, was übrig bleibt, ihr Quantitätsverhältnis, rein insofern es von der qualitativen Bestimmung abhängt. Das qualitative Verhältnis geht hierin so wenig verloren, daß es vielmehr das Bestimmende und dasjenige ist, was eben durch die Verwandlung endlicher Größen in unendliche resultiert. Hierin besteht, wie gezeigt worden, die ganze Natur der Sache. — So verschwinden also im letzten Verhältnisse die Quanta der Abszisse und der Ordinate; aber die Seiten dieses Verhältnisses bleiben wesentlich die eine, Inkrement oder Element der Ordinate, die andere Inkrement oder Element der Abszisse. Indem man nach der gewöhnlichen Vorstellungsweise, die eine Ordinate sich der andern unendlich nähern lässt, so geht die vorher unterschiedene Ordinate in die andre Ordinate, und die vorher unterschiedene Abszisse in die andre Abszisse über; (-- wie, nach dem obigen, Landen den veränderlichen Größen zuerst verschiedene Werte beilegt, und diese dann gleichsetzt —) in diesem Übergehen verschwindet ihr endlicher Unterschied, und es bleibt nur die unendliche Differenz, als Moment dieses Übergehens, das Element der Ordinate und das Element der Abszisse. Es geht wesentlich nicht die Ordinate in die Abszisse, oder die Abszisse in die Ordinate über. Das qualitative Verhältnis kontinuiert sich, wie dies oben ausgedrückt wurde, so sehr in die unendlich-werdenden, d. h. verschwindenden Quantumsunterschiede, daß es allein das ist, wodurch die Quantitätsbestimmung noch getragen wird.

Hiernach nun ist es wesentlich, gegen den Gesichtspunkt, den die gewöhnliche Ansicht von den unendlichen Differenzen hat, und der es vornehmlich erschwert, den richtigen Begriff der Sache zu fassen, — zu bemerken, daß das Element der Ordinate, — um bei diesem Beispiele von veränderlichen Größen stehen zu bleiben, — nicht der Unterschied einer Ordinate von einer andern Ordinate mehr ist, denn diese sind keine verschiedene Quanta mehr gegeneinander, indem sie unendlich einander genähert sind, sondern es ist vielmehr der Unterschied, oder die qualitative Größenbestimmung gegen das Element der Abszisse; das Prinzip der einen veränderlichen Größe gegen das der andern steht im Verhältnisse miteinander. Der Unterschied, indem er nicht mehr Unterschied endlicher Größen ist, hat aufgehört, ein Vielfaches innerhalb seiner selbst zu sein; er ist in die einfache Intensität zusammengesunken, in die Bestimmtheit eines qualitativen Verhältnismoments gegen das andere.

Die Betrachtung dieser Elemente, als Differenzen oder auch als Incremente hält wesentlich nur den Unterschied des Quantums einer Ordinate zwischen dem Quantum einer andern Ordinate fest. Die Grenze wird als der letzte Wert genommen, dem sich eine andere Größe, übrigens von gleicher Art, beständig nähere, so daß sie von ihm, so wenig als man will, unterschieden sein könne, und daß das letzte Verhältnis, ein Verhältnis der Gleichheit sei. So ist die unendliche Differenz ein Schweben als Unterschied eines Quantums von einem Quantum, und die qualitative Natur, nach welcher d x wesentlich nicht eine Verhältnisbestimmung gegen x, sondern gegen d y ist, tritt in der Vorstellung zurück. Man lässt d x2 gegen d x verschwinden, aber noch vielmehr verschwindet d x gegen x, oder es hat nur ein Verhältnis zu d y. — Es ist erinnert worden, daß am meisten in L'Huilliers Methode, diese Seite herausgehoben ist. Aber sie ist noch nicht auf den Begriff der qualitativen Größenbestimmung gebracht, und es ist den Geometern, die sich an die Vorstellung der Grenzen halten, immer vorzüglich darum zu tun, die Annäherung einer Größe an ihre Grenze begreiflich zu machen, und sich an diese Seite des Unterschiedes des Quantums vom Quantum, wie er kein Unterschied und doch noch ein Unterschied ist, zu halten.

Indem es aber geschehen ist, daß die Incremente oder unendlichen Differenzen bloß nach der Seite des Quantums und als verhältnislose Momente genommen wurden, so ist die unstatthafte Vorstellung hieraus entsprungen, welche es sich erlaubt, in dem letzten Verhältnisse, Abszisse und Ordinate, oder auch Sinus, Cosinus, Tangente, Sinus versus und was alles noch, einander gleich zu setzen.

Auch der Bogen ist wohl inkommensurabel mit der geraden Linie, und sein Element zunächst von anderer Qualität als das Element der geraden Linie. Es scheint somit noch widersinniger und unerlaubter, als die Verwechslung der Abszisse, Ordinate, des Sinus, Cosinus u. s. f. wenn quadrata Rotunde, wenn ein ob zwar unendlich kleiner Teil des Bogens, für einen Teil der Tangente, oder überhaupt als Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreiecke, worin die beiden Katheten die Elemente der Abszisse und der Ordinate sind, genommen, und somit als gerade Linie behandelt wird. — Allein diese Behandlung ist von der gerügten Verwechslung wesentlich zu unterscheiden; sie hat ihre Rechtfertigung darin, daß in einem solchen Dreieck, das Verhältnis des Elementes eines Bogens zum Elemente der Abszisse und der Ordinate, dasselbe ist, als wenn jenes Element das Element einer geraden Linie, der Tangente, wäre; denn die Winkel, welche das wesentliche Verhältnis konstituieren, nämlich dasjenige, das diesen Elementen bleibt, nachdem die ihnen zugehörigen endlichen Größen als Quanta verschwunden sind, sind die nämlichen. — Man kann sich hierüber auch so ausdrücken, gerade Linien, als unendlichklein, seien in krumme Linien übergegangen, und das Verhältnis ihrer in ihrer Unendlichkeit sei ein Kurvenverhältnis. Denn wenn man die gewöhnliche Definition der geraden Linie nimmt, daß sie der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten ist, so gründet sich ihr Unterschied von krummer Linie auf die Bestimmung von Menge, auf die geringere Menge des Unterscheidbaren auf diesem Wege, was also eine Bestimmung von Quantum ist. Aber diese Bestimmung verschwindet in ihr, sie als intensive Größe, als unendliches Moment, als Element genommen; somit auch ihr Unterschied von der krummen Linie, der bloß auf dem Quantumsunterschiede beruhte. — Oder, eine unendliche gerade Linie ist die aufgehobene gerade Linie, denn die unendliche gerade Linie ist die in sich zurückgehende, das ist, eine Kurve. Also als unendlich, behalten gerade Linie und Kurve kein qualitatives Verhältnis mehr gegeneinander, sondern geht jene vielmehr in diese über.

Ganz anders aber ist es mit den Verhältnissen von Sinus, Tangente u. s. f. zu einander beschaffen. Es ist leicht einzusehen, und ist auch von andern erinnert worden, daß wenn man mit der allgemeinen Ausrede, daß im letzten Verhältnisse alles gleich, d. h. auch das Verhältnis selbst aufgehoben sei, sich erlaubt, für die Abszisse die Ordinate zu setzen, das ungereimteste sich herausbringen, oder wie es genannt wird, sich beweisen lasse. Durch eine solche Verwechslung wird der zu Grunde liegende Begriff, daß den veränderlichen Größen in ihrem Verschwinden das Verhältnis, aus dem sie herkommen, erhalten bleibt, gänzlich zerstört. Es entsteht im eigentlichen Sinne ein Verhältnis von Null zu Null, dem es ganz willkürlich und zufällig ist, welche qualitative und quantitative Bedeutung gegeben werde. Mit der Erlaubnis solcher Gleichsetzung kann es nicht schwer sein, Formeln hervorzubringen, die als Resultat ergeben, daß der Diameter größer sei als die Peripherie, die Hypotenuse kleiner als ein Kathete u. s. f.

Es kann wohl keinen andern Grund geben, daß man sich Beweise, die auf jenes Gleichsetzen gebaut sind, hat gefallen lassen, als den, daß das, was herauskam, immer schon vorher bekannt war, und der Beweis, der so eingerichtet wurde, daß es herauskam, ungeachtet sich auf solche Art eben so gut das Gegenteil herausbringen ließ, wenigstens den Schein eines Gerüstes von Beweis zu Stande brachte; — einen Schein, den man dem bloßen Glauben oder dem Wissen aus sinnlicher Erfahrung immer noch vorzog. Ich trage kein Bedenken, diese Manier für nicht mehr als eine bloße Taschenspielerei und Scharlatanerie des Beweisens anzusehen, und hierunter selbst eine Menge der Neutonischen Beweise zu rechnen, besonders aber derjenigen, wegen welcher man Newton bis an den Himmel und über Keppler erhob, das was dieser bloß durch Erfahrung gefunden, mathematisch dargetan zu haben. So lange die Mathematik des Unendlichen, des gründlichen Begriffs ihres Gegenstands entbehrt, vermag sie die Grenze nicht anzugeben, bis zu welcher jenes Gleichsetzen gehen darf, und auch den richtigen ihrer Operationen hängt immer das Misstrauen an, welches aus der Unsicherheit, und bei der angeführten Verwechslung, — der Sinnlosigkeit dieses Verfahrens entspringt, — eines Verfahrens, das dem schon öfters erwähnten Gerede neuerer Philosophen, — das zugleich ihre ganze Philosophie auszumachen pflegt, — daß im Absoluten Alles Eins ist, nichts vorzuwerfen hat.

Das leere Gerüste Neutonischer Beweise jener Art, wurde vornehmlich errichtet, um physische Gesetze zu beweisen. Aber die Mathematik vermag überhaupt nicht Größenbestimmungen der Physik zu beweisen, insofern sie Gesetze sind, welche die qualitative Natur der Momente zum Grunde haben; aus dem einfachen Grunde, weil diese Wissenschaft nicht Philosophie ist, nicht vom Begriffe ausgeht, und das qualitative daher, insofern es nicht Lemmatischerweise aus der Erfahrung aufgenommen wird, außer ihrer Sphäre liegt. Jenem Gerüste wird ohne Zweifel noch dasselbe Recht widerfahren, das dem grundlosen Neutonischen Kunstgebäude von optischen Experimenten und damit verbundenem Schließen kürzlich angetan worden ist. Die angewandte Mathematik ist noch voll von einem gleichen Gebräue aus Erfahrung und Reflexion, aber wie von jener Optik seit geraumer Zeit bereits ein Teil nach dem andern anfing faktisch ignoriert zu werden, so ist es auch Faktum, daß bereits ein Teil jener trügerischen Beweise, die sich auf jenes regellose und sinnleere Gleichsetzen qualitativer Bestimmungen unter dem Vorwande ihrer unendlichen Kleinheit gründen, wenn auch deren Mangel nicht eingesehen worden, von selbst in Vergessenheit geraten oder durch andere ersetzt worden ist.