Anmerkung 2

Es ist oben erinnert worden, dass die Kantischen Antinomien Darstellungen des Gegensatzes des Endlichen und Unendlichen, in einer concretern Gestalt, auf speziellere Substrate der Vorstellung angewendet, sind. Die daselbst betrachtete Antinomie enthielt den Gegensatz der qualitativen Endlichkeit und Unendlichkeit. In einer andern, der ersten der vier kosmologischen Antinomien, ist es mehr die quantitative Grenze, die in ihrem Widerstreite betrachtet wird. Ich will die Untersuchung dieser Antinomie daher hier anstellen.

Sie betrifft die Begrenztheit oder Unbegrenztheit der Welt in Zeit und Raum. – Es konnte eben so gut dieser Gegensatz auch in Rücksicht auf Zeit und Raum selbst betrachtet werden, denn ob Zeit und Raum Verhältnisse der Dinge selbst, oder aber nur Formen der Anschauung sind, ändert nichts für das Antinomische der Begrenztheit oder Unbegrenztheit in ihnen.

Die nähere Auseinanderlegung dieser Antinomie wird gleichfalls zeigen, dass die beiden Sätze und eben so ihre Beweise, die wie bei der oben betrachteten apogogisch geführt sind, auf nichts, als auf die zwei einfachen, entgegengesetzten Behauptungen hinauslaufen: es ist eine Grenze, und: es muss über die Grenze hinausgegangen werden.

Die Thesis ist:

»Die Welt hat einen Anfang in der Zeit, und ist dem Raume nach auch in Grenzen eingeschlossen.«

Der eine Teil des Beweises, die Zeit betreffend, nimmt das Gegenteil an,

»die Welt habe der Zeit nach keinen Anfang, so ist bis zu jedem gegebenen Zeitpunkt eine Ewigkeit abgelaufen, und mithin eine unendliche Reihe auf einander folgender Zustände der Dinge in der Welt verflossen. Nun besteht aber eben darin die Unendlichkeit einer Reihe, dass sie durch sukzessive Synthesis niemals vollendet sein kann. Also ist eine unendliche verflossene Weltreihe unmöglich, mithin ein Anfang der Welt eine notwendige Bedingung ihres Daseins; welches zu erweisen war.«

Der andere Teil des Beweises, der den Raum betrifft, wird auf die Zeit zurückgeführt. Das Zusammenfassen der Teile einer im Raume unendlichen Welt erforderte eine unendliche Zeit, welche als abgelaufen angesehen werden müsste, insofern die Welt im Raume nicht als ein werdendes, sondern als ein vollendetes gegebenes anzusehen ist. Von der Zeit aber wurde im ersten Teile des Beweises gezeigt, dass eine unendliche Zeit als abgelaufen anzunehmen unmöglich sei.

Man sieht aber sogleich, dass es unnötig war, den Beweis apagogisch zu machen, oder überhaupt einen Beweis zu führen, indem in ihm selbst unmittelbar die Behauptung dessen zu Grunde liegt, was bewiesen werden sollte. Es wird nämlich irgend ein oder jeder gegebene Zeitpunkt angenommen, bis zu welchem eine Ewigkeit (–Ewigkeit hat hier nur den geringen Sinn einer schlechtunendlichen Zeit) abgelaufen sei. Ein gegebener Zeitpunkt heißt nun nichts anders, als eine bestimmte Grenze in der Zeit. Im Beweise wird also eine Grenze der Zeit als wirklich vorausgesetzt; sie ist aber eben das, was bewiesen werden sollte. Denn die Thesis besteht darin, dass die Welt einen Anfang in der Zeit habe.

Nur der Unterschied findet Statt, dass die angenommene Zeitgrenze ein Jetzt, als Ende der vorher verflossenen, die zu beweisende aber Jetzt als Anfang einer Zukunft ist. Allein dieser Unterschied ist unwesentlich. Jetzt wird als der Punkt angenommen, in welchem eine unendliche Reihe auf einander folgender Zustände der Dinge in der Zeit verflossen sein soll, also als Ende, als qualitative Grenze. Würde dies Jetzt nur als quantitative Grenze betrachtet, welche fließend und über die nicht nur hinaus zu gehen sondern die vielmehr nur dies sei, über sich hinauszugehen, so wäre die unendliche Zeitreihe in ihr nicht verflossen, sondern führe fort zu fließen, und das Räsonnement des Beweises fiele weg. Dagegen ist der Zeitpunkt als qualitative Grenze für die Vergangenheit angenommen, aber ist so zugleich Anfang für die Zukunft, – denn an sich ist jeder Zeitpunkt die Beziehung der Vergangenheit und der Zukunft, – auch ist er absoluter d. h. abstrakter Anfang für dieselbe, d. i. das, was bewiesen werden sollte. Es tut nichts zur Sache, dass vor seiner Zukunft und diesem ihrem Anfange schon eine Vergangenheit ist; indem dieser Zeitpunkt qualitative Grenze ist, – und als qualitative ihn anzunehmen, liegt in der Bestimmung des Vollendeten, Abgelaufenen, also sich nicht kontinuierenden, – so ist die Zeit in ihm abgebrochen, und jene Vergangenheit, ohne Beziehung auf diejenige Zeit, welche nur Zukunft in Rücksicht auf diese Vergangenheit genannt werden konnte, und daher ohne solche Beziehung nur Zeit überhaupt ist, die einen absoluten Anfang hat. Stünde sie aber, – (wie sie es denn tut –) durch das Itzt, den gegebenen Zeitpunkt, in einer Beziehung auf die Vergangenheit, wäre sie somit als Zukunft bestimmt, so wäre auch dieser Zeitpunkt von der andern Seite keine Grenze, die unendliche Zeitreihe kontinuierte sich in dem, was Zukunft hieß, und wäre nicht, wie angenommen worden, vollendet.

In Wahrheit ist die Zeit reine Quantität; der im Beweise gebrauchte Zeitpunkt, in welchem sie unterbrochen sein sollte, ist vielmehr nur das sich selbst aufhebende Fürsichsein des Itzt. Der Beweis leistet nichts, als dass er die in der Thesis behauptete absolute Grenze der Zeit als einen gegebenen Zeitpunkt vorstellig macht und ihn als vollendeten, d. i. abstrakten Punkt, geradezu annimmt, – eine populäre Bestimmung, welche das sinnliche Vorstellen leicht als eine Grenze passieren, somit im Beweise dies als Annahme gelten lässt, was vorher als das zu beweisende aufgestellt wurde.

Die Antithesis heißt:

»Die Welt hat keinen Anfang und keine Grenzen im Raume, sondern ist sowohl in Ansehung der Zeit als des Raumes unendlich.«

Der Beweis setzt gleichfalls das Gegenteil:

»Die Welt habe einen Anfang. Da der Anfang ein Dasein ist, wovor eine Zeit vorhergeht, darin das Ding nicht ist, so muss eine Zeit vorhergegangen sein, darin die Welt nicht war, d. i. eine leere Zeit. Nun ist aber in einer leeren Zeit kein Entstehen irgend eines Dings möglich; weil kein Teil einer solchen Zeit vor einem andern irgend eine unterscheidende Bedingung des Daseins vor der des Nichtdaseins an sich hat. Also kann zwar in der Welt manche Reihe der Dinge anfangen, die Welt selbst aber keinen Anfang nehmen, und ist in Ansehung der vergangenen Zeit unendlich.«

Dieser apogogische Beweis enthält, wie die andern, die direkte und unbewiesene Behauptung dessen, was er beweisen sollte. Er nimmt nämlich zuerst ein Jenseits des weltlichen Daseins, eine leere Zeit, an; aber kontinuiert alsdann auch das weltliche Dasein eben so sehr über sich hinaus in diese leere Zeit hinein, hebt diese dadurch auf, und setzt somit das Dasein ins Unendliche fort. Die Welt ist ein Dasein; der Beweis setzt voraus, dass dies Dasein entstehe, und das Entstehen eine in der Zeit vorhergehende Bedingung habe. Darin aber eben besteht die Antithesis selbst, dass es kein unbedingtes Dasein, keine absolute Grenze gebe, sondern das weltliche Dasein immer eine vorhergehende Bedingung fordere. Das zu Erweisende findet sich somit als Annahme in dem Beweise. – Die Bedingung wird dann ferner in der leeren Zeit gesucht, was so viel heißt, als dass sie als zeitlich und somit als Dasein, und Beschränktes angenommen wird. Überhaupt also ist die Annahme gemacht, dass die Welt als Dasein ein anderes bedingtes Dasein in der Zeit voraussetze und hiermit so fort ins Unendliche.

Der Beweis in Ansehung der Unendlichkeit der Welt im Raume ist dasselbe. Apogogischer Weise wird die räumliche Endlichkeit der Welt gesetzt; »diese befände sich somit in einem leeren unbegrenzten Raume, und hätte ein Verhältnis zu ihm; ein solches Verhältnis der Welt zu keinem Gegenstande aber ist Nichts.«

Was bewiesen werden sollte, ist hier ebenso im Beweise direkt vorausgesetzt. Es wird direkt angenommen, dass die begrenzte räumliche Welt sich in einem leeren Raume befinden und ein Verhältnis zu ihm haben sollte, das heißt, dass über sie hinausgegangen werden müsse, – einerseits in das Leere, in das Jenseits und Nichtsein derselben, andererseits aber dass sie damit im Verhältnis stehe, d. i. sich darein hinein kontinuiere, das Jenseits hiermit mit weltlichem Dasein erfüllt vorzustellen sei. Die Unendlichkeit der Welt im Raume, die in der Antithesis behauptet wird, ist nichts anderes, als einerseits der leere Raum, andererseits das Verhältnis der Welt zu ihm, das heißt Kontinuität derselben in ihm, oder die Erfüllung desselben; welcher Widerspruch, der Raum zugleich als leer und zugleich als erfüllt, der unendliche Progreß des Daseins im Raume ist. Dieser Widerspruch selbst, das Verhältnis der Welt zum leeren Raume, ist im Beweise direkt zur Grundlage gemacht.

Die Thesis und Antithesis und die Beweise derselben stellen daher nichts dar, als die entgegengesetzten Behauptungen, dass eine Grenze ist, und dass die Grenze eben so sehr nur eine aufgehobene ist; dass die Grenze ein Jenseits hat, mit dem sie aber in Beziehung steht, wohin über sie hinauszugehen ist, worin aber wieder eine solche Grenze entsteht, die keine ist.

Die Auflösung dieser Antinomien ist, wie die der obigen, transzendental, das heißt, sie besteht in der Behauptung der Idealität des Raums und der Zeit, als Formen der Anschauung, in dem Sinne, dass die Welt an ihr selbst nicht im Widerspruch mit sich, nicht ein sich aufhebendes, sondern nur das Bewusstsein in seinem Anschauen und in der Beziehung der Anschauung auf Verstand und Vernunft, ein sich selbst widersprechendes Wesen sei. Es ist dies eine zu große Zärtlichkeit für die Welt, von ihr den Widerspruch zu entfernen, ihn dagegen in den Geist, in die Vernunft, zu verlegen und darin unaufgelöst bestehen zu lassen. In der Tat ist es der Geist, der so stark ist, den Widerspruch ertragen zu können, aber er ist es auch, der ihn aufzulösen weiß. Die sogenannte Welt aber (sie heiße objektive, reale Welt, oder nach dem transzendentalen Idealismus subjektives Anschauen, und durch die Verstandes-Kategorie bestimmte Sinnlichkeit), entbehrt darum des Widerspruchs nicht und nirgends, vermag ihn aber nicht zu ertragen und ist darum dem Entstehen und Vergehen preis gegeben.

c. Die Unendlichkeit des Quantums

Das unendliche Quantum, als Unendlichgroßes oder Unendlichkleines, ist selbst an sich der unendliche Progreß; es ist Quantum als ein Großes oder Kleines, und ist zugleich Nichtsein des Quantums. Das Unendlichgroße und Unendlichkleine sind daher Bilder der Vorstellung, die bei näherer Betrachtung sich als nichtiger Nebel und Schatten zeigen. Im unendlichen Progreß aber ist dieser Widerspruch explicite vorhanden, und damit das, was die Natur des Quantums ist, das als intensive Größe seine Realität erreicht hat, und in seinem Dasein nun gesetzt, wie es in seinem Begriffe ist. Diese Identität ist es, die zu betrachten ist.

Das Quantum als Grad ist einfach, auf sich bezogen und als an ihm selbst bestimmt. Indem durch diese Einfachheit das Anderssein und die Bestimmtheit an ihm aufgehoben ist, ist diese ihm äußerlich; es hat seine Bestimmtheit außer ihm. Dies sein Außersichsein ist zunächst das abstrakte Nichtsein des Quantums überhaupt, die schlechte Unendlichkeit. Aber ferner ist dies Nichtsein auch ein Großes, das Quantum kontinuiert sich in sein Nichtsein, denn es hat eben seine Bestimmtheit in seiner Äußerlichkeit; diese seine Äußerlichkeit ist daher eben so sehr selbst Quantum; jenes sein Nichtsein, die Unendlichkeit, wird so begrenzt, d. h. dies Jenseits wird aufgehoben, dieses ist selbst als Quantum bestimmt, das hiermit in seiner Negation bei sich selbst ist.

Dies ist aber das, was das Quantum als solches an sich ist. Denn es ist eben es selbst durch sein Äußerlichsein; die Äußerlichkeit macht das aus, wodurch es Quantum, bei sich selbst, ist. Es ist also im unendlichen Progresse der Begriff des Quantums gesetzt.

Nehmen wir ihn zunächst in seinen abstrakten Bestimmungen wie sie vorliegen, so ist in ihm das Aufheben des Quantums, aber eben so sehr seines Jenseits, also die Negation des Quantums sowohl, als die Negation dieser Negation vorhanden. Seine Wahrheit ist ihre Einheit, worin sie, aber als Momente, sind. – Sie ist die Auflösung des Widerspruchs, dessen Ausdruck er ist, und ihr nächster Sinn somit die Wiederherstellung des Begriffs der Größe, dass sie gleichgültige oder äußerliche Grenze ist. Im unendlichen Progresse als solchem pflegt nur darauf reflektiert zu werden, dass jedes Quantum, es sei noch so groß oder klein, verschwinden, dass über dasselbe muss hinausgegangen werden können; aber nicht darauf, dass dies sein Aufheben, das Jenseits, das schlecht-Unendliche selbst auch verschwindet.

Schon das erste Aufheben, die Negation der Qualität überhaupt, wodurch das Quantum gesetzt wird, ist an sich das Aufheben der Negation, – das Quantum ist aufgehobene qualitative Grenze, somit aufgehobene Negation, – aber es ist zugleich nur an sich dies; gesetzt ist es als ein Dasein, und dann ist seine Negation als das Unendliche fixiert, als das Jenseits des Quantums, welches als ein Diesseits steht, als ein unmittelbares; so ist das Unendliche nur als erste Negation bestimmt, und so erscheint es im unendlichen Progresse. Es ist gezeigt worden, dass aber in diesem mehr vorhanden ist, die Negation der Negation, oder das, was das Unendliche in Wahrheit ist. Es ist dies vorhin so angesehen worden, dass der Begriff des Quantums damit wieder hergestellt ist; diese Wiederherstellung heißt zunächst, dass sein Dasein seine nähere Bestimmung erhalten hat; es ist nämlich das nach seinem Begriff bestimmte Quantum entstanden, was verschieden ist, von dem unmittelbaren Quantum, die Äußerlichkeit ist nun das Gegenteil ihrer selbst, als Moment der Größe selbst gesetzt, – das Quantum so, dass es vermittelst seines Nichtseins, der Unendlichkeit, in einem andern Quantum seine Bestimmtheit habe, d. i. qualitativ das ist, was es ist. Jedoch gehört diese Vergleichung des Begriffs des Quantums mit seinem Dasein mehr unserer Reflexion, einem Verhältnis, das hier noch nicht vorhanden ist, an. Die zunächst liegende Bestimmung ist, dass das Quantum zur Qualität zurückgekehrt, nunmehr qualitativ bestimmt ist. Denn seine Eigentümlichkeit, Qualität, ist die Äußerlichkeit, Gleichgültigkeit der Bestimmtheit; und es ist nun gesetzt, als in seiner Äußerlichkeit vielmehr es selbst zu sein, darin sich auf sich selbst zu beziehen, in einfacher Einheit mit sich, d. i. qualitativ bestimmt zu sein. – Dies Qualitative ist noch näher bestimmt, nämlich als Fürsichsein; denn die Beziehung auf sich selbst, zu der es gekommen, ist aus der Vermittlung, der Negation der Negation, hervorgegangen. Das Quantum hat die Unendlichkeit, das Fürsichbestimmtsein nicht mehr außer ihm, sondern an ihm selbst.

Das Unendliche, welches im unendlichen Progresse nur die leere Bedeutung eines Nichtsseins, eines unerreichten, aber gesuchten Jenseits hat, ist in der Tat nicht anderes als die Qualität. Das Quantum geht als gleichgültige Grenze über sich hinaus ins Unendliche; es sucht damit nichts anderes, als das Fürsichbestimmtsein, das qualitative Moment, das aber so nur ein Sollen ist. Seine Gleichgültigkeit gegen die Grenze, damit sein Mangel an fürsichseiender Bestimmtheit und sein Hinausgehen über sich ist, was das Quantum zum Quantum macht; jenes sein Hinausgehen soll negiert werden und im Unendlichen sich seine absolute Bestimmtheit finden.

Ganz überhaupt: das Quantum ist die aufgehobene Qualität; aber das Quantum ist unendlich, geht über sich hinaus, es ist die Negation seiner; dies sein Hinausgehen ist also an sich die Negation der negierten Qualität, die Wiederherstellung derselben; und gesetzt ist dies, dass die Äußerlichkeit, welche als Jenseits erschien, als das eigene Moment des Quantums bestimmt ist.

Das Quantum ist hiermit gesetzt als von sich repelliert, womit also zwei Quanta sind, die jedoch aufgehoben, nur als Momente einer Einheit sind, und diese Einheit ist die Bestimmtheit des Quantums. – Dieses so in seiner Äußerlichkeit als gleichgültige Grenze auf sich bezogen, hiermit qualitativ gesetzt, ist das quantitative Verhältnis. – Im Verhältnisse ist das Quantum sich äußerlich, von sich selbst verschieden; diese seine Äußerlichkeit ist die Beziehung eines Quantums auf ein anderes Quantum, deren jedes nur gilt in dieser seiner Beziehung auf sein Anderes; und diese Beziehung macht die Bestimmtheit des Quantums aus, das als solche Einheit ist. Es hat darin nicht eine gleichgültige, sondern qualitative Bestimmung; ist in dieser seiner Äußerlichkeit in sich zurückgekehrt, ist in derselben, das was es ist.

Anmerkung 1. Die Begriffsbestimmtheit des mathematischen Unendlichen

Das mathematische Unendliche ist einesteils interessant durch die Erweiterung der Mathematik und die großen Resultate, welche seine Einführung in dieselbe hervorgebracht hat; andernteils aber ist es dadurch merkwürdig, dass es dieser Wissenschaft noch nicht gelungen ist, sich über den Gebrauch desselben durch den Begriff (Begriff im eigentlichen Sinne genommen) zu rechtfertigen. Die Rechtfertigungen beruhen am Ende auf der Richtigkeit der mit Hilfe jener Bestimmung sich ergebenden Resultate, welche aus sonstigen Gründen erwiesen ist; nicht aber auf der Klarheit des Gegenstandes und der Operation, durch welche die Resultate herausgebracht werden, sogar dass die Operation vielmehr selbst als unrichtig zugegeben wird.

Dies ist schon ein Mißstand an und für sich; ein solches Verfahren ist unwissenschaftlich. Es führt aber auch den Nachteil mit sich, dass die Mathematik, indem sie die Natur dieses ihres Instruments nicht kennt, weil sie mit der Metaphysik und Kritik desselben nicht fertig ist, den Umfang seiner Anwendung nicht bestimmen, und von Missbräuchen desselben sich nicht sichern konnte.

In philosophischer Rücksicht aber ist das mathematische Unendliche darum wichtig, weil ihm in der Tat der Begriff des wahrhaften Unendlichen zu Grunde liegt und es viel höher steht, als das gewöhnlich sogenannte metaphysische Unendliche, von dem aus die Einwürfe gegen ersteres gemacht werden. Gegen diese Einwürfe weiß sich die Wissenschaft der Mathematik häufig nur dadurch zu retten, dass sie die Kompetenz der Metaphysik verwirft, indem sie behauptet, mit dieser Wissenschaft nichts zu schaffen und sich um deren Begriffe nicht zu bekümmern zu haben, wenn sie nur auf ihrem eigenen Boden consequent verfahre. Sie habe nicht zu betrachten, was an sich, sondern was auf ihrem Felde das Wahre sei. Die Metaphysik weiß die glänzenden Resultate des Gebrauchs des mathematischen Unendlichen bei ihrem Widerspruche gegen dasselbe nicht zu leugnen oder umzustoßen, und die Mathematik weiß mit der Metaphysik ihres eigenen Begriffs und daher auch mit der Ableitung der Verfahrensweisen, die der Gebrauch des Unendlichen nötig macht, nicht ins Reine zu kommen.

Wenn es die einzige Schwierigkeit des Begriffs überhaupt wäre, von der die Mathematik gedrückt würde, so könnte sie diesen ohne Umstände auf der Seite liegen lassen, insofern nämlich der Begriff mehr ist, als nur die Angabe der wesentlichen Bestimmtheiten, d. i. der Verstandesbestimmungen einer Sache, und an der Schärfe dieser Bestimmtheiten hat sie es nicht fehlen lassen; denn sie ist nicht eine Wissenschaft, die es mit den Begriffen ihrer Gegenstände zu tun, und durch die Entwicklung des Begriffs, wenn auch nur durch Räsonnement, ihren Inhalt zu erzeugen hätte. Allein bei der Methode ihres Unendlichen findet sie den Hauptwiderspruch an der eigentümlichen Methode selbst, auf welcher sie überhaupt als Wissenschaft beruht. Denn die Rechnung des Unendlichen erlaubt und erfordert Verfahrungsweisen, welche die Mathematik bei Operationen mit endlichen Größen durchaus verwerfen muss, und zugleich behandelt sie ihre unendlichen Größen, wie endliche Quanta, und will auf jene dieselben Verfahrungsweisen anwenden, welche bei diesen gelten; es ist eine Hauptseite der Ausbildung dieser Wissenschaft, für die transcendenten Bestimmungen und deren Behandlung, die Form des gewöhnlichen Calculs gewonnen zu haben.

Die Mathematik zeigt bei diesem Widerstreite ihrer Operationen, dass Resultate, die sie dadurch findet, ganz mit denen übereinstimmen, welche durch die eigentlich mathematische, die geometrische und analytische, Methode gefunden werden. Aber teils betrifft dies nicht alle Resultate, und der Zweck der Einführung des Unendlichen ist nicht allein, den gewöhnlichen Weg abzukürzen, sondern zu Resultaten zu gelangen, die durch diesen nicht geleistet werden können. Teils rechtfertigt der Erfolg die Manier des Wegs nicht für sich. Diese Manier aber der Rechnung des Unendlichen zeigt sich durch den Schein der Ungenauigkeit gedrückt, den sie sich gibt, indem sie endliche Größen um eine unendlich kleine Größe das einemmal vermehrt, diese in der fernern Operation zum Teil beibehält, aber einen Teil derselben auch vernachlässigt. Dies Verfahren enthält die Sonderbarkeit, dass der eingestandenen Ungenauigkeit unerachtet, ein Resultat herauskommt, das nicht nur ziemlich und so nahe, dass der Unterschied außer Acht gelassen werden könnte, sondern vollkommen genau ist. In der Operation selbst aber, die dem Resultate vorher geht, kann die Vorstellung nicht entbehrt werden, dass einiges nicht gleich Null, aber so unbeträchtlich sei, um außer Acht gelassen werden zu können. Allein bei dem, was unter mathematischer Bestimmtheit zu verstehen ist, fällt aller Unterschied einer größern oder geringern Genauigkeit gänzlich hinweg, wie in der Philosophie nicht von größerer oder geringerer Wahrscheinlichkeit, sondern von der Wahrheit allein die Rede sein kann. Wenn die Methode und der Gebrauch des Unendlichen durch den Erfolg gerechtfertigt wird, so ist es nicht so überflüssig dessen ungeachtet die Rechtfertigung derselben zu fordern, als es bei der Nase überflüssig scheint, nach dem Erweise des Rechts, sich ihrer zu bedienen, zu fragen. Denn es ist bei der mathematischen als einer wissenschaftlichen Erkenntnis wesentlich um den Beweis zu tun, und auch in Ansehung der Resultate ist es der Fall, dass die streng mathematische Methode nicht zu allen den Beleg des Erfolgs liefert, der aber ohnehin nur ein äußerlicher Beleg ist.

Es ist der Mühe wert, den mathematischen Begriff des Unendlichen und die merkwürdigsten Versuche näher zu betrachten, welche die Absicht haben, den Gebrauch desselben zu rechtfertigen und die Schwierigkeit, von der sich die Methode gedrückt fühlt, zu beseitigen. Die Betrachtung dieser Rechtfertigungen und Bestimmungen des mathematischen Unendlichen, welche ich in dieser Anmerkung weitläufiger anstellen will, wird zugleich das beste Licht auf die Natur des wahren Begriffes selbst werfen, und zeigen, wie er ihnen vorgeschwebt und zu Grunde gelegen hat.

Die gewöhnliche Bestimmung des mathematischen Unendlichen ist, dass es eine Größe sei, über welche es, – wenn sie als das Unendlichgroße – keine größere oder, – wenn sie als das Unendlichkleine bestimmt ist – kleinere mehr gebe, oder die, in jenem Falle, größer, in diesem Falle kleiner sei, als jede beliebige Größe. – In dieser Definition ist freilich der wahre Begriff nicht ausgedrückt, vielmehr nur, wie schon bemerkt, derselbe Widerspruch, der im unendlichen Progresse ist; aber sehen wir, was an sich darin enthalten ist. Eine Größe wird in der Mathematik definiert, dass sie etwas sei, das vermehrt und vermindert werden könne; überhaupt also eine gleichgültige Grenze. Indem nun das Unendlich-große oder kleine ein solches ist, das nicht mehr vermehrt oder vermindert werden könne, so ist es in der Tat kein Quantum als solches mehr.

Diese Konsequenz ist notwendig und unmittelbar. Aber die Reflexion, dass das Quantum, – und ich nenne in dieser Anmerkung Quantum überhaupt, wie es ist, das endliche Quantum, – aufgehoben ist, ist es, welche nicht gemacht zu werden pflegt und die für das gewöhnliche Begreifen die Schwierigkeit ausmacht, indem das Quantum, indem es unendlich ist, als ein aufgehobenes, als ein solches zu denken gefordert wird, das nicht ein Quantum ist, und dessen quantitative Bestimmtheit doch bleibt.

Um das anzuführen, wie Kant jene Bestimmung beurteilt⁹, so findet er sie nicht übereinstimmend mit dem, was man unter einem unendlichen Ganzen verstehe. »Nach dem gewöhnlichen Begriffe sei eine Größe unendlich, über die keine größere (d. i. über die darin enthaltene Menge einer gegebenen Einheit) möglich ist; es sei aber keine Menge die größte, weil noch immer eine oder mehrere Einheiten hinzugefügt werden können. – Durch ein unendliches Ganzes dagegen werde nicht vorgestellt, wie groß es sei, mithin sei sein Begriff nicht der Begriff eines Maximums (oder Minimums), sondern es werde dadurch nur sein Verhältnis zu einer beliebig anzunehmenden Einheit gedacht, in Ansehung deren dasselbe größer ist, als alle Zahl. Je nachdem diese Einheit größer oder kleiner angenommen würde, würde das Unendliche größer oder kleiner sein; allein die Unendlichkeit, da sie bloß in dem Verhältnisse zu dieser gegebenen Einheit bestehe, würde immer dieselbe bleiben, obgleich freilich die absolute Größe des Ganzen dadurch gar nicht erkannt würde.«

Kant tadelt es, wenn unendliche Ganze als ein Maximum, als eine vollendete Menge einer gegebenen Einheit angesehen werden. Das Maximum oder Minimum als solches erscheint noch immer als ein Quantum, eine Menge. Solche Vorstellung kann die von Kant angeführte Konsequenz nicht ablehnen, die auf ein größeres oder kleineres Unendliches führt. Überhaupt indem das Unendliche als Quantum vorgestellt wird, gilt noch für dasselbe der Unterschied eines größern oder kleinern. Allein diese Kritik trifft nicht den Begriff des wahrhaften mathematischen Unendlichen, der unendlichen Differenz, denn diese ist kein endliches Quantum mehr.

Kants Begriff der Unendlichkeit dagegen, den er den wahren transzendentalen nennt, ist, »dass die sukzessive Synthesis der Einheit in Durchmessung eines Quantums niemals vollendet sein könne.« Es ist ein Quantum überhaupt als gegeben vorausgesetzt; dies solle durch das Synthesiren der Einheit zu einer Anzahl, einem bestimmt anzugebenden Quantum gemacht werden, aber dies Synthesiren niemals vollendet werden können. Hiermit ist wie erhellt, nichts als der Progreß ins Unendliche ausgesprochen, nur transzendental, d. i. eigentlich subjektiv und psychologisch vorgestellt. An sich soll zwar das Quantum vollendet sein, aber transzendentalerweise, nämlich im Subjekte, welches ihm ein Verhältnis zu einer Einheit gibt, entstehe nur eine solche Bestimmung des Quantums, die unvollendet und schlechthin mit einem Jenseits behaftet sei. Es wird also hier überhaupt beim Widerspruche, den die Größe enthält, stehen geblieben, aber verteilt an das Objekt und das Subjekt, so dass jenem die Begrenztheit, diesem aber das Hinausgehen über jede von ihm aufgefasste Bestimmtheit, in das schlechte Unendliche zukommt.

Es ist dagegen vorhin gesagt worden, dass die Bestimmung des mathematischen Unendlichen und zwar wie es in der höhern Analysis gebraucht wird, dem Begriffe des wahrhaften Unendlichen entspricht; die Zusammenstellung beider Bestimmungen soll nun in ausführlicher Entwicklung vorgenommen werden. – Was zuerst das wahrhafte unendliche Quantum betrifft, so bestimmte es sich als an ihm selbst unendlich; es ist dies, indem, wie sich ergeben hat, das endliche Quantum oder das Quantum überhaupt, und sein Jenseits, das schlechte Unendliche, auf gleiche Weise aufgehoben sind. Das aufgehobene Quantum ist damit in die Einfachheit und in die Beziehung auf sich selbst zurückgegangen, aber nicht nur wie das extensive, indem es in intensives Quantum überging, das seine Bestimmtheit nur an sich an einer äußern Vielfachheit hat, gegen die es jedoch gleichgültig und wovon es verschieden sein soll. Das unendliche Quantum enthält vielmehr erstens die Äußerlichkeit und zweitens die Negation derselben an ihm selbst; so ist es nicht mehr irgend ein endliches Quantum, nicht eine Größebestimmtheit, die ein Dasein als Quantum hätte, sondern es ist einfach, und daher nur als Moment; es ist eine Größebestimmtheit in qualitativer Form; seine Unendlichkeit ist, als eine qualitative Bestimmtheit zu sein. – So als Moment ist es in wesentlicher Einheit mit seinem Andern, nur als bestimmt durch dieses sein Anderes, d. i. es hat nur Bedeutung in Beziehung auf ein im Verhältnis mit ihm stehendes. Außer diesem Verhältnisse ist es Null; – da gerade das Quantum als solches gegen das Verhältnis gleichgültig, in ihm doch eine unmittelbare ruhende Bestimmung sein soll. In dem Verhältnisse als nur Moment ist es nicht ein für sich gleichgültiges; es ist, in der Unendlichkeit als Fürsichsein, indem es zugleich eine quantitative Bestimmtheit ist, nur als ein Für-Eines.

Der Begriff des Unendlichen, wie er sich hier abstrakt exponiert hat, wird sich zeigen, dem mathematischen Unendlichen zu Grunde [zu] liegen, und er selbst wird deutlicher werden, indem wir die verschiedenen Stufen des Ausdrucks des Quantums als eines Verhältnis-Moments betrachten, von der untersten an, wo es noch zugleich Quantum als solches ist, bis zu der höhern, wo es die Bedeutung und den Ausdruck eigentlicher unendlicher Größe erhält.

Nehmen wir also zuerst das Quantum in dem Verhältnisse, wie es eine gebrochene Zahl ist. Solcher Bruch 2/7 z. B. ist nicht ein Quantum wie 1, 2, 3 u.s.f., zwar eine gewöhnliche endliche Zahl, jedoch nicht eine unmittelbare, wie die ganzen Zahlen, sondern als Bruch mittelbar bestimmt durch zwei andere Zahlen, die Anzahl und Einheit gegeneinander sind, wobei auch die Einheit eine bestimmte Anzahl ist. Aber von dieser nähern Bestimmung derselben gegeneinander abstrahiert, und sie bloß nach dem, was ihnen in der qualitativen Beziehung, in der sie hier sind, als Quantis widerfährt, betrachtet, so sind 2 und 7 sonst gleichgültige Quanta; indem sie aber hier nur als Momente, eines des andern, und damit eines Dritten (des Quantums, das der Exponent heißt) auftreten, so gelten sie sogleich nicht als 2 und 7, sondern nur nach ihrer Bestimmtheit gegeneinander. Statt ihrer kann darum eben so gut 4 und 14, oder 6 und 21 u.s.f. ins Unendliche gesetzt werden. Hiermit fangen sie also an, einen qualitativen Charakter zu haben. Gälten sie als bloße Quanta, so ist 2 und 7, schlechthin das eine nur 2, das andere nur 7; 4, 14, 6, 21 u.s.f. sind schlechthin etwas anderes als jene Zahlen, und können insofern sie nur unmittelbare Quanta wären, die einen nicht an die Stelle der andern gesetzt werden. Insofern aber 2 und 7 nicht nach der Bestimmtheit, solche Quanta zu sein, gelten, so ist ihre gleichgültige Grenze aufgehoben; sie haben somit, nach dieser Seite, das Moment der Unendlichkeit an ihnen, indem sie nicht bloß eben nicht mehr sie sind, sondern ihre quantitative Bestimmtheit, aber als eine an sich seiende qualitative, – nämlich nach dem, was sie im Verhältnisse gelten, – bleibt. Es können unendlich viele andere an ihre Stelle gesetzt werden, so dass der Wert des Bruches, die Bestimmtheit, welche das Verhältnis hat, sich nicht ändert.

Die Darstellung, welche die Unendlichkeit an einem Zahlenbruche hat, ist aber darum noch unvollkommen, weil die beiden Seiten des Bruchs, 2 und 7, aus dem Verhältnisse genommen werden können, und gewöhnliche gleichgültige Quanta sind; die Beziehung derselben, im Verhältnisse und Momente zu sein, ist ihnen etwas äußerliches und gleichgültiges. Ebenso ist ihre Beziehung selbst ein gewöhnliches Quantum, der Exponent des Verhältnisses.

Die Buchstaben, mit denen in der allgemeinen Arithmetik operiert wird, die nächste Allgemeinheit, in welche die Zahlen erhoben werden, haben die Eigenschaft nicht, dass sie von einem bestimmten Zahlenwert sind; sie sind nur allgemeine Zeichen und unbestimmte Möglichkeiten jedes bestimmten Wertes. Der Bruch a/b scheint daher ein passenderer Ausdruck des Unendlichen zu sein, weil a und b aus ihrer Beziehung aufeinander genommen, unbestimmt bleiben, und auch getrennt keinen besondern eigentümlichen Wert haben. – Allein diese Buchstaben sind zwar als unbestimmte Größen gesetzt; ihr Sinn aber ist, dass sie irgend ein endliches Quantum seien. Da sie also zwar die allgemeine Vorstellung, aber nur von der bestimmten Zahl sind, so ist es ihnen ebenfalls gleichgültig, im Verhältnisse zu sein, und außer demselben behalten sie diesen Wert.

Betrachten wir noch näher, was im Verhältnisse vorhanden ist, so hat es die beiden Bestimmungen an ihm, erstlich ein Quantum zu sein, dieses aber ist zweitens nicht als ein unmittelbares, sondern das den qualitativen Gegensatz an ihm hat; es bleibt in demselben zugleich jenes bestimmte, gleichgültige Quantum dadurch, dass es aus seinem Anderssein, dem Gegensatze, in sich zurückgekehrt, somit auch ein Unendliches ist. Diese beiden Bestimmungen stellen sich in der folgenden bekannten Form, in ihrem Unterschiede von einander entwickelt dar.

Der Bruch 2/7 kann ausgedrückt werden als 0,285714 …, 1/1−a als 1 + a + a² + a³ u.s.f. So ist er als eine unendliche Reihe; der Bruch selbst heißt die Summe oder der endliche Ausdruck derselben. Vergleichen wir die beiden Ausdrücke, so stellt der eine, die unendliche Reihe, ihn nicht mehr als Verhältnis, sondern nach der Seite dar, dass er ein Quantum ist als eine Menge von solchen, die zu einander hinzukommen, als eine Anzahl. – Dass die Größen, die ihn als Anzahl ausmachen sollen, wieder aus Dezimalbrüchen, also selbst aus Verhältnissen bestehen, darauf kommt es hier nicht an; denn dieser Umstand betrifft die besondere Art der Einheit dieser Größen, nicht sie, insofern sie die Anzahl konstituieren; wie auch eine aus mehrern Ziffern bestehende ganze Zahl des Dezimalsystems wesentlich als eine Anzahl gilt, und nicht darauf gesehen wird, dass sie aus Produkten einer Zahl und der Zahl Zehn und deren Potenzen besteht. So wie es hier auch nicht darauf ankommt, dass es andere Brüche gibt als der zum Beispiel genommene 2/7, die zu Dezimalbrüchen gemacht, nicht eine unendliche Reihe geben; jeder aber kann für ein Zahlensystem von anderer Einheit als eine solche ausgedrückt werden.

Indem nun in der unendlichen Reihe, die den Bruch als Anzahl darstellen soll, die Seite, dass er Verhältnis ist, verschwindet, so verschwindet auch die Seite, nach welcher er, wie vorhin gezeigt, die Unendlichkeit an ihm hatte. Diese aber ist auf eine andere Weise hereingekommen; die Reihe ist nämlich selbst unendlich.

Von welcher Art nun die Unendlichkeit der Reihe sei, erhellt von selbst; es ist die schlechte Unendlichkeit des Progresses. Die Reihe enthält und stellt den Widerspruch dar, etwas, das ein Verhältnis ist und qualitative Natur in ihm hat, als ein Verhältnisloses, als ein bloßes Quantum, als Anzahl, darzustellen. Die Folge davon ist, dass an der Anzahl, die in der Reihe ausgedrückt ist, immer etwas fehlt, so dass über das, was gesetzt ist, immer hinausgegangen werden muss, um die geforderte Bestimmtheit zu erreichen. Das Gesetz des Fortgangs ist bekannt, es liegt in der Bestimmung des Quantums, die im Bruche enthalten ist, und in der Natur der Form, in der sie ausgedrückt werden soll. Die Anzahl kann wohl durch Fortsetzung der Reihe so genau gemacht werden, als man nötig hat; aber immer bleibt die Darstellung durch sie nur ein Sollen; sie ist mit einem Jenseits behaftet, das nicht aufgehoben werden kann, weil ein auf qualitativer Bestimmtheit beruhendes als Anzahl auszudrücken der bleibende Widerspruch ist.

In dieser unendlichen Reihe ist jene Ungenauigkeit wirklich vorhanden, von der am wahrhaften mathematischen Unendlichen nur der Schein vorkommt. Diese beiden Arten des mathematischen Unendlichen sind so wenig zu verwechseln, als die beiden Arten des philosophischen Unendlichen. Bei der Darstellung des wahrhaften mathematischen Unendlichen ist anfangs die Form der Reihe gebraucht oder auch neuerlich wieder hervorgerufen worden. Aber sie ist für dasselbe nicht notwendig; im Gegenteil ist das Unendliche der unendlichen Reihe wesentlich von jenem unterschieden, wie die Folge zeigen soll. Diese vielmehr steht sogar dem Ausdrucke des Bruches nach.

Die unendliche Reihe enthält nämlich die schlechte Unendlichkeit, weil das was die Reihe ausdrücken soll, ein Sollen bleibt; und was sie ausdrückt, mit einem Jenseits, das nicht verschwindet, behaftet und verschieden von dem ist, was ausgedrückt werden soll. Sie ist unendlich nicht um der Glieder willen, die gesetzt sind, sondern darum, weil sie unvollständig sind, weil das Andere, das zu ihnen wesentlich gehört, jenseits ihrer ist; was in ihr da ist, der gesetzten Glieder mögen so viele sein als wollen, ist nur ein endliches, im eigentlichen Sinne, gesetzt als endliches, d. i. als solches, das nicht ist, was es sein soll. Dagegen ist aber das, was der endliche Ausdruck, oder die Summe solcher Reihe genannt wird, ohne Mangel; er enthält den Wert, den die Reihe nur sucht, vollständig; das Jenseits ist aus der Flucht zurückgerufen; was er ist, und was er sein soll, ist nicht getrennt, sondern ist dasselbe.

Das beide unterscheidende liegt näher sogleich darin, dass in der unendlichen Reihe das Negative außerhalb ihrer Glieder ist, welche Gegenwart haben, indem sie nur als Teile der Anzahl gelten. In dem endlichen Ausdrucke dagegen, der ein Verhältnis ist, ist das Negative immanent, als das Bestimmtsein der Seiten des Verhältnisses durcheinander, welches ein in sich Zurückgekehrtsein, sich auf sich beziehende Einheit, als Negation der Negation (beide Seiten des Verhältnisses sind nur als Momente), ist, hiermit die Bestimmung der Unendlichkeit in sich hat. – In der Tat ist also die gewöhnlich sogenannte Summe, das 2/7 oder 1/1−a, ein Verhältnis; und dieser sogenannte endliche Ausdruck ist der wahrhaft unendliche Ausdruck. Die unendliche Reihe dagegen ist in Wahrheit Summe; ihr Zweck ist, das was an sich Verhältnis ist, in der Form einer Summe darzustellen, und die vorhandenen Glieder der Reihe sind nicht als Glieder eines Verhältnisses, sondern eines Aggregats. Sie ist ferner vielmehr der endliche Ausdruck; denn sie ist das unvollkommene Aggregat, und bleibt wesentlich ein Mangelhaftes. Sie ist nach dem, was in ihr da ist, ein bestimmtes Quantum, zugleich aber ein geringeres, als sie sein soll; alsdann auch das, was ihr fehlt, ist ein bestimmtes Quantum; dieser fehlende Teil ist in der Tat das, was das Unendliche an der Reihe heißt, nach der nur formellen Seite, dass er ein Fehlendes, ein Nichtsein ist; nach seinem Inhalte ist er ein endliches Quantum. Das was in der Reihe da ist, zusammen mit dem was ihr fehlt, macht erst das aus, was der Bruch ist, das bestimmte Quantum, das sie gleichfalls sein soll, aber zu sein nicht vermag. – Das Wort: Unendlich, pflegt, auch in der unendlichen Reihe, in der Meinung etwas Hohes und Hehres zu sein; es ist dies eine Art von Aberglauben, der Aberglaube des Verstands; man hat gesehen, wie es sich vielmehr auf die Bestimmung der Mangelhaftigkeit reduziert.

Dass es, kann noch bemerkt werden, unendliche Reihen gibt, die nicht summierbar sind, ist in Bezug auf die Form von Reihe überhaupt ein äußerlicher und zufälliger Umstand. Sie enthalten eine höhere Art der Unendlichkeit, als die summierbaren; nämlich eine Inkommensurabilität, oder die Unmöglichkeit, das darin enthaltene quantitative Verhältnis als ein Quantum, sei es auch als Bruch, darzustellen; die Form der Reihe aber als solche, die sie haben, enthält dieselbe Bestimmung der schlechten Unendlichkeit, welche in der summierbaren Reihe ist.

Die so eben am Bruche und an seiner Reihe bemerkte Verkehrung in Ansehung des Ausdrucks findet auch Statt, insofern das mathematische Unendliche nämlich nicht das so eben genannte sondern das wahrhafte, das relative Unendliche, – das gewöhnliche metaphysische dagegen, worunter das abstrakte, schlechte Unendliche verstanden wird, das absolute genannt worden ist. In der Tat ist vielmehr dieses metaphysische nur das relative, weil die Negation, die es ausdrückt, nur so im Gegensatze einer Grenze ist, dass diese außer ihm bestehen bleibt, und von ihm nicht aufgehoben wird; das mathematische Unendliche hingegen hat die endliche Grenze wahrhaft in sich aufgehoben, weil das Jenseits derselben mit ihr vereinigt ist.

In dem Sinne, in welchem aufgezeigt worden, dass die sogenannte Summe oder der endliche Ausdruck einer unendlichen Reihe, vielmehr als der unendliche anzusehen ist, ist es vornehmlich, dass Spinoza den Begriff der wahren Unendlichkeit gegen den der schlechten aufstellt und durch Beispiele erläutert. Sein Begriff gewinnt am meisten Licht, indem ich das, was er hierüber sagt, an diese Entwicklung anschließe.

Er definiert zunächst das Unendliche als die absolute Affirmation der Existenz irgend einer Natur, das Endliche im Gegenteil als Bestimmtheit, als Verneinung. Die absolute Affirmation einer Existenz ist nämlich als ihre Beziehung auf sich selbst zu nehmen, nicht dadurch zu sein, dass ein Anderes ist; das Endliche hingegen ist die Verneinung, ein Aufhören als Beziehung auf ein Anderes, das außer ihm anfängt. Die absolute Affirmation einer Existenz erschöpft nun zwar den Begriff der Unendlichkeit nicht; dieser enthält, dass die Unendlichkeit Affirmation ist, nicht als unmittelbare, sondern nur als wiederhergestellte durch die Reflexion des Andern in sich selbst, oder als Negation des Negativen. Aber bei Spinoza hat die Substanz und deren absolute Einheit die Form von unbewegter d. i. nicht sich mit sich selbst vermittelnder Einheit, von einer Starrheit, worin der Begriff der negativen Einheit des Selbst, die Subjektivität, sich noch nicht findet.

Das mathematische Beispiel, womit er das wahre Unendliche (Epist. XXIX.) erläutert, ist ein Raum zwischen zwei ungleichen Kreisen, deren einer innerhalb des andern, ohne ihn zu berühren, fällt, und die nicht konzentrisch sind. Er machte, wie es scheint, sich viel aus dieser Figur und dem Begriff, als deren Beispiel er sie gebrauchte, dass er sie zum Motto seiner Ethik machte. – »Die Mathematiker, sagt er, schließen, dass die Ungleichheiten, die in einem solchen Raume möglich sind, unendlich sind, nicht aus der unendlichen Menge der Teile, denn seine Größe ist bestimmt und begrenzt, und ich kann größere und kleinere solche Räume setzen, sondern weil die Natur der Sache jede Bestimmtheit übertrifft.« – Man sieht, Spinoza verwirft jene Vorstellung vom Unendlichen, nach welcher es als Menge oder als Reihe vorgestellt wird, die nicht vollendet ist, und erinnert, dass hier an dem Raume des Beispiels das Unendliche nicht jenseits, sondern gegenwärtig und vollständig ist; dieser Raum ist ein begrenztes, aber darum ein unendliches, »weil die Natur der Sache jede Bestimmtheit übersteigt,« weil die darin enthaltene Größenbestimmung zugleich nicht als ein Quantum darstellbar ist, oder nach obigem Kantischen Ausdruck das Synthesiren nicht zu einem – diskreten – Quantum vollendet werden kann. – Wie überhaupt der Gegensatz von continuirlichem und discretem Quantum auf das Unendliche führt, soll in einer spätern Anmerkung auseinander gesetzt werden. – Jenes Unendliche einer Reihe nennt Spinoza das Unendliche der Imagination; das Unendliche hingegen als Beziehung auf sich selbst, das Unendliche des Denkens oder infinitum actu. Es ist nämlich actu, es ist wirklich unendlich, weil es in sich vollendet und gegenwärtig ist. So ist die Reihe 0,285714 … oder 1 + a + a² + a³ … das Unendliche bloß der Einbildung oder des Meinens; denn es hat keine Wirklichkeit, es fehlt ihm schlechthin etwas; hingegen 2/7 oder 1/1−a ist das wirklich, nicht nur was die Reihe in ihren vorhandenen Gliedern ist, sondern noch das dazu, was ihr mangelt, was sie nur sein soll. Das 2/7 oder 1/1−a ist gleichfalls eine endliche Größe, wie der zwischen den zwei Kreisen eingeschlossene Raum Spinoza’s und dessen Ungleichheiten; und kann wie dieser Raum größer oder kleiner gemacht werden. Aber es kommt damit nicht die Ungereimtheit eines größern oder kleinern Unendlichen heraus; denn dies Quantum des Ganzen, geht das Verhältnis seiner Momente, die Natur der Sache d. h. die qualitative Größenbestimmung, nichts an; das was in der unendlichen Reihe da ist, ist ebenso ein endliches Quantum, aber außerdem noch ein Mangelhaftes. – Die Einbildung dagegen bleibt beim Quantum als solchem stehen, und reflektiert nicht auf die qualitative Beziehung, welche den Grund der vorhandenen Inkommensurabilität ausmacht.

Die Inkommensurabilität, welche in dem Beispiel Spinoza’s liegt, schließt überhaupt die Funktionen krummer Linien in sich, und führt näher auf das Unendliche, das die Mathematik bei solchen Funktionen, überhaupt bei den Funktionen veränderlicher Größen eingeführt hat, und welches das wahrhafte mathematische, quantitative Unendliche ist das auch Spinoza sich dachte. Diese Bestimmung soll nun hier näher erörtert werden.

Was vors erste die für so wichtig geltende Kategorie der Veränderlichkeit betrifft, unter welche die in jenen Funktionen bezogenen Größen gefasst werden, so sollen sie zunächst veränderlich nicht in dem Sinne sein, wie im Bruche 2/7 die beiden Zahlen 2 und 7, indem eben so sehr 4 und 14, 6 und 21 und so fort ins Unendliche andre Zahlen an ihre Stelle gesetzt werden können, ohne den im Bruche gesetzten Wert zu ändern. So kann noch mehr in a/b an die Stelle von a und b jede beliebige Zahl gesetzt werden, ohne das zu ändern was a/b ausdrücken soll. In dem Sinne nur, dass auch an die Stelle von x und y einer Funktion eine unendliche d. h. unerschöpfliche Menge von Zahlen gesetzt werden könne, sind a und b so sehr veränderliche Größe als jene, x und y. Der Ausdruck: veränderliche Größen, ist darum sehr vage, und unglücklich gewählt für Größe-Bestimmungen, die ihr Interesse und Behandlungsart in etwas ganz anderm liegen haben, als in ihrer bloßen Veränderlichkeit.

Um es deutlich zu machen, worin die wahrhafte Bestimmung der Momente einer Funktion liegt, mit denen sich das Interesse der höhern Analysis beschäftigt, müssen wir die bemerklich gemachten Stufen noch einmal durchlaufen. In 2/7 oder a/b sind 2 und 7 jedes für sich, bestimmte Quanta und die Beziehung ist ihnen nicht wesentlich; a und b soll gleichfalls solche Quanta vorstellen, die auch außer dem Verhältnisse bleiben, was sie sind. Ferner ist auch 2/7 und a/b ein fixes Quantum, ein Quotient; das Verhältnis macht eine Anzahl aus, deren Einheit der Nenner, und die Anzahl dieser Einheiten der Zähler – oder umgekehrt ausdrückt; wenn auch 4 und 14 u.s.f. an die Stelle von 2 und 7 treten, bleibt das Verhältnis auch als Quantum dasselbe. Dies verändert sich nun aber wesentlich in der Funktion y²/x = p z. B.; hier haben x und y zwar den Sinn, bestimmte Quanta sein zu können; aber nicht x und y, sondern nur x und y² haben einen bestimmten Quotienten. Dadurch sind diese Seiten des Verhältnisses, x und y, erstens nicht nur keine bestimmten Quanta, sondern zweitens ihr Verhältnis ist nicht ein fixes Quantum, (noch ist dabei ein solches wie bei a und b gemeint), nicht ein fester Quotient, sondern er ist als Quantum schlechthin veränderlich. Dies aber ist allein darin enthalten, dass x nicht zu y ein Verhältnis hat, sondern zum Quadrate von y. Das Verhältnis einer Größe zur Potenz ist nicht ein Quantum, sondern wesentlich qualitatives Verhältnis; das Potenzenverhältnis ist der Umstand, der als Grundbestimmung anzusehen ist. – In der Funktion der geraden Linie y = a x aber, ist y/x = a ein gewöhnlicher Bruch und Quotient; diese Funktion ist daher nur formell eine Funktion von veränderlichen Größen, oder x und y sind hier was a und b in a/b, sie sind nicht in derjenigen Bestimmung, in welcher die Differential- und Integralrechnung sie betrachtet. – Wegen der besondern Natur der veränderlichen Größen in dieser Betrachtungsweise, wäre es zweckmäßig gewesen, für sie sowohl einen besondern Namen, als andere Bezeichnungen einzuführen, als die gewöhnlichen der unbekannten Größen in jeder endlichen, bestimmten oder unbestimmten Gleichung; um ihrer wesentlichen Verschiedenheit willen von solchen bloß unbekannten Größen, die an sich vollkommen bestimmte Quanta, oder ein bestimmter Umfang von bestimmten Quantis sind. – Es ist auch nur der Mangel des Bewusstseins, über die Eigentümlichkeit dessen, was das Interesse der höhern Analysis ausmacht und das Bedürfnis und die Erfindung des Differential-Calculs herbeigeführt hat, dass Funktionen des ersten Grades wie die Gleichung der geraden Linie in die Behandlung dieses Calculs für sich mit hereingenommen werden; seinen Anteil an solchem Formalismus hat ferner der Missverstand, der die an sich richtige Forderung der Verallgemeinerung einer Methode dadurch zu erfüllen meint, dass die spezifische Bestimmtheit, auf die sich das Bedürfnis gründet, weggelassen wird, so dass es dafür gilt, als ob es sich in diesem Felde nur um veränderliche Größen überhaupt handle. Es wäre wohl viel Formalismus in den Betrachtungen dieser Gegenstände wie in der Behandlung erspart worden, wenn man eingesehen hätte, dass derselbe nicht veränderliche Größen als solche, sondern Potenzenbestimmungen betreffe.

Aber es ist noch eine weitere Stufe, auf der das mathematische Unendliche in seiner Eigentümlichkeit hervortritt. In einer Gleichung, worin x und y zunächst als durch ein Potenzenverhältnis bestimmt, gesetzt sind, sollen x und y als solche noch Quanta bedeuten; diese Bedeutung nun geht vollends in den sogenannten unendlich kleinen Differenzen gänzlich verloren. dx, dy sind keine Quanta mehr, noch sollen sie solche bedeuten, sondern haben allein in ihrer Beziehung eine Bedeutung, einen Sinn bloß als Momente. Sie sind nicht mehr Etwas, das Etwas als Quantum genommen, nicht endliche Differenzen; aber auch nicht Nichts, nicht die bestimmungslose Null. Außer ihrem Verhältnisse sind sie reine Nullen, aber sie sollen nur als Momente des Verhältnisses, als Bestimmungen des Differential-Coefficienten dx/dy genommen werden.

In diesem Begriff des Unendlichen ist das Quantum wahrhaft zu einem qualitativen Dasein vollendet; es ist als wirklich unendlich gesetzt; es ist nicht nur als dieses oder jenes Quantum aufgehoben, sondern als Quantum überhaupt. Es bleibt aber die Quantitätsbestimmtheit als Element von Quantis, Prinzip, oder sie wie man auch gesagt hat, in ihrem ersten Begriffe.

Gegen diesen Begriff ist aller Angriff gerichtet, der auf die Grundbestimmung der Mathematik dieses Unendlichen, der Differential- und Integralrechnung, gemacht worden ist. Unrichtige Vorstellungen der Mathematiker selbst veranlaßten es, wenn er nicht anerkannt worden ist; vornehmlich aber ist die Unvermögenheit, den Gegenstand als Begriff zu rechtfertigen, Schuld an diesen Anfechtungen. Den Begriff kann aber die Mathematik, wie oben erinnert worden, hier nicht umgehen; denn als Mathematik des Unendlichen schränkt sie sich nicht auf die endliche Bestimmtheit ihrer Gegenstände ein, – wie in der reinen Mathematik der Raum und die Zahl und deren Bestimmungen nur nach ihrer Endlichkeit betrachtet und auf einander bezogen werden –; sondern sie versetzt eine von daher aufgenommene und von ihr behandelte Bestimmung in Identität mit ihrer entgegengesetzten, wie sie z. B. eine krumme Linie zu einer geraden, den Kreis zu einem Polygon u.s.f. macht. Die Operationen, die sie sich als Differential- und Integralrechnung erlaubt, sind daher der Natur bloß endlicher Bestimmungen und deren Beziehungen gänzlich widersprechend und hätten darum ihre Rechtfertigung allein in dem Begriff.

Wenn die Mathematik des Unendlichen daran festhielt, dass jene Quantitätsbestimmungen verschwindende Größen d. h. solche, die nicht mehr irgend ein Quantum, aber auch nicht Nichts, sondern noch eine Bestimmtheit gegen anderes sind, so schien nichts klarer, als dass es keinen solchen Mittelzustand, wie man es nannte, zwischen Sein und Nichts gebe. – Was es mit diesem Einwurfe und sogenannten Mittelzustande auf sich habe, ist oben bereits bei der Kategorie des Werdens, Anmerk. 4. gezeigt. Allerdings ist die Einheit des Seins und Nichts kein Zustand; ein Zustand wäre eine Bestimmung des Seins und Nichts, worein diese Momente nur etwa zufälligerweise gleichsam als in eine Krankheit oder äußerliche Affektion durch ein irrthümliches Denken geraten sollten; sondern diese Mitte und Einheit, das Verschwinden oder eben so das Werden, ist vielmehr allein ihre Wahrheit.

Was unendlich sei, ist ferner gesagt worden, sei nicht vergleichbar als ein größeres oder kleineres; es könne daher nicht ein Verhältnis von Unendlichen zu Unendlichen, noch Ordnungen oder Dignitäten des Unendlichen geben, als welche Unterschiede der unendlichen Differenzen in der Wissenschaft derselben vorkommen. – Es liegt bei diesem schon erwähnten Einwurfe immer die Vorstellung zu Grunde, dass hier von Quantis die Rede sein solle, die als Quanta verglichen werden; dass Bestimmungen, die keine Quanta mehr sind, kein Verhältnis mehr zu einander haben. Vielmehr ist aber das, was nur im Verhältnis ist, kein Quantum; das Quantum ist eine solche Bestimmung, die außer ihrem Verhältnis ein vollkommen gleichgültiges Dasein haben, der ihr Unterschied von einem andern gleichgültig sein soll, da hingegen das qualitative nur das ist, was es in seinem Unterschiede von einem Andern ist. Jene unendlichen Größen sind daher nicht nur vergleichbar, sondern sind nur als Momente der Vergleichung, des Verhältnisses.

Ich führe die wichtigsten Bestimmungen an, welche in der Mathematik über dies Unendliche gegeben worden sind; es wird daraus erhellen, dass denselben der Gedanke der Sache, übereinstimmend mit dem hier entwickelten Begriffe, zu Grunde liegt, dass ihre Urheber ihn aber als Begriff nicht ergründeten und bei der Anwendung wieder Auskunftsmittel nötig hatten, welche ihrer bessern Sache widersprechen.

Der Gedanke kann nicht richtiger bestimmt werden, als Newton ihn gegeben hat. Ich trenne dabei die Bestimmungen ab, die der Vorstellung der Bewegung und der Geschwindigkeit angehören, (von welcher er vornehmlich den Namen Fluxionen nahm), weil der Gedanke hierin nicht in der gehörigen Abstraktion, sondern konkret, vermischt mit außerwesentlichen Formen erscheint. Diese Fluxionen erklärt Newton (Princ. mathem. phil. nat. L. 1. Lemma XI. Schol.) dahin, dass er nicht unteilbare – eine Form, deren sich frühere Mathematiker, Cavalleri und andere, bedienten, und welche den Begriff eines an sich bestimmten Quantums enthält, – verstehe, sondern verschwindende Teilbare. Ferner nicht Summen und Verhältnisse bestimmter Teile, sondern die Grenzen (limites) der Summen, und Verhältnisse. Es werde die Einwendung gemacht, dass verschwindende Größen kein letztes Verhältnis haben, weil es, ehe sie verschwunden, nicht das Letzte, und wenn sie verschwunden, keines mehr ist. Aber unter dem Verhältnisse verschwindender Größen sei das Verhältnis zu verstehen, nicht ehe sie verschwinden, und nicht nachher, sondern mit dem sie verschwinden (quacum evanescunt). Eben so ist das erste Verhältnis werdender Größen, das mit dem sie werden.

Nach dem damaligen Stande der wissenschaftlichen Methode wurde nur erklärt, was unter einem Ausdrucke zu verstehen sei; dass aber dies oder jenes darunter zu verstehen sei, ist eigentlich eine subjektive Zumutung oder auch eine historische Forderung, wobei nicht gezeigt wird, dass ein solcher Begriff an und für sich notwendig ist und innere Wahrheit hat. Allein das Angeführte zeigt, dass der von Newton aufgestellte Begriff dem entspricht, wie die unendliche Größe sich in der obigen Darstellung aus der Reflexion des Quantums in sich ergab. Es sind Größen verstanden, in ihrem Verschwinden, d. h. die nicht mehr Quanta sind; ferner nicht Verhältnisse bestimmter Teile, sondern die Grenzen des Verhältnisses. Es sollen also sowohl die Quanta für sich, die Seiten des Verhältnisses, als damit auch das Verhältnis, insofern es ein Quantum wäre, verschwinden; die Grenze des Größen-Verhältnisses ist, worin es ist und nicht ist; dies heißt genauer, worin das Quantum verschwunden, und damit das Verhältnis nur als qualitatives Quantitäts-Verhältnis, und die Seiten desselben ebenso als qualitative Quantitäts-Momente erhalten sind. – Newton fügt hinzu, dass daraus, dass es letzte Verhältnisse der verschwindenden Größen gebe, nicht zu schließen sei, dass es letzte Größen, Unteilbare, gebe. Dies wäre nämlich wieder ein Absprung von dem abstrakten Verhältnisse auf solche Seiten desselben, welche für sich außer ihrer Beziehung einen Wert haben sollten, als Unteilbare, als etwas, das ein Eins, ein Verhältnisloses sein würde.

Gegen jenen Missverstand erinnert er noch, dass die letzten Verhältnisse nicht Verhältnisse letzter Größen seien, sondern Grenzen, denen die Verhältnisse der ohne Grenze abnehmenden Größen näher sind als jeder gegebene d. h. endliche Unterschied, welche Grenze sie aber nicht überschreiten, so dass sie Nichts würden. – Unter letzten Größen hätten nämlich, wie gesagt, Unteilbare oder Eins verstanden werden können. In der Bestimmung des letzten Verhältnisses aber ist sowohl die Vorstellung des gleichgültigen Eins, des verhältnislosen, als auch des endlichen Quantums entfernt. Es bedürfte aber weder des Abnehmens ohne Grenze, in das Newton das Quantum versetzt und das nur den Progreß ins Unendliche ausdrückt, noch der Bestimmung der Teilbarkeit, welche hier keine unmittelbare Bedeutung mehr hat, wenn die gefoderte Bestimmung sich zum Begriffe einer Größebestimmung, die rein nur Moment des Verhältnisses ist, fortgebildet hätte.

In Rücksicht der Erhaltung des Verhältnisses im Verschwinden der Quantorum findet sich (anderwärts, wie bei Carnot, Reflexions sur la Métaphysique du Calcul Infinitésimal.) der Ausdruck, dass vermöge des Gesetzes der Stetigkeit die verschwindenden Größen noch das Verhältnis, aus dem sie herkommen, ehe sie verschwinden, behalten. – Diese Vorstellung drückt die wahre Natur der Sache aus, insofern nicht die Stetigkeit des Quantums verstanden wird, die es im unendlichen Progreß hat, sich in sein Verschwinden so zu kontinuieren, dass im Jenseits seiner wieder nur ein endliches Quantum, ein neues Glied der Reihe entsteht; ein stetiger Fortgang wird aber immer so vorgestellt, dass die Werte durchlaufen werden, welche noch endliche Quanta sind. In demjenigen Übergange dagegen, welcher in das wahrhafte Unendliche gemacht wird, ist das Verhältnis das stetige; es ist so sehr stetig und sich erhaltend, dass er vielmehr allein darin besteht, das Verhältnis rein herauszuheben, und die verhältnislose Bestimmung, d. i. dass ein Quantum, welches Seite des Verhältnisses ist, auch außer dieser Beziehung gesetzt, noch Quantum ist, verschwinden zu machen. – Diese Reinigung des quantitativen Verhältnisses ist insofern nichts anders, als wenn ein empirisches Dasein begriffen wird. Dies wird hierdurch so über sich selbst erhoben, dass sein Begriff dieselben Bestimmungen enthält, als es selbst, aber in ihrer Wesentlichkeit und in die Einheit des Begriffes gefasst, worin sie ihr gleichgültiges, begriffloses Bestehen verloren haben.

Gleich interessant ist die andere Form der Newtonischen Darstellung der in Rede stehenden Größen, nämlich als erzeugender Größen oder Prinzipien. Eine erzeugte Größe (genita) ist ein Produkt oder Quotient, Wurzeln, Rechtecke, Quadrate, auch Seiten von Rechtecken, Quadraten; – überhaupt eine endliche Größe. – »Sie als veränderlich betrachtet, wie sie in fortdauernder Bewegung und Fließen zu- oder abnehmend ist, so verstehe er ihre momentanen Incremente oder Decremente unter dem Namen von Momenten. Diese sollen aber nicht für Teilchen von bestimmter Größe genommen werden (particulae finitae). Solche seien nicht selbst Momente, sondern aus Momenten erzeugte Größen; es seien vielmehr die werdenden Prinzipien oder Anfänge endlicher Größen zu verstehen.« – Das Quantum wird hier von sich selbst unterschieden, wie es als ein Produkt oder Daseiendes, und wie es in seinem Werden, in seinem Anfange und Prinzip, das heißt, wie es in seinem Begriffe, oder was hier dasselbe ist, in seiner qualitativen Bestimmung ist; in der letztern sind die quantitativen Unterschiede, die unendlichen Incremente oder Decremente, nur Momente; erst das Gewordene ist das in die Gleichgültigkeit des Daseins und in die Äußerlichkeit übergegangene, das Quantum. – Wenn aber diese in Ansehung der Incremente oder Decremente angeführten Bestimmungen des Unendlichen, von der Philosophie des wahrhaften Begriffs anerkannt werden müssen, so ist auch sogleich zu bemerken, dass die Formen selbst von Inkrementen u.s.f. innerhalb der Kategorie des unmittelbaren Quantums und des erwähnten stetigen Fortgangs fallen, und vielmehr sind die Vorstellungen von Inkrement, Zuwachs, Zunahme des x um dx oder i u.s.f. als das in den Methoden vorhandene Grundübel anzusehen; – als das bleibende Hindernis, aus der Vorstellung des gewöhnlichen Quantums die Bestimmung des qualitativen Quantitätsmoments rein herauszuheben.

Gegen die angegebenen Bestimmungen steht die Vorstellung von unendlich-kleinen Größen, die auch im Inkrement oder Decrement selbst steckt, weit zurück. Nach derselben sollen sie von der Beschaffenheit sein, dass nicht nur sie gegen endliche Größen, sondern auch deren höhere Ordnungen gegen die niedrigere, oder auch die Produkte aus mehrern gegen eine einzelne zu vernachlässigen sein. – Bei Leibnitz hebt sich die Forderung dieser Vernachlässigung, welche die vorhergehenden Erfinder von Methoden, die sich auf diese Größe bezogen, gleichfalls eintreten lassen, auffallender hervor. Sie ist es vornehmlich, die diesem Calcul beim Gewinne der Bequemlichkeit den Schein von Ungenauigkeit und ausdrücklicher Unrichtigkeit in dem Wege seiner Operation gibt. – Wolf hat sie in seiner Weise, die Sachen populär zu machen, d. h. den Begriff zu verunreinigen und unrichtige sinnliche Vorstellungen an dessen Stelle zu setzen, verständlich zu machen gesucht. Er vergleicht nämlich die Vernachlässigung der unendlichen Differenzen höherer Ordnungen gegen niedrigere, mit dem Verfahren eines Geometers, der bei der Messung der Höhe eines Berges um nicht weniger genau gewesen sei, wenn der Wind indes ein Sandkörnchen von der Spitze weggeweht habe, oder mit der Vernachlässigung der Höhen der Häuser, Thürme bei der Berechnung der Mondfinsterniße (Element. Mathes. univ. Tom. I. El. Analys. math. P. II. C. I. s. Schol.).

Wenn die Billigkeit des gemeinen Menschenverstandes eine solche Ungenauigkeit erlaubt, so haben dagegen alle Geometer diese Vorstellung verworfen. Es dringt sich von selbst auf, dass in der Wissenschaft der Mathematik von einer solchen empirischen Genauigkeit ganz und gar nicht die Rede ist, dass das mathematische Messen durch Operationen des Calculs oder durch Konstruktionen und Beweise der Geometrie, gänzlich vom Feldmessen, vom Messen empirischer Linien, Figuren u.s.f. unterschieden ist. Ohnehin zeigen, wie oben angeführt, die Analytiker durch die Vergleichung des Resultats, wie es auf streng geometrischem Wege und wie es nach der Methode der unendlichen Differenzen erhalten wird, dass das eine dasselbe ist als das andere, und dass ein Mehr oder Weniger von Genauigkeit ganz und gar nicht Statt findet. Und es versteht sich von selbst, dass ein absolut genaues Resultat nicht aus einem Verfahren herkommen könne, das ungenau wäre. Jedoch kann wieder auf der andern Seite das Verfahren selbst, jener Vernachlässigung aus dem Grunde der Unbedeutenheit, des Protestirens gegen die angeführte Rechtfertigungsweise unerachtet, nicht entbehren. Und dies ist die Schwierigkeit, um welche die Bemühungen der Analytiker gehen, das hierin liegende Widersinnige begreiflich zu machen, und es zu entfernen.

Es ist in dieser Rücksicht vornehmlich Eulers Vorstellung anzuführen. Indem er die allgemeine Newtonische Definition zu Grunde legt, dringt er darauf, dass die Differentialrechnung die Verhältnisse der Incremente einer Größe betrachte, dass aber die unendliche Differenz als solche ganz als Null zu betrachten sei, (Institut. Calc. different. P. I. C. III.). – Wie dies zu verstehen ist, liegt im Vorhergehenden; die unendliche Differenz ist Null nur des Quantums, nicht eine qualitative Null, sondern als Null des Quantums vielmehr reines Moment nur des Verhältnisses. Sie ist nicht ein Unterschied um eine Größe; aber darum ist es einerseits überhaupt schief, jene Momente, welche unendlich-kleine Größen heißen, auch als Incremente oder Decremente, und als Differenzen auszusprechen. Dieser Bestimmung liegt zu Grunde, dass zu der zuerst vorhandenen endlichen Größe etwas hinzukomme oder davon abgezogen werde, eine Subtraktion oder Addition, eine arithmetische, äußerliche Operation vorgehe. Der Übergang von der Funktion der veränderlichen Größe in ihr Differential ist aber anzusehen, dass er von ganz anderer Natur ist, nämlich wie erörtert worden, dass er als Zurückführung der endlichen Funktion auf das qualitative Verhältnis ihrer Quantitätsbestimmungen zu betrachten ist. – Andererseits fällt die schiefe Seite für sich auf, wenn gesagt wird, dass die Incremente für sich Nullen seien, dass nur ihre Verhältnisse betrachtet werden; denn eine Null hat überhaupt keine Bestimmtheit mehr. Diese Vorstellung kommt also zwar bis zum Negativen des Quantums und spricht es bestimmt aus, aber fasst dies Negative nicht zugleich in seiner positiven Bedeutung, von qualitativen Quantitätsbestimmungen, die, wenn sie aus dem Verhältnisse gerissen und als Quanta genommen werden wollten, nur Nullen wären. – Lagrange (Théorie des fonct. analyt. Introd.) urteilt über die Vorstellung der Grenzen oder letzten Verhältnisse, dass wenn man gleich sehr gut das Verhältnis zweier Größen sich vorstellen könne, so lange sie endlich bleiben, so gebe dies Verhältnis dem Verstande keinen deutlichen und bestimmten Begriff, sobald seine Glieder zugleich Null werden. – In der Tat muss der Verstand über diese bloß negative Seite, dass die Verhältnisglieder Nullen als Quanta sind, hinausgehen, und sie positiv, als qualitative Momente auffassen. – Was aber Euler (am angeführten Ort §. 84. ff.) weiter in Betreff der gegebenen Bestimmung hinzufügt, um zu zeigen, dass zwei sogenannte unendlich kleine Größen, welche nichts anders als Nullen sein sollen, doch ein Verhältnis zu einander haben und deswegen auch nicht das Zeichen der Null, sondern andere Zeichen für sie im Gebrauch seien, kann nicht für genügend angesehen werden. Er will dies durch den Unterschied des arithmetischen und geometrischen Verhältnisses begründen; bei jenem sehen wir auf die Differenz, bei diesem auf den Quotienten, obgleich das erstere zwischen zwei Nullen gleich sei, so sei es deswegen doch das geometrische nicht; wenn 2 : 1 = 0 : 0, so müsse wegen der Natur der Proportion, da das erste Glied doppelt so groß sei als das zweite, auch das dritte Glied doppelt so groß als das vierte sein; 0 : 0 soll also nach der Proportion als das Verhältnis von 2 : 1 genommen werden. – Auch nach der gemeinen Arithmetik sein n · 0 = 0; es sei also n : 1 = 0 : 0. – Allein ebendadurch, dass 2 : 1 oder n : 1 ein Verhältnis von Quantis ist, entspricht ihm nicht ein Verhältnis noch eine Bezeichnung von 0 : 0.

Ich enthalte mich, die Anführungen zu vermehren, indem die betrachteten zur Genüge gezeigt haben, dass in ihnen wohl der wahrhafte Begriff des Unendlichen liegt, dass er aber nicht in seiner Bestimmtheit herausgehoben und gefasst worden ist. Indem daher zur Operation selbst fortgegangen wird, so kann es nicht geschehen, dass in ihr die wahrhafte Begriffsbestimmung sich geltend mache; die endliche Quantitätsbestimmtheit kehrt vielmehr zurück und die Operation kann der Vorstellung eines bloß relativ-kleinen nicht entbehren. Der Calcul macht es notwendig, die sogenannten unendlichen Größen den gewöhnlichen arithmetischen Operationen des Addierens u.s.f., welche sich auf die Natur endlicher Größen gründen, zu unterwerfen, und sie somit als endliche Größen für einen Augenblick gelten zu lassen und als solche zu behandeln. Der Calcul hätte sich darüber zu rechtfertigen, dass er sie das einemal in diese Sphäre herabzieht und sie als Incremente oder Differenzen behandelt, und dass er auf der andern Seite sie als Quanta vernachlässigt, nachdem er so eben Formen und Gesetze der endlichen Größen auf sie angewendet hatte.

Über die Versuche der Geometer, diese Schwierigkeiten zu beseitigen, führe ich noch das Hauptsächlichste an.

Die ältern Analytiker machten sich hierüber weniger Skrupel; aber die Bemühungen der Neuern gingen vornehmlich dahin, den Calcul des Unendlichen zur Evidenz der eigentlich geometrischen Methode zurückzubringen und in ihr die Strenge der Beweise der Alten (– Ausdrücke von Lagrange –) in der Mathematik zu erreichen. Allein da das Prinzip der Analysis des Unendlichen höherer Natur, als das Prinzip der Mathematik endlicher Größen ist, so musste jene von selbst sogleich auf jene Art von Evidenz Verzicht tun, wie die Philosophie auch auf diejenige Deutlichkeit keinen Anspruch machen kann, die die Wissenschaften des Sinnlichen, z. B. Naturgeschichte hat, und wie Essen und Trinken für ein verständlicheres Geschäfte gilt, als Denken und Begreifen. Es wird sich demnach nur um die Bemühung handeln, die Strenge der Beweise der Alten zu erreichen.

Mehrere haben versucht, den Begriff des Unendlichen ganz zu entbehren, und ohne ihn das zu leisten, was an den Gebrauch desselben gebunden schien. – Lagrange spricht z. B. von der Methode, die Landen erfunden hat, und sagt von ihr, dass sie rein analytisch sei und die unendlich kleinen Differenzen nicht gebrauche, sondern zuerst verschiedene Werte der veränderlichen Größen einführe, und sie in der Folge gleichsetze. Er urteilt übrigens, dass darin die der Differentialrechnung eignen Vorzüge, Einfachheit der Methode und Leichtigkeit der Operationen verloren gehe. – Es ist dies wohl ein Verfahren, das mit demjenigen etwas Entsprechendes hat, von welchem Descartes Tangentenmethode ausgeht, die weiterhin noch näher zu erwähnen ist. Soviel, kann hier bemerkt werden, erhellt sogleich im Allgemeinen, dass das Verfahren überhaupt, verschiedene Werte der veränderlichen Größen anzunehmen, und sie nachher gleichzusetzen, einem andern Kreise mathematischer Behandlung angehört, als die Methode des Differential-Calculs selbst und die späterhin näher zu erörternde Eigentümlichkeit des einfachen Verhältnisses, auf welches sich die wirkliche konkrete Bestimmung desselben zurückführt, nämlich der abgeleiteten Funktion zu der ursprünglichen, nicht herausgehoben wird.

Die Eltern unter den Neuern, wie z. B. Fermat, Barrow und andre, die sich zuerst des Unendlich-kleinen in derjenigen Anwendung bedienten, welche später zur Differential- und Integralrechnung ausgebildet wurde, und dann auch Leibnitz und die Folgenden, auch Euler, haben immer unverhohlen, die Produkte von unendlichen Differenzen, so wie ihre höhern Potenzen nur aus dem Grunde weglassen zu dürfen geglaubt, weil sie relativ gegen die niedrige Ordnung verschwinden. Hierauf beruht bei ihnen allein der Fundamentalsatz, nämlich die Bestimmung dessen, was das Differential eines Produkts oder einer Potenz sei, denn hierauf reduziert sich die ganze theoretische Lehre. Das Übrige ist teils Mechanismus der Entwicklung, teils aber Anwendung, in welche jedoch, was weiterhin zu betrachten ist, in der Tat auch das höhere oder vielmehr einzige Interesse fällt. – In Rücksicht auf das Gegenwärtige ist hier nur das Elementarische anzuführen, dass aus dem gleichen Grunde der Unbedeutenheit als der Hauptsatz, die Kurven betreffend, angenommen wird, dass die Elemente der Kurven, nämlich die Incremente der Abszisse und der Ordinate, das Verhältnis der Subtangente und der Ordinate zu einander haben; für die Absicht, ähnliche Dreiecke zu erhalten, wird der Bogen, der die dritte Seite eines Dreiecks zu den beiden Inkrementen, des mit Recht vormals sogenannten charakteristischen Dreiecks, ausmacht, als eine gerade Linie, als Teil der Tangente, und damit das eine der Incremente bis an die Tangente reichend angesehen. Diese Annahmen erheben jene Bestimmungen einerseits über die Natur endlicher Größen; andererseits aber wird ein Verfahren auf die nun unendlich genannten Momente angewendet, das nur von endlichen Größen gilt, und bei dem nichts aus Rücksicht der Unbedeutenheit vernachlässigt werden darf. Die Schwierigkeit, von der die Methode gedrückt wird, bleibt bei solcher Verfahrungsweise in ihrer ganzen Stärke.

Es ist hier eine merkwürdige Procedur Newtons anzuführen; (Princ. Math. phil. nat. Lib. II. Lemma II. Propos. VII.) – die Erfindung eines sinnreichen Kunststücks, um das arithmetisch unrichtige Weglassen der Produkte unendlicher Differenzen oder höherer Ordnungen derselben bei dem Finden der Differentialien, zu beseitigen. Er findet das Differential des Produkts, – woraus sich dann die Differentialien der Quotienten, Potenzen u.s.f. leicht herleiten, – auf folgende Art. Das Produkt, wenn x, y, jedes um die Hälfte seiner unendlichen Differenz kleiner genommen wird, geht über in xy – xdy/2 – ydx/2 + dxdy/4; aber wenn man x und y um eben so viel zunehmen lässt, in xy + xdy/2 + ydx/2 + dxdy/4. Von diesem zweiten Produkt nun das erste abgezogen, bleibt ydx + xdy als Ueberschuß, und dies sei der Ueberschuß des Wachstums um ein ganzes dx und dy, denn um dieses Wachstum sind beide Produkte unterschieden; es ist also das Differential von xy. – Man sieht in diesem Verfahren fällt das Glied, welches die Hauptschwierigkeit ausmacht, das Produkt der beiden unendlichen Differenzen, dxdy, durch sich selbst hinweg. Aber des Newtonischen Namens unerachtet muss es gesagt werden dürfen, dass solche, obgleich sehr elementarische Operation, unrichtig ist; es ist unrichtig, dass (x + dx/2) (y + dy/2) – (x – dx/2) (y – dy/2) = (x + dx) (y + dy) – xy. Es kann nur das Bedürfnis sein, den Fluxionen-Calcul bei seiner Wichtigkeit zu begründen, was einen Newton dahin bringen konnte, die Täuschung solchen Beweisens sich zu machen.

Andere Formen, die Newton bei der Ableitung des Differentials gebraucht, sind an konkrete auf Bewegung sich beziehende Bedeutungen der Elemente und deren Potenzen gebunden. – Beim Gebrauche der Reihenform, der sonst seine Methode auszeichnet, liegt es zu nahe zu sagen, dass man es immer in seiner Macht habe, durch das Hinzufügen weiterer Glieder die Größe so genau zu nehmen, als man nötig habe, und dass die weggelassenen relativ unbedeutend, überhaupt das Resultat nur eine Näherung sei, als dass er nicht auch hier mit diesem Grunde sich begnügt hätte, wie er bei seiner Methode der Auflösung der Gleichungen höherer Grade durch Näherung die höhern Potenzen, die bei der Substitution jedes gefundenen noch ungenauen Wertes in die gegebene Gleichung entstehen, aus dem rohen Grunde ihrer Kleinigkeit weglässt; s. Lagrange Equations Numériques p. 125.

Der Fehler, in welchen Newton bei der Auflösung eines Problems durch das Weglassen wesentlicher höherer Potenzen verfiel, der seinen Gegnern die Gelegenheit eines Triumphs ihrer Methode über die seinige gab, und von welchem Lagrange in seiner neuerlichen Untersuchung desselben (Théorie des fonct. analyt. 3me P. Ch. IV.) den wahren Ursprung aufgezeigt hat, beweist das Formelle und die Unsicherheit, die im Gebrauche jenes Instruments noch vorhanden war. Lagrange zeigt, dass Newton dadurch in den Fehler fiel, weil er das Glied der Reihe vernachlässigte, das die Potenz enthielt, auf welche es in der bestimmten Aufgabe ankam. Newton hatte sich an jenes formelle oberflächliche Prinzip, Glieder wegen ihrer relativen Kleinheit wegzulassen, gehalten. – Es ist nämlich bekannt, dass in der Mechanik den Gliedern der Reihe, in der die Funktion einer Bewegung entwickelt wird, eine bestimmte Bedeutung gegeben wird, so dass sich das erste Glied oder die erste Funktion auf das Moment der Geschwindigkeit, die zweite auf die beschleunigende Kraft, und die dritte auf den Widerstand von Kräften beziehe. Die Glieder der Reihe sind hiermit hier nicht nur als Teile einer Summe anzusehen, sondern als qualitative Momente eines Ganzen des Begriffs. Hierdurch erhält das Weglassen der übrigen Glieder, die der schlechtunendlichen Reihe angehören, eine gänzlich verschiedene Bedeutung, von dem Weglassen aus dem Grunde der relativen Kleinheit derselben.¹⁰ Die Newtonsche Auflösung enthielt jenen Fehler, nicht weil in ihr Glieder der Reihe, nur als Teile einer Summe, sondern weil das Glied, das die qualitative Bestimmung, auf die es ankam, enthält, nicht berücksichtigt wurde.

In diesem Beispiele ist der qualitative Sinn dasjenige, wovon das Verfahren abhängig gemacht ist. Im Zusammenhange hiermit kann sogleich die allgemeine Behauptung aufgestellt werden, dass die ganze Schwierigkeit des Prinzips beseitigt sein würde, wenn statt des Formalismus, die Bestimmung des Differentials nur in die ihm den Namen gebende Aufgabe, den Unterschied überhaupt einer Funktion von ihrer Veränderung [anzugeben], nachdem ihre veränderliche Größe einen Zuwachs erhalten, zu stellen, die qualitative Bedeutung des Prinzips angegeben, und die Operation hiervon abhängig gemacht wäre. In diesem Sinne zeigt sich das Differential von xⁿ, durch das erste Glied der Reihe, die durch die Entwicklung von (x + dx)ⁿ sich ergibt, gänzlich erschöpft. Dass die übrigen Glieder nicht berücksichtigt werden, kommt so nicht von ihrer relativen Kleinheit her; – es wird dabei nicht eine Ungenauigkeit, ein Fehler oder Irrtum vorausgesetzt, der durch einen andern Irrtum ausgeglichen und verbessert würde; eine Ansicht, von welcher aus Carnot vornehmlich die gewöhnliche Methode der Infinitesimalrechnung rechtfertigt. Indem es sich nicht um eine Summe, sondern um ein Verhältnis handelt, so ist das Differential vollkommen durch das erste Glied gefunden; und wo es fernerer Glieder, der Differentiale höherer Ordnungen bedarf, so liegt in ihrer Bestimmung nicht die Fortsetzung einer Reihe als Summe, sondern die Wiederholung eines und desselben Verhältnisses, das man allein will, und das somit im ersten Glied bereits vollkommen bestimmt ist. Das Bedürfnis der Form einer Reihe des Summirens derselben und was damit zusammenhängt, muss dann ganz von jenem Interesse des Verhältnisses getrennt werden.

Die Erläuterungen, welche Carnot über die Methode der unendlichen Größen gibt, enthalten das geläutertste und aufs klarste exponiert, was in den oben angeführten Vorstellungen vorkam. Aber bei dem Übergange zur Operation selbst treten mehr oder weniger die gewöhnlichen Vorstellungen, von der unendlichen Kleinheit der weggelassenen Glieder gegen die andern ein. Er rechtfertigt die Methode vielmehr durch die Tatsache, dass die Resultate richtig werden, und durch den Nutzen, den die Einführung unvollkommner Gleichungen, wie er sie nennt, d. h. solcher, in denen eine solche arithmetisch unrichtige Weglassung geschehen ist, für die Vereinfachung und Abkürzung des Calculs habe, als durch die Natur der Sache selbst.

Lagrange hat bekanntlich die ursprüngliche Methode Newtons, die Methode der Reihen, wieder aufgenommen, um der Schwierigkeiten, welche die Vorstellung des Unendlich-kleinen, so wie derjenigen, welche die Methode der ersten und letzten Verhältnisse und Grenzen mit sich führt, überhoben zu sein. Es ist von seinem Funktionen-Calcul, dessen sonstige Vorzüge in Rücksicht auf Präzision, Abstraktion und Allgemeinheit anerkannt genug sind, als hierher gehörig nur dies anzuführen, dass er auf dem Fundamentalsatze beruht, dass die Differenz, ohne dass sie Null werde, so klein angenommen werden könne, dass jedes Glied der Reihe die Summe aller folgenden an Größe übertreffe. – Es wird auch in dieser Methode von den Kategorien vom Zuwachs und von der Differenz der Funktion angefangen, deren veränderliche Größe den Zuwachs erhalte, womit die lästige Reihe hereinkommt, von der ursprünglichen Funktion; so wie im Verfolg die wegzulassenden Glieder der Reihe nur in der Rücksicht, dass sie eine Summe konstituieren, in Betracht kommen, und der Grund, sie wegzulassen, in das Relative ihres Quantums gesetzt wird. Die Weglassung ist also hier auch nicht für das Allgemeine auf den Gesichtspunct zurückgeführt, der teils in einigen Anwendungen vorkommt, worin, wie vorhin erinnert, die Glieder der Reihe eine bestimmte qualitative Bedeutung haben sollen und Glieder außer Acht gelassen werden, nicht darum weil sie unbedeutend an Größe sind, sondern weil sie unbedeutend der Qualität nach sind; teils aber fällt dann die Weglassung selbst in dem wesentlichen Gesichtspunkte hinweg, der sich für den sogenannten Differential-Coefficienten erst in der sogenannten Anwendung des Calculs bei Lagrange bestimmt heraushebt, was in der folg. Anmerkung ausführlicher auseinandergesetzt werden wird.

Der qualitative Charakter überhaupt, der hier an der in Rede stehenden Größenform in demjenigen, was dabei das Unendlichkleine genannt wird, nachgewiesen worden ist, findet sich am unmittelbarsten in der Kategorie der Grenze des Verhältnisses, die oben angeführt worden, und deren Durchführung im Calcul zu einer eigentümlichen Methode gestempelt worden ist. Was Lagrange von dieser Methode urteilt, dass sie der Leichtigkeit in der Anwendung entbehre, und der Ausdruck Grenze keine bestimmte Idee darbiete, davon wollen wir das Zweite hier aufnehmen, und näher sehen, was über ihre analytische Bedeutung aufgestellt wird. In der Vorstellung der Grenze liegt nämlich wohl die angegebene wahrhafte Kategorie der qualitativen Verhältnisbestimmung der veränderlichen Größen, denn die Formen, die von ihnen eintreten, dx und dy, sollen schlechthin nur als Momente von dy/dx genommen, und dx/dy selbst als ein einziges unteilbares Zeichen angesehen werden. Dass hiermit für den Mechanismus des Calculs besonders in seiner Anwendung der Vorteil verloren geht, den er davon zieht, dass die Seiten des Differential-Coefficienten von einander abgesondert werden, ist hier bei Seite zu setzen. Jene Grenze soll nun Grenze von einer gegebenen Funktion sein; – sie soll einen gewissen Wert in Beziehung auf dieselbe angeben, der sich durch die Weise der Ableitung bestimmt. Mit der bloßen Kategorie der Grenze aber wären wir nicht weiter, als mit dem, um das es in dieser Anm. zu tun gewesen ist, nämlich aufzuzeigen, dass das Unendlichkleine, das in der Differentialrechnung als dx und dy vorkommt, nicht bloß den negativen, leeren Sinn einer nicht endlichen, nicht gegebenen Größe habe, wie wenn man sagt, eine unendliche Menge, ins unendliche fort und dergleichen, sondern den bestimmten Sinn der qualitativen Bestimmtheit des Quantitativen, eines Verhältnismoments als eines solchen. Diese Kategorie hat jedoch so noch kein Verhältnis zu dem, was eine gegebene Funktion ist, und greift für sich nicht in die Behandlung einer solchen und in einen Gebrauch, der an ihr von jener Bestimmung zu machen wäre, ein; so würde auch die Vorstellung der Grenze, zurückgehalten in dieser von ihr nachgewiesenen Bestimmtheit, zu nichts führen. Aber der Ausdruck Grenze enthält es schon selbst, dass sie Grenze von Etwas sei, d. h. einen gewissen Wert ausdrücke, der in der Funktion veränderlicher Größe liegt; und es ist zu sehen, wie dies konkrete Benehmen mit ihr beschaffen ist. – Sie soll die Grenze des Verhältnisses sein, welches die zwei Incremente zu einander haben, um welche die zwei veränderlichen Größen, die in einer Gleichung verbunden sind, deren die eine als eine Funktion der andern angesehen wird, als zunehmend angenommen worden; – der Zuwachs wird hier unbestimmt überhaupt genommen und insofern von dem Unendlichkleinen kein Gebrauch gemacht. Aber zunächst führt der Weg, diese Grenze zu finden, dieselben Inconsequenzen herbei, die in den übrigen Methoden liegen. Dieser Weg ist nämlich folgender. Wenn y = fx, soll fx, wenn y in y + k übergeht, sich in fx + ph + qh² + rh³ u.s.f. verändern, hiermit ist k = ph + qh² u.s.f. und k/h = p + qh + rh² u.s.f. Wenn nun k und h verschwinden, so verschwindet das zweite Glied außer p, welches p nun die Grenze des Verhältnisses der beiden Zuwächse sei. Man sieht, dass h als Quantum = 0 gesetzt wird, aber dass darum k/h nicht zugleich = o/o sein, sondern noch ein Verhältnis bleiben soll. Den Vorteil, die Inkonsequenz, die hierin liegt, abzulehnen, soll nun die Vorstellung der Grenze gewähren; p soll zugleich nicht das wirkliche Verhältnis, das = o/o wäre, sondern nur der bestimmte Wert sein, dem sich das Verhältnis unendlich d. i. so nähern könne, dass der Unterschied kleiner als jeder gegebene werden könne. Der bestimmtere Sinn der Näherung in Rücksicht dessen, was sich eigentlich einander nähern soll, wird unten betrachtet werden. – Dass aber ein quantitativer Unterschied, der die Bestimmung hat, kleiner als jeder gegebene sein zu können nicht nur, sondern sein zu sollen, kein quantitativer Unterschied mehr ist, dies ist für sich klar, so evident als irgend etwas in der Mathematik evident sein kann; damit aber ist über dy/dx = o/o nicht hinausgekommen worden. Wenn dagegen dy/dx = p, d. i. als ein bestimmtes quantitatives Verhältnis, angenommen wird, wie dies in der Tat der Fall ist, so kommt umgekehrt die Voraussetzung, welche h = 0 gesetzt hat, in Verlegenheit, eine Voraussetzung, durch welche allein k/h = p gefunden wird. Giebt man aber zu, dass k/h = 0 ist, und mit h = 0 wird in der Tat von selbst auch k = 0; denn der Zuwachs k zu y findet nur unter der Bedingung statt, dass der Zuwachs h ist; so wäre zu sagen, was denn p sein solle, welches ein ganz bestimmter quantitativer Wert ist. Hierauf gibt sich sogleich die einfache, trockne Antwort von selbst, dass es ein Coefficient ist und aus welcher Ableitung er entsteht, – die auf gewisse bestimmte Weise abgeleitete erste Funktion einer ursprünglichen Funktion. Begnügte man sich damit, wie denn in der Tat Lagrange sich der Sache nach damit begnügt hat, so wäre der allgemeine Teil der Wissenschaft des Differential-Calculs und unmittelbar diese seine Form selbst, welche die Theorie der Grenzen heißt, von den Zuwächsen, dann deren unendlicher oder beliebiger Kleinheit, von der Schwierigkeit, außer dem ersten Gliede oder vielmehr nur dem Coefficienten des ersten Gliedes die weitern Glieder einer Reihe, als welche durch die Einführung jener Zuwächse unabwendbar sich einfinden, wieder wegzubringen, befreit; außerdem aber auch von dem weitern, was damit zusammenhängt, von den formellen Kategorien vor allem des Unendlichen, der unendlichen Annäherung, und der weitern hier ebenso leeren Kategorien von kontinuierlicher Größe¹¹ und welche man sonst, wie Bestreben, Werden, Gelegenheit einer Veränderung für nötig erachtet, gereinigt. Aber dann würde gefordert zu zeigen, was denn p, außer der, für die Theorie ganz genügenden trocknen Bestimmung, dass es weiter nichts als eine aus der Entwicklung eines Binomiums abgeleitete Funktion ist, noch für eine Bedeutung und Wert, d. i. welchen Zusammenhang und Gebrauch für weiteres mathematisches Bedürfnis habe; hiervon soll die zweite Anmerkung handeln. – Es folgt aber zunächst hier noch die Auseinandersetzung der Verwirrung, welche durch den angeführten, in den Darstellungen so geläufigen Gebrauch der Vorstellung von Annäherung in das Auffassen der eigentlichen, qualitativen Bestimmtheit des Verhältnisses, um das es zunächst zu tun war, gebracht worden ist.

Es ist gezeigt worden, dass die sogenannten unendlichen Differenzen das Verschwinden der Seiten des Verhältnisses als Quantorum ausdrücken, und dass das, was übrig bleibt, ihr Quantitätsverhältnis ist, rein insofern es auf qualitative Weise bestimmt ist; das qualitative Verhältnis geht hierin so wenig verloren, dass es vielmehr dasjenige ist, was eben durch die Verwandlung endlicher Größen in unendliche resultiert. Hierin besteht, wie wir gesehen, die ganze Natur der Sache. – So verschwinden im letzten Verhältnisse z. B. die Quanta der Abszisse und Ordinate; aber die Seiten dieses Verhältnisses bleiben wesentlich die eine, Element [der] Ordinate, die andere Element der Abszisse. Indem die Vorstellungsweise gebraucht wird, dass man die eine Ordinate sich der andern unendlich nähern lässt, so geht die vorher unterschiedene Ordinate in die andre Ordinate, und die vorher unterschiedene Abszisse in die andre Abszisse über; aber wesentlich geht nicht die Ordinate in die Abszisse, oder die Abszisse in die Ordinate über. Das Element der Ordinate, – um bei diesem Beispiele von veränderlichen Größen stehen zu bleiben, ist nicht als der Unterschied einer Ordinate von einer andern Ordinate zu nehmen, sondern ist vielmehr als der Unterschied oder die qualitative Größenbestimmung gegen das Element der Abszisse; das Prinzip der einen veränderlichen Größe gegen das der andern steht im Verhältnisse miteinander. Der Unterschied, indem er nicht mehr Unterschied endlicher Größen ist, hat aufgehört, ein Vielfaches innerhalb seiner selbst zu sein; er ist in die einfache Intensität zusammengesunken, in die Bestimmtheit eines qualitativen Verhältnismoments gegen das andere.

Diese Beschaffenheit der Sache wird aber dadurch verdunkelt, dass das, was so eben Element z. B. der Ordinate genannt worden, so als Differenz oder Inkrement gefasst wird, dass es nur der Unterschied des Quantums einer Ordinate zwischen dem Quantum einer andern Ordinate sei. Die Grenze hat hiermit hier nicht den Sinn des Verhältnisses; sie gilt nur als der letzte Wert, dem sich eine andere Größe von gleicher Art beständig so nähere, dass sie von ihm, so wenig als man will, unterschieden sein könne, und dass das letzte Verhältnis, ein Verhältnis der Gleichheit sei. So ist die unendliche Differenz das Schweben eines Unterschieds eines Quantums von einem Quantum, und die qualitative Natur, nach welcher dx wesentlich nicht eine Verhältnisbestimmung gegen x, sondern gegen dy ist, tritt in der Vorstellung zurück. Man lässt dx² gegen dx verschwinden, aber noch vielmehr verschwindet dx gegen x, dies heißt aber wahrhaftig: es hat nur ein Verhältnis zu dy. – Es ist den Geometern in solchen Darstellungen immer vorzüglich darum zu tun, die Annäherung einer Größe an ihre Grenze begreiflich zu machen, und sich an diese Seite des Unterschiedes des Quantums vom Quantum, wie er kein Unterschied und doch noch ein Unterschied ist, zu halten. Aber die Annäherung ist ohnehin für sich eine nichts sagende und nichts begreiflich machende Kategorie; dx hat die Annäherung bereits im Rücken, es ist nicht nahe noch ein näheres; und unendlich nahe heißt selbst die Negation des Naheseins und des Annäherns.

Indem es nun damit geschehen ist, dass die Incremente oder unendlichen Differenzen nur nach der Seite des Quantums, das in ihnen verschwindet, und nur als Grenze desselben betrachtet worden sind, so sind sie so als verhältnislose Momente gefasst. Es würde die unstatthafte Vorstellung daraus folgen, dass es erlaubt sei, in dem letzten Verhältnisse etwa Abszisse und Ordinate, oder auch Sinus, Cosinus, Tangente, Sinus versus und was alles noch, einander gleich zu setzen. – Diese Vorstellung scheint zunächst darin obzuwalten, wenn ein Bogen als eine Tangente behandelt wird; denn auch der Bogen ist wohl inkommensurabel mit der geraden Linie, und sein Element zunächst von anderer Qualität als das Element der geraden Linie. Es scheint noch widersinniger und unerlaubter, als die Verwechslung der Abszisse, Ordinate, des Sinus versus, Cosinus u.s.f. wenn quadrata rotundis, wenn ein ob zwar unendlich kleiner Teil des Bogens, für ein Stück der Tangente, genommen, und somit als gerade Linie behandelt wird. – Allein diese Behandlung ist von der gerügten Verwechslung wesentlich zu unterscheiden; sie hat ihre Rechtfertigung darin, dass in dem Dreieck, welches das Element eines Bogens und die Elemente seiner Abszisse und der Ordinate zu seinen Seiten hat, das Verhältnis dasselbe ist, als wenn jenes Element des Bogens das Element einer geraden Linie, der Tangente, wäre; die Winkel, welche das wesentliche Verhältnis konstituieren, d. i. dasjenige, das diesen Elementen bleibt, indem von den ihnen zugehörigen endlichen Größen abstrahiert wird, sind die nämlichen. – Man kann sich hierüber auch ausdrücken, gerade Linien, als unendlichklein, seien in krumme Linien übergegangen, und das Verhältnis ihrer in ihrer Unendlichkeit sei ein Kurvenverhältnis. Da nach ihrer Definition die gerade Linie der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten ist, so gründet sich ihr Unterschied von krummer Linie auf die Bestimmung von Menge, auf die geringere Menge des Unterscheidbaren auf diesem Wege, was also eine Bestimmung von Quantum ist. Aber diese Bestimmung verschwindet in ihr, sie als intensive Größe, als unendliches Moment, als Element genommen; somit auch ihr Unterschied von der krummen Linie, der bloß auf dem Quantumsunterschiede beruhte. – Also als unendlich behält gerade Linie und Bogen kein quantitatives Verhältnis und damit, auf den Grund der angenommenen Definition, auch keine qualitative Verschiedenheit mehr gegeneinander, sondern geht jene vielmehr in diese über.

Verwandt, jedoch zugleich verschieden, von der Gleichsetzung heterogener Bestimmungen ist die für sich unbestimmte und völlig gleichgültige Annahme, dass unendlich kleine Teile desselben Ganzen einander gleich seien; jedoch angewandt auf einen in sich heterogenen d. i. mit wesentlicher Ungleichförmigkeit der Grössebestimmung behafteten Gegenstand, bringt sie die eigentümliche Verkehrung hervor, die in dem Satze der höhern Mechanik enthalten ist, dass in gleichen und zwar unendlichkleinen Zeiten unendlichkleine Teile einer Kurve in gleichförmiger Bewegung durchlaufen werden, indem dies von einer Bewegung behauptet wird, in der in gleichen endlichen d. i. existierenden Zeitteilen endliche, d. i. existierende ungleiche Teile der Kurve durchlaufen werden, d. i. also von einer Bewegung, die als existierend ungleichförmig ist und so angenommen wird. Dieser Satz ist der Ausdruck desjenigen in Worten, was ein analytisches Glied, das sich in der oben auch angeführten Entwicklung der Formel von ungleichförmiger übrigens einem Gesetze gemäßen Bewegung ergibt, bedeuten soll. Aeltere Mathematiker suchten Ergebnisse der neu erfundenen Infinitesimal-Rechnung, die ohnehin immer mit konkreten Gegenständen zu tun hatte, in Worte und Sätze auszudrücken und sie in geometrischen Verzeichnungen darzustellen, wesentlich um sie für die Lehrsätze nach gewöhnlicher Beweise-Art zu gebrauchen. Die Glieder einer mathematischen Formel, in welche die analytische Behandlung die Größe des Gegenstands z. B. der Bewegung zerlegte, erhielten dort eine gegenständliche Bedeutung, z. B. der Geschwindigkeit, beschleunigende Kraft u.s.f. sie sollten nach solcher Bedeutung richtige Sätze, physicalische Gesetze geben und nach der analytischen Verbindung auch ihre objektiven Verknüpfungen und Verhältnisse bestimmt sein, wie z. B. eben dass in einer gleichförmig beschleunigten Bewegung eine besondere den Zeiten proportionale Geschwindigkeit existire, außerdem aber ein Zuwachs von der Kraft der Schwere her, immer hinzukomme. Solche Sätze werden in der modernen, analytischen Gestalt der Mechanik durchaus als Ergebnisse des Calculs aufgeführt unbekümmert darum, ob sie einen reellen Sinn d. i. dem eine Existenz entspräche, für sich an ihnen selbst hätten, und um einen Beweis eines solchen; die Schwierigkeit, den Zusammenhang solcher Bestimmungen, wenn sie im ausgesprochenen reellen Sinn genommen werden, z. B. den Übergang von jener schlechtgleichförmigen Geschwindigkeit zu einer gleichförmigen beschleunigten, begreiflich zu machen, gilt dafür, durch die analytische Behandlung ganz beseitigt zu sein, als in welcher solcher Zusammenhang einfache Folge der nunmehrigen festen Autorität der Operationen des Calculs ist. Es wird für einen Triumph der Wissenschaft ausgegeben, durch den bloßen Calcul über die Erfahrung hinaus Gesetze, d. i. Sätze der Existenz, die keine Existenz haben, zu finden. Aber in der erstern noch naiven Zeit des Infinitesimalcalculs sollte von jenen Bestimmungen und Sätzen, in geometrischen Verzeichnungen vorgestellt, ein reeller Sinn für sich angegeben und plausibel gemacht, und sie in solchem Sinne zum Beweise von den Hauptsätzen, um die es zu tun war, angewendet werden, (– man sehe den Newtonischen Beweis von seinem Fundamentalsatze der Theorie der Gravitation in den Princ. mathem. philosophiae naturalis lib. I. Sect. II. Prop. I. verglichen mit Schuberts Astronomie (erster Ausg. III. B. §. 20.) wo zugestanden wird, dass es sich nicht genau so, d. i. in dem Punkte, welcher der Nerv des Beweises ist, sich nicht so verhalte, wie Newton annimmt –).

Es wird nicht geleugnet werden können, dass man sich in diesem Felde vieles als Beweis, vornehmlich unter der Beihülfe des Nebels des Unendlich-kleinen hat gefallen lassen, aus keinem andern Grunde als dem, dass das, was herauskam, immer schon vorher bekannt war, und der Beweis, der so eingerichtet wurde, dass es herauskam, wenigstens den Schein eines Gerüstes von Beweis zu Stande brachte; – einen Schein, den man dem bloßen Glauben oder dem Wissen aus Erfahrung immer noch vorzog. Ich aber trage kein Bedenken, diese Manier für nicht mehr als eine bloße Taschenspielerei und Scharlatanerie des Beweisens anzusehen, und hierunter selbst Newtonische Beweise zu rechnen, ins besondere die zu dem so eben angeführten gehörigen, wegen welcher man Newton bis an den Himmel und über Keppler erhoben hat, das was dieser bloß durch Erfahrung gefunden, mathematisch dargetan zu haben.

Das leere Gerüste solcher Beweise wurde errichtet, um physische Gesetze zu beweisen. Aber die Mathematik vermag überhaupt nicht Größenbestimmungen der Physik zu beweisen, insofern sie Gesetze sind, welche die qualitative Natur der Momente zum Grunde haben; aus dem einfachen Grunde, weil diese Wissenschaft nicht Philosophie ist, nicht vom Begriffe ausgeht, und das Qualitative daher, insofern es nicht Lemmatischerweise aus der Erfahrung aufgenommen wird, außer ihrer Sphäre liegt. Die Behauptung der Ehre der Mathematik, dass alle in ihr vorkommenden Sätze streng bewiesen sein sollen, ließ sie ihre Grenze oft vergessen; so schien es gegen ihre Ehre, für Erfahrungssätze einfach die Erfahrung als Quelle und als einzigen Beweis anzuerkennen; später ist das Bewusstsein hierüber gebildeter geworden; ehe dieses aber über den Unterschied sich nicht klar wird, was mathematisch beweisbar ist und was nur anderwärts genommen werden kann, wie darüber was nur Glieder analytischer Entwicklung und was physicalische Existenzen sind, kann die Wissenschaftlichkeit sich nicht zu strenger und reiner Haltung herausbilden. – Jenem Gerüste Newtonischen Beweisens aber wird ohne Zweifel noch dasselbe Recht widerfahren, das einem andern grundlosen Newtonischen Kunstgebäude aus optischen Experimenten und damit verbundenem Schließen angetan worden ist. Die angewandte Mathematik ist noch voll von einem gleichen Gebräue aus Erfahrung und Reflexion, aber wie von jener Optik seit geraumer Zeit bereits ein Teil nach dem andern anfing in der Wissenschaft faktisch ignoriert zu werden mit der Inkonsequenz jedoch, das übrige obgleich damit widersprechende noch gewähren zu lassen, – so ist es auch Faktum, dass bereits ein Teil jener trügerischen Beweise, von selbst in Vergessenheit geraten oder durch andere ersetzt worden ist.

Anmerkung 2. Der Zweck des Differentialkalküls aus seiner Anwendung abgeleitet

In der vorigen Anmerkung ist teils die Begriffsbestimmtheit des Unendlichkleinen, das in dem Differential-Calcul gebraucht wird, teils die Grundlage seiner Einführung in denselben betrachtet worden; beides sind abstrakte und darum an sich auch leichte Bestimmungen; die sogenannte Anwendung aber bietet größere Schwierigkeiten sowohl als auch die interessantere Seite dar; die Elemente dieser konkreten Seite sollen der Gegenstand dieser Anmerk. sein. – Die ganze Methode der Differentialrechnung ist in dem Satze, dass dxⁿ = nxⁿ⁻¹ dx, oder (f (x + i) − fx)/i = P, d. i. gleich dem Coefficienten des ersten Gliedes des nach den Potenzen von dx oder i entwickelten Binomiums x+d, x+i, absolviert. Man bedarf weiter nichts zu erlernen; die Ableitung der nächsten Formen, des Differentials eines Produkts, einer Exponentialgröße und sofort ergiebt sich daraus mechanisch; in wenig Zeit, vielleicht in einer halben Stunde – mit dem Finden der Differentiale ist das umgekehrte, das Finden der ursprünglichen Funktion aus jenen, die Integration gleichfalls gegeben, – kann man die ganze Theorie inne haben. Was allein länger aufhält, ist die Bemühung es einzusehn, begreiflich zu machen, dass nachdem der eine Umstand der Aufgabe, das Finden jenes Coefficienten, auf analytische d. i. ganz arithmetische Weise, durch die Entwicklung der Funktion der veränderlichen Größe, nachdem diese durch einen Zuwachs die Form eines Binomiums erhalten, so leicht bewerkstelligt worden, es auch mit dem andern Umstand, nämlich mit dem Weglassen der übrigen Glieder der entstehenden Reihe außer den ersten, seine Richtigkeit habe. Wäre es der Fall, dass man jenen Coefficienten allein nötig hätte, so wäre mit der Bestimmung desselben alles, was die Theorie betrifft, – wie gesagt in weniger als einer halben Stunde abgetan, und das Weglassen der weitern Glieder der Reihe machte so wenig eine Schwierigkeit, dass vielmehr von ihnen, als Gliedern der Reihe (als zweiten, dritten u.s.f. Funktionen ist ihre Bestimmung schon mit der Bestimmung des ersten gleichfalls absolviert), gar nicht die Rede wäre, da es um sie ganz und gar nicht zu tun ist.

Es kann die Bemerkung vorangeschickt werden, dass man es der Methode des Differentialcalculs wohl sogleich ansieht, dass sie nicht für sich selbst erfunden und aufgestellt worden ist; sie ist nicht nur nicht für sich begründet, als eine andere Weise analytischen Verfahrens, sondern die Gewaltsamkeit, Glieder, die sich aus Entwicklung einer Funktion ergeben, indem doch das Ganze dieser Entwicklung vollständig zur Sache zu gehören angenommen ist, – weil die Sache als der Unterschied der entwickelten Funktion einer veränderlichen Größe, nachdem dieser die Gestalt eines Binomiums gegeben worden, von der ursprünglichen, angesehen wird, – geradezu wegzulassen, widerspricht vielmehr durchaus allen mathematischen Grundsätzen. Das Bedürfnis solcher Verfahrungsweise, wie die ihr an ihr selbst mangelnde Berechtigung, weißt sogleich darauf hin, dass anders wo der Ursprung und die Grundlage sich befinden müsse. Es geschieht auch sonst in den Wissenschaften, dass das, was als das Elementarische vornehin gestellt ist und woraus die Sätze der Wissenschaft abgeleitet werden sollen, nicht einleuchtend ist, und dass es sich ausweißt, vielmehr in dem Nachfolgenden seine Veranlassung und seine Begründung zu haben. Der Hergang in der Geschichte des Differentialcalculs tut dar, dass er in den verschiedenen sogenannten Tangential-Methoden vornehmlich, die Sache gleichsam als in Kunststücken, den Anfang genommen hat; die Art des Verfahrens, nachdem es auch auf weitere Gegenstände ausgedehnt worden, ist später zum Bewusstsein und in abstrakte Formeln gebracht worden, welche nun auch zu Prinzipien zu erheben versucht wurde.

Als die Begriffsbestimmtheit des sogenannten Unendlich-kleinen ist die qualitative Quantitäts-Bestimmtheit solcher, die zunächst als Quanta im Verhältnis zu einander gesetzt sind, aufgezeigt worden, woran sich die empirische Untersuchung knüpfte, jene Begriffs-Bestimmtheit in den Beschreibungen oder Definitionen nachzuweisen, die sich von dem Unendlich-kleinen, insofern es als unendliche Differenz und dergleichen genommen ist, vorfinden. – Dies ist nur im Interesse der abstrakten Begriffsbestimmtheit als solcher geschehen; die weitere Frage wäre, wie von ihr der Übergang zur mathematischen Gestaltung und Anwendung beschaffen wäre. Zu dem Ende ist zuerst das Theoretische, die Begriffsbestimmtheit, noch weiter vorzunehmen, welche sich an ihr selbst nicht ganz unfruchtbar zeigen wird; alsdann ist das Verhältnis derselben zur Anwendung zu betrachten, und bei beidem nachzuweisen, so weit es hier angeht, dass die allgemeinen Folgerungen zugleich demjenigen, um was es in der Differentialrechnung zu tun ist, und der Art, wie sie es bewerkstelligt, angemessen sind.

Zunächst ist daran zu erinnern, dass die Form, welche die in Rede stehende Begriffsbestimmtheit im Mathematischen hat, bereits beiläufig angegeben ist. Die qualitative Bestimmtheit des Quantitativen ist zuerst im quantitativen Verhältnis überhaupt aufgewiesen, es ist aber auch schon bei der Nachweisung der unterschiedenen sogenannten Rechnungsarten (s. d. betreff. Anm.) antizipiert worden, dass das nachher an seiner eigentümlichen Stelle noch zu betrachtende Potenzenverhältnis es ist, worin die Zahl durch Gleichsetzung ihrer Begriffsmomente, der Einheit und der Anzahl als zu sich selbst zurückgekehrte gesetzt ist, und damit das Moment der Unendlichkeit, des Fürsichseins, d. i. des Bestimmtseins durch sich selbst, an ihr erhält. Die ausdrückliche qualitative Größenbestimmtheit bezieht sich somit, wie gleichfalls schon erinnert, wesentlich auf Potenzenbestimmungen, und da die Differentialrechnung das spezifische hat, mit qualitativen Größenformen zu operiren, so muss ihr eigentümlicher mathematischer Gegenstand die Behandlung von Potenzenformen sein, und die sämtlichen Aufgaben und deren Auflösungen, zu deren Behuf die Differentialrechnung gebraucht wird, zeigen es, dass das Interesse allein in der Behandlung von Potenzenbestimmungen als solchen liegt.

So wichtig diese Grundlage ist, und sogleich an die Spitze etwas Bestimmtes stellt, statt der bloß formellen Kategorien von veränderlichen, kontinuierlichen oder unendlichen Größen und dergleichen, oder auch nur von Funktionen überhaupt, so ist sie noch zu allgemein; andere Operationen haben gleichfalls damit zu tun; schon das Erheben in die Potenz und Wurzelausziehen, dann die Behandlung der Exponentialgrößen und Logarithmen, Reihen, die Gleichungen höherer Ordnungen haben ihr Interesse und ihre Bemühung allein mit Verhältnissen, die auf Potenzen beruhen. Ohne Zweifel müssen sie zusammen ein System der Potenzenbehandlung ausmachen; aber welches unter den verschiedenen Verhältnissen, worein Potenzenbestimmungen gesetzt werden können, dasjenige sei, das der eigentliche Gegenstand und das Interesse für die Differentialrechnung ist, dies ist aus dieser selbst, d. i. aus den sogenannten Anwendungen derselben zu entnehmen. Diese sind in der Tat die Sache selbst, das wirkliche Verfahren in der mathematischen Auflösung eines gewissen Kreises von Problemen; dies Verfahren ist früher gewesen, als die Theorie oder der allgemeine Teil, und Anwendung ist dasselbe später genannt worden nur in Beziehung auf die nachher erschaffene Theorie, welche die allgemeine Methode des Verfahrens teils aufstellen, teils ihr aber Prinzipien, d. i. Rechtfertigung geben wollte. Welche vergebliche Bemühung es gewesen ist, für die bisherige Auffassungsweise des Verfahrens Prinzipien aufzufinden, welche den Widerspruch, der dabei zum Vorschein kommt, wirklich lösten, statt ihn nur durch die Unbedeutenheit des nach dem mathematischen Verfahren notwendigen hier aber wegzulassenden, oder durch die auf dasselbe hinauslaufende Möglichkeit der unendlichen oder beliebigen Annäherung und dergleichen zu entschuldigen oder zu verstecken, ist in voriger Anmerkung gezeigt worden. Wenn aus dem wirklichen Teile der Mathematik, der die Differentialrechnung genannt wird, das Allgemeine des Verfahrens anders abstrahiert würde, als bisher geschehen ist, so würden sich jene Prinzipien und die Bemühung mit denselben auch als entbehrlich zeigen, wie sie an ihnen selbst sich als etwas schieffes und im Widerspruche bleibendes ausweisen.

Wenn wir diesem Eigentümlichen durch einfaches Aufnehmen des in diesem Teile der Mathematik vorhandenen nachforschen, so finden wir als Gegenstand α) Gleichungen, in welchen eine beliebige Anzahl von Größen (wir können hier überhaupt bei zwei stehen bleiben) zu einem Ganzen der Bestimmtheit so verbunden sind, dass diese erstens ihre Bestimmtheit in empirischen Größen, als festen Grenzen und dann in der Art der Verbindung mit denselben, so wie ihrer Verbindung untereinander, haben; wie dies überhaupt in einer Gleichung der Fall ist; indem aber nur Eine Gleichung für beide Größen (und ebenso relativ wohl mehrere Gleichungen für mehrere Größen, aber immer weniger, als die Anzahl der Größen ist –) vorhanden ist, gehören diese Gleichungen zu den unbestimmten; und dass zweitens eine Seite, wie diese Größen hier ihre Bestimmtheit haben, darin liegt, dass sie (wenigstens eine derselben) in einer höhern, als die erste Potenz, in der Gleichung vorhanden sind.

Hierüber sind zunächst einige Bemerkungen zu machen, vors erste, dass die Größen nach der ersten der angegebenen Bestimmungen ganz nur den Charakter solcher veränderlichen Größen haben, wie sie in den Aufgaben der unbestimmten Analysis vorkommen. Ihr Wert ist unbestimmt, aber so dass wenn anderswoher ein vollkommen bestimmter Wert, d. i. ein Zahlenwert für die eine kommt, auch die andere bestimmt, so die eine, eine Funktion der andern, ist. Die Kategorien von veränderlichen Größen, Funktionen und dergleichen sind darum für die spezifische Größebestimmtheit, die hier in Rede steht, nur formell, wie vorhin gesagt worden ist, weil sie von einer Allgemeinheit sind, in welcher dasjenige spezifische, worauf das ganze Interesse des Differentialcalculs geht, noch nicht enthalten ist, noch daraus durch Analyse expliziert werden kann; sie sind für sich einfache, unbedeutende, leichte Bestimmungen, die nur erst schwierig gemacht werden, insofern das in sie gelegt werden soll, damit es dann aus ihnen abgeleitet werden könne, was nicht in ihnen liegt, nämlich die spezifische Bestimmung der Differentialrechnung. – Was alsdann die sogenannte Konstante betrifft, so kann über sie bemerkt werden, dass sie zunächst als eine gleichgültige empirische Größe ist, bestimmend für die veränderlichen Größen bloß in Ansehung ihres empirischen Quantums, als Grenze ihres Minimums und Maximums; die Art der Verbindung aber der Constanten mit den veränderlichen Größen ist selbst eines der Momente für die Natur der besondern Funktion, welche diese Größen sind. Umgekehrt sind aber auch die Constanten selbst Funktionen; insofern z. B. eine gerade Linie den Sinn hat, Parameter einer Parabel zu sein, so ist dieser ihr Sinn dies, dass sie die Funktion y²/x ist; wie in der Entwicklung des Binomiums überhaupt, die Konstante, welche der Coefficient des ersten Entwicklungsgliedes ist, die Summe der Wurzeln, der des Zweiten, die Summe der Produkte derselben zu Zwei und Zwei u.s.f. also diese Constanten hier überhaupt Funktionen der Wurzeln sind; wo in der Integralrechnung die Konstante aus der gegebenen Formel bestimmt wird, wird sie insofern als eine Funktion von dieser behandelt. Jene Coefficienten werden wir dann weiter in einer andern Bestimmung als Funktionen betrachten, deren Bedeutung im Konkreten es ist, worauf das ganze Interesse geht.

Das Eigentümliche nun aber wodurch die Betrachtung der veränderlichen Größen sich in der Differentialrechnung von ihrer Beschaffenheit in den unbestimmten Aufgaben unterscheidet, ist in das Angegebene zu setzen, dass wenigstens eine jener Größen oder auch alle sich in einer höhern Potenz als die erste befinde, wobei wieder gleichgültig ist, ob sämmtliche von derselben höhern oder von ungleichen Potenzen sind; ihre spezifische Unbestimmtheit, die sie hier haben, liegt allein darin, dass sie in solchem Potenzenverhältnisse Funktionen von einander sind. Dadurch ist die Veränderung der veränderlichen Größen qualitativ determiniert, damit kontinuierlich, und diese Kontinuität, die für sich wieder nur die formelle Kategorie überhaupt einer Identität, einer sich in der Veränderung erhaltenden, gleichbleibenden Bestimmtheit ist, hat hier ihren determinierten Sinn und zwar allein in dem Potenzenverhältniße, als welches kein Quantum zu seinem Exponenten hat, und die nicht quantitative, bleibende Bestimmtheit des Verhältnisses der veränderlichen Größen ausmacht. Daher ist gegen einen andern Formalismus die Bemerkung zu machen, dass die erste Potenz nur Potenz im Verhältnis zu höhern ist; für sich ist x nur irgend ein unbestimmtes Quantum. So hat es keinen Sinn, für sich die Gleichungen y = ax + b, der geraden Linie oder s = ct die der schlechtgleichförmigen Geschwindigkeit zu differentiren; wenn aus y = ax, oder auch aus y = ax + b, a = dy/dx, oder ds/dt = c aus s = ct wird, so ist ebensosehr a = y/x, die Bestimmung der Tangente oder s/t = c, die der schlechten Geschwindigkeit. Letztere wird als dy/dx exponiert im Zusammenhange dessen, was für die Entwicklung der gleichförmig beschleunigten Bewegung ausgegeben wird; aber dass ein Moment von einfacher, schlechtgleichförmiger, d. i. nicht durch die höhere Potenz eines der Momente der Bewegung bestimmter Geschwindigkeit, im Systeme solcher Bewegung vorkomme, ist, wie früher bemerkt, selbst eine leere, allein in der Routine der Methode gegründete Annahme. Indem die Methode von der Vorstellung des Zuwachses, den die veränderliche Größe erleiden solle, ausgeht, so kann freilich auch eine solche, die nur eine Funktion von erster Potenz ist, auch einen Zuwachs erleiden; wenn nun hierauf, um das Differential zu finden, der Unterschied der hierdurch entstandenen zweiten Gleichung von der gegebenen genommen werden soll, so zeigt sich das leere der Operation, dass, wie bemerkt, die Gleichung vor und nach derselben, für die sogenannten Zuwächse dieselbe ist als für die veränderlichen Größen selbst.

β) Durch das Gesagte ist die Natur der zu behandelnden Gleichung bestimmt, und es ist nun enzugeben, auf welches Interesse sich die Behandlung derselben gerichtet findet. Diese Betrachtung kann nur bekannte Resultate, wie sie der Form nach in der Lagrange’schen Auffassung insbesondere vorhanden sind, geben; aber ich habe die Exposition so ganz elementarisch angestellt, um die damit vermischten heterogenen Bestimmungen zu entfernen. – Als die Grundlage der Behandlung der Gleichung von angegebener Art zeigt sich, dass die Potenz innerhalb ihrer selbst als ein Verhältnis, als ein System von Verhältnisbestimmungen, gefasst wird. Die Potenz ist oben als die Zahl angegeben worden, insofern sie dazu gekommen ist, dass ihre Veränderung durch sie selbst bestimmt, ihre Momente, Einheit und Anzahl identisch ist, wie früher nachgewiesen, vollkommen zunächst im Quadrat, formeller, was hier keinen Unterschied macht, in den höhern Potenzen. Die Potenz nun, da sie als Zahl – wenn man den Ausdruck Größe als den allgemeinern vorzieht, so ist sie an sich immer die Zahl, – eine Menge ist, auch als Summe dargestellt, kann zunächst innerhalb ihrer in eine beliebige Menge von Zahlen zerlegt werden, die ohne alle weitere Bestimmung gegen einander und gegen ihre Summe sind, als nur dass sie zusammen dieser gleich sind. Aber die Potenz kann auch in eine Summe von solchen Unterschieden discernirt werden, die durch die Form der Potenz bestimmt sind. Wird die Potenz als Summe genommen, so ist auch die Grundzahl derselben, die Wurzel als Summe gefasst, und beliebig nach mannigfaltiger Zerlegung, welche Mannigfaltigkeit aber das gleichgültige empirisch-Quantitative ist. Die Summe als welche die Wurzel sein soll, auf ihre einfache Bestimmtheit, d. i. ihre wahrhafte Allgemeinheit zurückgeführt, ist das Binomium; alle weitere Vermehrung der Glieder ist eine bloße Wiederholung derselben Bestimmung und daher etwas leeres.¹² Worauf es ankommt, ist allein die, hiermit qualitative Bestimmtheit der Glieder, welche sich durch die Potenzierung der als Summe angenommenen Wurzel ergibt, welche Bestimmtheit allein in der Veränderung, die das Potenzieren ist, liegt. Diese Glieder sind somit ganz Funktionen der Potenzierung und der Potenz. Jene Darstellung nun der Zahl, als Summe einer Menge von solchen Gliedern, welche Funktionen der Potenzierung sind, alsdann das Interesse, die Form solcher Funktionen, und ferner diese Summe aus der Menge solcher Glieder, zu finden, insofern dieses Finden allein von jener Form abhängen muss, – dies macht bekanntlich die besondere Lehre von den Reihen aus. Aber hierbei haben wir wesentlich das fernere Interesse zu unterscheiden, nämlich das Verhältnis der zu Grunde liegenden Größe selbst, deren Bestimmtheit, insofern sie ein Complex d. i. hier eine Gleichung, ist, eine Potenz in sich schließt, – zu den Funktionen ihrer Potenzierung. Dies Verhältnis, ganz abstrahiert von dem vorhingenannten Interesse der Summe wird sich als der Gesichtspunkt zeigen, der sich als der einzige, den die Differentialrechnung sich vorsetzt, aus der wirklichen Wissenschaft ergibt.

Es ist jedoch vorher noch eine Bestimmung zu dem Gesagten hinzuzufügen, oder vielmehr eine, die darin liegt, zu entfernen. Es wurde nämlich gesagt, dass die veränderliche Größe, in deren Bestimmung die Potenz eintritt, angesehen werde, innerhalb ihrer selbst als Summe und zwar als ein System von Gliedern, insofern diese Funktionen der Potenzierung sind, womit auch die Wurzel als eine Summe, und in der einfach bestimmten Form als Binomium betrachtet werde; xⁿ = (y + z)ⁿ = (y + nyⁿ⁻¹ z + . . .) Diese Darstellung ging für die Entwicklung der Potenz, d. i. für das Erlangen ihrer Potenzirungsfunctionen, von der Summe als solcher aus; es ist jedoch hier nicht um eine Summe als solche noch um die daraus entspringende Reihe zu tun, sondern von der Summe ist nur die Beziehung aufzunehmen. Die Beziehung als solche der Größen ist das was einerseits übrig bleibt, nachdem von dem plus einer Summa als solcher abstrahiert wird, und was andrerseits für das Finden der Entwicklungsfunktionen der Potenz erforderlich ist. Solche Beziehung aber ist schon darin bestimmt, dass hier der Gegenstand eine Gleichung, yᵐ = axⁿ auch schon ein Complex von mehrern (veränderlichen) Größen ist, der eine Potenzenbestimmung derselben enthält. In diesem Complex ist jede dieser Größen schlechthin als in der Beziehung auf die andere mit der Bedeutung, könnte man sagen, eines plus an ihr selbst, – als Funktion der andern Größen gesetzt; ihr Charakter, Funktionen von einander zu sein, gibt ihnen diese Bestimmung des plus, eben damit aber eines ganz unbestimmten, nicht eines Zuwachses, Inkrements und dergleichen. Doch diesen abstrakten Gesichtspunkt konnten wir auch auf der Seite lassen; es kann ganz einfach dabei stehen geblieben werden, dass nachdem die veränderlichen Größen in der Gleichung als Funktionen von einander, so dass diese Bestimmtheit ein Verhältnis von Potenzen enthält, gegeben sind, nun auch die Funktionen der Potenzierung einer jeden mit einander verglichen werden, – welche zweiten Funktionen durch gar nichts anderes weiter als durch die Potenzierung selbst bestimmt sind. Es kann zunächst für ein Belieben oder eine Möglichkeit ausgegeben werden, eine Gleichung von den Potenzen ihrer veränderlichen Größen auf ein Verhältnis ihrer Entwicklungsfunktionen zu setzen; ein weiterer Zweck, Nutzen, Gebrauch hat erst das Dienliche solcher Umgestaltung davon anzugeben; durch ihre Nützlichkeit allein ist jene Umstellung veranlaßt worden. Wenn vorhin von der Darstellung dieser Potenzirungsbestimmungen an einer Größe, die als Summe in sich different genommen werde, ausgegangen worden, so diente dies nur teils zur Angabe von welcher Art solche Funktionen seien, teils liegt darin die Weise sie zu finden.

Wir befinden uns hiermit bei der gewöhnlichen analytischen Entwicklung, die für den Zweck der Differentialrechnung so gefasst wird, dass der veränderlichen Größe ein Zuwachs, dx, i gegeben und nun die Potenz des Binomiums durch die Gliederreihe, die ihm angehört, expliziert wird. Der sogenannte Zuwachs aber soll nicht ein Quantum, nur eine Form sein, deren ganzer Wert ist, zur Entwicklung behülflich zu sein; was man eingestandener maßen, am bestimmtesten von Euler und Lagrange, und in der früher erwähnten Vorstellung der Grenze, will, sind nur die sich ergebende Potenzenbestimmungen der veränderlichen Größen, die sogenannten Coefficienten zwar des Zuwachses und der Potenzen desselben, nach denen die Reihe sich ordnet und zu denen die unterschiedenen Coefficienten gehören. Es kann hierzu etwa bemerkt werden, dass indem nur um der Entwicklung willen ein Zuwachs angenommen ist, der ohne Quantum sei, es am geschicktesten gewesen wäre, 1 (das Eins) dafür zu nehmen, indem derselbe in der Entwicklung immer nur als Faktor vorkommt, womit eben der Faktor Eins den Zweck erfüllt, dass keine quantitative Bestimmtheit und Veränderung durch den Zuwachs gesetzt werden solle; dagegen dx mit der falschen Vorstellung von einer quantitativen Differenz, und andere Zeichen, wie i, mit dem hier unnützen Scheine von Allgemeinheit behaftet, immer das Aussehen und die Prätension von einem Quantum und dessen Potenzen haben; welche Prätension dann die Mühe herbeibringt, sie dessenungeachtet wegzubringen und wegzulassen. Um die Form einer nach Potenzen entwickelten Reihe zu behalten, könnten die Exponentenbezeichnungen als indices ebensogut dem Eins angefügt werden. Aber es muss ohnehin von der Reihe und von der Bestimmung der Coefficienten nach der Stelle, die sie in der Reihe haben, abstrahiert werden, das Verhältnis zwischen allen ist dasselbe; die zweite Funktion wird ganz ebenso aus der ersten, als diese aus der ursprünglichen abgeleitet, und für die als die zweite gezählte ist die erste abgeleitete wieder ursprüngliche Funktion. Wesentlich aber geht das Interesse nicht auf die Reihe, sondern ganz allein auf die sich aus der Entwicklung ergebende Potenzenbestimmung in ihrem Verhältnis zu der für sie unmittelbaren Größe. Anstatt also jene als den Coefficienten des ersten Gliedes der Entwicklung zu bestimmen, da ein Glied als das erste in Beziehung auf die andern in der Reihe folgenden bezeichnet wird, eine solche Potenz als eines Zuwachses aber, wie die Reihe selbst hierher nicht gehören, wäre der bloße Ausdruck abgeleitete Potenzenfunktion oder wie vorhin gesagt wurde, eine Funktion des Potenzirens der Größe vorzuziehen, wobei als bekannt vorausgesetzt wird, auf welche Weise die Ableitung als innerhalb einer Potenz eingeschlossene Entwicklung genommen wird.

Wenn nun der eigentliche mathematische Anfang in diesem Teile der Analytik nichts weiter ist, als das Finden der durch die Potenzen-Entwicklung bestimmten Funktion, so ist die weitere Frage, was mit dem damit erhaltenen Verhältnisse anzufangen ist, wo es eine Anwendung und Gebrauch hat, oder in der Tat, für welchen Zweck solche Funktionen gesucht werden. Durch das Finden von Verhältnissen, an konkreten Gegenständen, welche sich auf jene abstrakte analytische zurückführen lassen, hat die Differentialrechnung ihr grosses Interesse erhalten.

Über die Anwendbarkeit aber ergiebt sich zunächst aus der Natur der Sache, ohne noch aus den Fällen der Anwendung selbst zu schließen, vermöge der aufgezeigten Gestalt der Potenzenmomente, von selbst folgendes. Die Entwicklung der Potenzengrößen, wodurch sich die Funktionen ihrer Potenzierung ergeben, enthält, von näherer Bestimmung abstrahiert, zunächst überhaupt die Herabsetzung der Größe auf die nächst niedrigere Potenz. Die Anwendbarkeit dieser Operation findet also bei solchen Gegenständen statt, bei welchen gleichfalls ein solcher Unterschied von Potenzenbestimmungen vorhanden ist. Wenn wir nun auf die Raumbestimmtheit reflektieren, so finden wir, dass sie die drei Dimensionen enthält, die wir, um sie von den abstrakten Unterschieden der Höhe, Länge und Breite zu unterscheiden, als die konkreten bezeichnen können, nämlich die Linie, die Fläche und den totalen Raum; und indem sie in ihren einfachsten Formen und in Beziehung auf Selbstbestimmung und damit auf analytische Dimensionen genommen werden, haben wir die gerade Linie, die ebene Fläche und dieselbe als Quadrat, und den Cubus. Die gerade Linie hat ein empirisches Quantum, aber mit der Ebene tritt das Qualitative, die Potenzenbestimmung ein; nähere Modifikationen, z. B. dass dies gleich auch mit den ebenen Kurven geschieht, können wir insofern es zunächst um den Unterschied bloß im Allgemeinen zu tun ist, unerörtert lassen. Hiermit entsteht auch das Bedürfnis, von einer höheren Potenzenbestimmung zu einer niedrigern und umgekehrt überzugehen, indem z. B. lineare Bestimmungen aus gegebenen Gleichungen der Fläche u.s.f. oder umgekehrt abgeleitet werden sollen. – Die Bewegung ferner, als an der das Größenverhältnis des durchlaufenen Raumes und der dazu gehörigen verflossenen Zeit zu betrachten ist, zeigt sich in den verschiedenen Bestimmungen einer schlechtgleichförmigen, einer gleichförmig beschleunigten, einer abwechselnd gleichförmig beschleunigten und gleichförmig retardierten, – in sich zurückkehrenden Bewegung; indem diese unterschiedenen Arten der Bewegung nach dem Grössenverhältnisse ihrer Momente, des Raums und der Zeit, ausgedrückt werden, ergeben sich für sie Gleichungen aus unterschiedenen Potenzenbestimmungen, und insofern es Bedürfnis sein kann, eine Art der Bewegung oder auch der Raumgrössen, an welche eine Art gebunden ist, aus einer andern Art derselben zu bestimmen, führt die Operation gleichfalls das Übergehen von einer Potenzenfunktion zu einer höhern oder niedrigern herbei. – Die Beispiele dieser zwei Gegenstände mögen für den Zweck, zu dem sie angeführt sind, genügen.

Der Anschein von Zufälligkeit, welchen die Differentialrechnung in ihren Anwendungen presentirt, würde schon vereinfacht werden, durch das Bewusstsein über die Natur der Gebiete, in welchem die Anwendung statt finden kann, und über das eigentümliche Bedürfnis und die Bedingung dieser Anwendung. Nun aber kommt es weiter innerhalb dieser Gebiete selbst darauf an, zu wissen, zwischen welchen Teilen der Gegenstände der mathematischen Aufgabe ein solches Verhältnis statt finde, als durch den Differentialcalcul eigentümlich gesetzt wird. Es muss gleich vorläufig bemerkt werden, dass hierbei zweierlei Verhältnisse zu beachten sind. Die Operation des Depotenzirens einer Gleichung, sie nach den abgeleiteten Funktionen ihrer veränderlichen Größen betrachtet, gibt ein Resultat, welches an ihm selbst wahrhaft nicht mehr eine Gleichung, sondern ein Verhältnis ist; dieses Verhältnis ist der Gegenstand der eigentlichen Differentialrechnung. Eben damit auch ist zweitens das Verhältnis vorhanden von der höhern Potenzenbestimmung (der ursprünglichen Gleichung) selbst zu der niedrigern (dem Abgeleiteten). Dies zweite Verhältnis haben wir hier zunächst bei Seite zu lassen; es wird sich als der eigentümliche Gegenstand der Integralrechnung zeigen.

Betrachten wir zunächst das erste Verhältnis, und nehmen zu der aus der sogenannten Anwendung zu entnehmenden Bestimmung des Moments, worin das Interesse der Operation liegt, das einfachste Beispiel an den Kurven vor, die durch eine Gleichung der zweiten Potenz bestimmt sind. Bekanntlich ist unmittelbar durch die Gleichung das Verhältnis der Coordinaten gegeben in einer Potenzenbestimmung. Folgen von der Grundbestimmung sind die Bestimmungen der mit den Coordinaten zusammenhängenden andern geraden Linien, der Tangente, Subtangente, Normale u.s.f. Die Gleichungen aber zwischen diesen Linien und den Coordinaten sind lineare Gleichungen; die Ganzen, als deren Teile diese Linien bestimmt sind, sind rechtwinklichte Dreiecke von geraden Linien. Der Übergang von der Grundgleichung, welche die Potenzenbestimmung enthält, zu jenen linearen Gleichungen enthält nun den angegebenen Übergang von der ursprünglichen Funktion, d. i. welche eine Gleichung ist, zu der abgeleiteten, welche ein Verhältnis ist, und zwar zwischen gewissen in der Kurve enthaltenen Linien. Der Zusammenhang zwischen dem Verhältnisse dieser Linien und der Gleichung der Kurve ist es, um dessen Finden es sich handelt.

Es ist nicht ohne Interesse, von dem Historischen hierüber so viel zu bemerken, dass die ersten Entdecker ihren Fund nur auf eine ganz empirische Weise anzugeben wissen, ohne eine Rechenschaft von der völlig äußerlich gebliebenen Operation geben zu können. Ich begnüge mich hierüber mit der Anführung Barrow’s, des Lehrers Newtons. In seinen lect. Opt. et Geom., worin er Probleme der höhern Geometrie nach der Methode der Unteilbaren behandelt, die sich zunächst von dem Eigentümlichen der Differentialrechnung unterscheidet, gibt er auch, »weil seine Freunde in ihn gedrungen,« (lect. X.) sein Verfahren, die Tangente zu bestimmen, an. Man muss bei ihm selbst nachlesen, wie diese Angabe beschaffen ist, um sich eine gehörige Vorstellung zu machen, wie das Verfahren ganz als äußerliche Regel angegeben ist, – in demselben Style, wie vormals in den arithmetischen Schulbüchern die Regel de tri oder noch besser die sogenannte Neunerprobe der Rechnungsarten vorgetragen worden ist. Er macht die Verzeichnung der Linienchen, die man nachher die Incremente im charakteristischen Dreieck einer Kurve genannt hat, und gibt nun die Vorschrift als eine bloße Regel, die Glieder als überflüssig wegzuwerfen, die in Folge der Entwicklung der Gleichungen, als Potenzen jener Incremente oder Produkte zum Vorschein kommen, (etenim isti termini nihilum valebunt); ebenso seien die Glieder, die nur aus der ursprünglichen Gleichung bestimmte Größen enthalten, wegzuwerfen (– das nachherige Abziehen der ursprünglichen Gleichung von der mit den Inkrementen gebildeten) und zuletzt für das Inkrement der Ordinate die Ordinate selbst und für das Inkrement der Abszisse die Subtangente zu substituiren. Man kann, wenn es so zu reden erlaubt ist, das Verfahren nicht schulmeistermässiger angeben; – die letztere Substitution ist die für die Tangentenbestimmung in der gewöhnlichen Differentialmethode zur Grundlage gemachte Annahme der Proportionalität der Incremente der Ordinate und Abszisse mit der Ordinate und Subtangente; in Barrows Regel erscheint diese Annahme in ihrer ganz naiven Nacktheit. Eine einfache Weise, die Subtangente zu bestimmen, war gefunden; die Manieren Robervals und Fermats laufen auf ähnliches hinaus, – die Methode, die größten und kleinsten Werte zu finden, von der der letztere ausging, beruht auf denselben Grundlagen und demselben Verfahren. Es war eine mathematische Sucht jener Zeiten, sogenannte Methoden, d. i. Regeln jener Art zu finden, dabei aus ihnen auch ein Geheimnis zu machen, was nicht nur leicht, sondern selbst in einer Rücksicht nötig war, aus demselben Grunde, als es leicht war, – nämlich weil die Erfinder nur eine empirische äußerliche Regel, keine Methode, d. i. nichts aus anerkannten Prinzipien abgeleitetes, gefunden hatten. Solche sogenannte Methoden hat Leibnitz von seiner Zeit, und Newton ebenfalls von derselben und unmittelbarer von seinem Lehrer aufgenommen; sie haben durch die Verallgemeinerung ihrer Form und Anwendbarkeit den Wissenschaften neue Bahnen gebrochen, aber damit zugleich das Bedürfnis gehabt, das Verfahren aus der Gestalt bloß äußerlicher Regeln zu reissen, und demselben die erforderliche Berechtigung zu verschaffen gesucht.

Analysieren wir die Methode näher, so ist der wahrhafte Vorgang dieser. Es werden erstlich die Potenzenbestimmungen (versteht sich der veränderlichen Größen), welche die Gleichung enthält, auf ihre ersten Funktionen herabgesetzt. Damit aber wird der Wert der Glieder der Gleichung verändert; es bleibt daher keine Gleichung mehr, sondern es ist nur ein Verhältnis entstanden zwischen der ersten Funktion der einen veränderlichen Größe zu der ersten Funktion der andern; statt px = y² hat man p : 2y oder statt 2 ax − x² = y² hat man a − x : y, was nachher als das Verhältnis dy/dx bezeichnet zu werden pflegte. Die Gleichung ist Gleichung der Kurve, dies Verhältnis, das ganz von derselben abhängig, aus derselben (oben nach einer bloßen Regel) abgeleitet ist, ist dagegen ein lineares, mit welchem gewisse Linien in Proportion sind; p : 2y oder a − x : y sind selbst Verhältnisse aus geraden Linien der Kurve, den Coordinaten und den Parameters; aber damit weiß man noch nichts. Das Interesse ist, von andern an der Kurve vorkommenden Linien zu wissen, dass ihnen jenes Verhältnis zukommt, die Gleichheit zweier Verhältnisse zu finden. – Es ist also zweitens die Frage, welches die geraden, durch die Natur der Kurve bestimmten Linien sind, welche in solchem Verhältnisse stehen? – Dies aber ist es, was schon früher bekannt war, dass nämlich solches auf jenem Wege erhaltenes Verhältnis das Verhältnis der Ordinate zur Subtangente ist. Dies hatten die Alten auf sinnreichem geometrischen Wege gefunden; was die neuern Erfinder entdeckt haben, ist das empirische Verfahren, die Gleichung der Kurve so zuzurichten, dass jenes erste Verhältnis geliefert wird, von dem bereits bekannt war, dass es einem Verhältnisse gleich ist, welches die Linie enthält, hier die Subtangente, um deren Bestimmung es zu tun ist. Teils ist nun jene Zurichtung der Gleichung methodisch gefasst und gemacht worden, – die Differentation, – teils aber sind die imaginären Incremente der Coordinaten und das imaginäre hieraus und einem ebensolchen Incremente der Tangente gebildete, charakteristische Dreieck erfunden worden, damit die Proportionalität des durch die Depotenzirung der Gleichung gefundenen Verhältnisses mit dem Verhältnisse der Ordinate und der Subtangente nicht als etwas empirisch nur aus der alten Bekanntschaft aufgenommenes, sondern als ein erwiesenes dargestellt werde. Die alte Bekanntschaft jedoch erweist sich überhaupt und am unverkennbarsten in der angeführten Form von Regeln als die einzige Veranlassung und respektive Berechtigung der Annahme des charakteristischen Dreiecks und jener Proportionalität.

Lagrange hat nun diese Simulation verworfen, und den ächtwissenschaftlichen Weg eingeschlagen; seiner Methode ist die Einsicht zu verdanken, worauf es ankommt, indem sie darin besteht, die beiden Übergänge, die für die Auflösung der Aufgabe zu machen sind, zu trennen und jede dieser Seiten für sich zu behandeln und zu erweisen. Der eine Teil dieser Auflösung, – indem wir für die nähere Angabe des Ganges bei dem Beispiele der elementarischen Aufgabe, die Subtangente zu finden, bleiben, – der theoretische oder allgemeine Teil, nämlich das Finden der ersten Funktion aus der gegebenen Curvengleichung, wird für sich regulirt; derselbe gibt ein lineares Verhältnis, also von geraden Linien, die in dem Systeme der Curvenbestimmung vorkommen. Der andere Teil der Auflösung ist nun die Findung derjenigen Linien an der Kurve, welche in jenem Verhältnisse stehen. Dies wird nun auf die direkte Weise (Théorie des Fonct. Anal. II. P. II. Chap.) bewerkstelligt, d. i. ohne das charakteristische Dreieck, nämlich ohne unendlichkleine Bogen, Ordinaten und Abscissen anzunehmen und diesen die Bestimmungen von dy und dx, d. i. von den Seiten jenes Verhältnisses und zugleich unmittelbar die Bedeutung der Gleichheit desselben mit der Ordinate und Subtangente selbst zu geben. Eine Linie (wie auch ein Punkt) hat allein ihre Bestimmung, insofern sie die Seite eines Dreiecks ausmacht, wie auch die Bestimmung eines Punkts nur in einem solchen liegt. Dies ist, um es im Vorbeigehen zu erwähnen, der Fundamentalsatz der analytischen Geometrie, welcher die Coordinaten, wie, was dasselbe ist, in der Mechanik das Parallelogramm der Kräfte herbeiführt, das ebendarum der vielen Bemühung um einen Beweis ganz unbedürftig ist. – Die Subtangente wird nun als die Seite eines Dreiecks gesetzt, dessen weitere Seiten die Ordinate und die darauf sich beziehende Tangente ist. Letztere hat als gerade Linie zu einer Gleichung p = aq, (+ b hinzuzufügen ist für die Bestimmung unnütz und wird nur um der beliebten Allgemeinheit hinzugesetzt); – die Determination des Verhältnisses p/q fällt in a, den Coefficienten von q, der die respektive erste Funktion der Gleichung ist, überhaupt aber nur als a = p/q betrachtet zu werden braucht als, wie gesagt, die wesentliche Determination der geraden Linie, die als Tangente an die Kurve applicirt ist. Indem nun ferner die erste Funktion der Curvengleichung genommen wird, ist sie ebenso die Determination einer geraden Linie; indem ferner die eine Coordinate p der ersten geraden Linie und y, die Ordinate der Kurve, als dieselben genommen werden, dass also der Punkt, in welchem jene als Tangente angenommene erste gerade die Kurve berührt, gleichfalls der Anfangspunkt der durch die erste Funktion der Kurve bestimmten geraden Linie ist, so kommt es darauf an, zu zeigen, dass diese zweite gerade Linie mit der ersten zusammenfällt, d. h. Tangente ist; algebraisch ausgedrückt, dass indem y = fx und p = Fq ist, und nun y = p, also fx = Fq angenommen wird, auch f′x = F′q. Dass nun die als Tangente applicirte gerade, und jene aus der Gleichung durch deren erste Funktion determinierte gerade Linie zusammenfallen, dass die letztere also Tangente ist; dies wird mit Zuhilfnahme des Inkrements i der Abszisse und des durch die Entwicklung der Funktion bestimmten Inkrements der Ordinate gezeigt. Hier kommt denn also gleichfalls das berüchtigte Inkrement herein; aber wie es zu dem so eben angegebenen Behufe eingeführt wird, und die Entwicklung der Funktion nach demselben, muss von dem früher erwähnten Gebrauch des Inkrements für das Finden der Differentialgleichung und für das charakteristische Dreieck, wohl unterschieden werden. Der hier gemachte Gebrauch ist berechtigt und notwendig; er fällt in den Umkreis der Geometrie, indem es zur geometrischen Bestimmung einer Tangente als solcher gehört, dass zwischen ihr und der Kurve, mit der sie einen Punkt gemeinschaftlich hat, keine andere gerade Linie, die gleichfalls in diesen Punkt fiele, durchgehen könne. Denn mit dieser Bestimmung ist die Qualität der Tangente oder Nicht-Tangente auf den Grössenunterschied zurückgeführt, und diejenige Linie ist die Tangente, auf welche die größere Kleinheit schlechthin in Ansehung der Determination, auf welche es ankommt, falle. Diese scheinbar nur relative Kleinheit enthält durchaus nichts empirisches, d. i. von einem Quantum als solchem abhängiges, sie ist qualitativ durch die Natur der Formel gesetzt, wenn der Unterschied des Moments, von dem die zu vergleichende Größe abhängt, ein Potenzenunterschied ist; indem derselbe auf i und i² hinauskommt, und i, das zuletzt doch eine Zahl bedeuten soll, dann als ein Bruch vorzustellen ist, so ist i² an und für sich kleiner als i, so dass selbst die Vorstellung von einer beliebigen Größe, in der man i nehmen könne, hier überflüssig und sogar nicht an ihrem Orte ist. Ebendamit hat der Erweis der größern Kleinheit nichts mit einem Unendlich-kleinen zu tun, das hiermit hier keineswegs hereinzukommen hat.

Wäre es auch nur um der Schönheit und des heutigstags mehr vergessenen, aber wohlverdienten Ruhmes willen, dass ich noch Descartes Tangentenmethode anführen will; sie hat übrigens auch eine Beziehung auf die Natur der Gleichungen, über welche dann noch eine fernere Bemerkung zu machen ist. Descartes trägt diese selbstständige Methode, worin die gefoderte lineare Bestimmung gleichfalls aus derselben abgeleiteten Funktion gefunden wird, in seiner, sonst auch so fruchtbar gewordenen Geometrie (liv. II. p. 357 ss. Oeuvres compl. ed. Cousin Tom. V.) vor, indem er in derselben die große Grundlage von der Natur der Gleichungen und deren geometrischer Konstruktion und der damit sosehr erweiterten Analysis auf die Geometrie überhaupt, gelehrt hat. Das Problem hat bei ihm die Form der Aufgabe, gerade Linien senkrecht auf beliebige Orte einer Kurve zu ziehen, als wodurch Subtangente u.s.f. bestimmt wird; man begreift die Befriedigung, die er daselbst über seine Entdeckung, die einen Gegenstand von allgemeinem wissenschaftlichen Interesse der damaligen Zeit betraf, und die sosehr geometrisch ist und dadurch so hoch über den oben erwähnten bloßen Regel-Methoden seiner Nebenbuhler stand, ausdrückt: j’ose dire que c’est ceci le problème le plus utile et le plus général, non seulement que je sache, mais même que j’aie jamais désiré de savoir en géometrie. – Er legt für die Auflösung die analytische Gleichung des rechtswinklichten Dreiecks zu Grund, das durch die Ordinate des Punkts der Kurve, auf welcher die im Probleme verlangte gerade Linie senkrecht sein soll, dann durch diese selbst, die Normale, und drittens durch den Teil der Achse, der durch die Ordinate und Normale abgeschnitten wird, durch die Subnormale, gebildet wird. Aus der bekannten Gleichung einer Kurve wird nun in jene Gleichung des Dreiecks der Wert es sei der Ordinate oder der Abszisse substituirt, so hat man eine Gleichung des zweiten Grades (und Descartes zeigt, wie auch Kurven, deren Gleichungen höhere Grade enthalten, sich hierauf zurück führen), in welcher nur noch die eine der veränderlichen Größen und zwar im Quadrat und in der ersten Potenz vorkommt; – eine quadratische Gleichung, welche zunächst als eine sogenannte unreine erscheint. Nun macht Descartes die Reflexion, dass wenn der auf der Kurve angenommene Punkt als Durchschnittspunkt derselben und eines Kreises vorgestellt wird, dieser Kreis die Kurve noch in einem andern Punkte schneiden wird, und alsdann sich für die zwei damit entstehenden und ungleichen x, zwei Gleichungen mit denselben Constanten und von derselben Form ergeben; – oder aber nur Eine Gleichung mit ungleichen Werten von x. Die Gleichung wird aber nur Eine, für das Eine Dreieck, in welchem die Hypotenuse auf die Kurve senkrecht, Normale, ist, was so vorgestellt wird, dass man die beiden Durchschnittspunkte der Kurve durch den Kreis, zusammenfallen, diesen also die Kurve berühren lasse. Damit aber fällt auch der Umstand der ungleichen Wurzeln des x oder y der quadratischen Gleichung hinweg. Bei einer quadratischen Gleichung von zwei gleichen Wurzeln nun aber ist der Coefficient des Gliedes, das die Unbekannte in der ersten Potenz enthält, das Doppelte der nur Einen Wurzel; dies nun gibt eine Gleichung, durch welche die verlangten Bestimmungen gefunden sind. Dieser Gang ist für den genialen Griff eines echt analytischen Kopfes anzusehen, wogegen die ganz assertorisch angenommene Proportionalität der Subtangente und der Ordinate mit den unendlich klein sein sollenden sogenannten Inkrementen der Abszisse und der Ordinate ganz zurücksteht.

Die auf die angegebene Weise erhaltene Endgleichung, welche den Coefficienten des zweiten Gliedes der quadratischen Gleichung gleichsetzt der doppelten Wurzel oder Unbekannten, ist dieselbe, welche durch das Verfahren des Differentialcalculs gefunden wird. x² − ax − b = o differenziert gibt die neue Gleichung 2x − a = o; oder x³ − px − q = o gibt 3x² − p = o. Es bietet sich hierbei aber die Bemerkung an, dass es sich keineswegs von selbst versteht, dass solche abgeleitete Gleichung auch richtig ist. Bei einer Gleichung mit zwei veränderlichen Größen, die darum, dass sie veränderliche sind, den Charakter unbekannte Größen zu sein nicht verlieren, kommt, wie oben betrachtet wurde, nur ein Verhältnis heraus, aus dem angegebenen einfachen Grunde, weil durch das Substituiren der Funktionen der Potenzierung an die Stelle der Potenzen selbst der Wert der beiden Glieder der Gleichung verändert wird, und es für sich selbst noch unbekannt ist, ob auch zwischen ihnen bei so veränderten Werten noch eine Gleichung Statt finde. Die Gleichung dy/dx = P drückt gar nichts weiter aus, als dass P ein Verhältnis ist, und es ist dem dy/dx sonst kein reeller Sinn zuzuschreiben. Von diesem Verhältnis = P ist es aber ebenso noch unbekannt, welchem anderen Verhältnisse es gleich sei; solche Gleichung, die Proportionalität, gibt demselben erst einen Wert und Bedeutung. – Wie angegeben wurde, dass man diese Bedeutung, was die Anwendung hieß, anderswoher, empirisch aufnahm, so muss bei den hier in Rede stehenden durch Differentation abgeleiteten Gleichungen anderswoher gewusst werden, ob sie gleiche Wurzeln haben, um zu wissen, ob die erhaltene Gleichung noch richtig sei. Dieser Umstand wird aber in den Lehrbüchern nicht ausdrücklich bemerklich gemacht; er wird wohl dadurch beseitigt, dass eine Gleichung mit einer unbekannten, auf Null gebracht, sogleich = y gesetzt wird, wodurch dann bei der Differentation allerdings ein dy/dx, nur ein Verhältnis herauskommt. Der Funktionen-Calcul soll es allerdings mit Funktionen der Potenzierung oder die Differentialrechnung mit Differentialien zu tun haben, aber daraus folgt für sich noch keineswegs, dass die Größen, deren Differentialien oder Funktionen der Potenzierung genommen werden, selbst auch nur Funktionen anderer Größen sein sollen. In dem theoretischen Teile, der Anweisung, die Differentiale, d. i. die Funktionen der Potenzierung abzuleiten, wird ohnehin noch nicht daran gedacht, dass die Größen, die nach solcher Ableitung zu behandeln gelehrt wird, selbst Funktionen anderer Größen sein sollen.

Noch kann in Ansehung des Weglassens der Konstante bei dem Differentiiren bemerklich gemacht werden, dass dasselbe hier den Sinn hat, dass die Konstante für die Bestimmung der Wurzeln im Falle ihrer Gleichheit gleichgültig ist, als welche Bestimmung durch den Coefficienten des zweiten Gliedes der Gleichung erschöpft ist. Wie im angeführten Beispiele von Descartes die Konstante das Quadrat der Wurzeln selbst ist, also diese aus der Konstante ebenso wie aus den Coefficienten, bestimmt werden kann; indem sie überhaupt, wie die Coefficienten, Funktion der Wurzeln der Gleichung ist. In der gewöhnlichen Darstellung erfolgt das Wegfallen der sogenannten nur durch + und − mit den übrigen Gliedern verbundenen Constanten durch den bloßen Mechanismus des Verfahrens, dass um das Differential eines zusammengesetzten Ausdrucks zu finden, nur den veränderlichen Größen ein Zuwachs gegeben, und der hierdurch formierte Ausdruck von dem ursprünglichen abgezogen wird. Der Sinn der Constanten und ihres Weglassens inwiefern sie selbst Funktionen sind und nach dieser Bestimmung dienen oder nicht, kommt nicht zur Sprache.

Mit dem Weglassen der Constanten, hängt eine ähnliche Bemerkung zusammen, die über die Namen von Differentation und Integration, gemacht werden kann, als früher über den endlichen und unendlichen Ausdruck gemacht wurde, dass nämlich in ihrer Bestimmung vielmehr das Gegenteil von dem liegt, was der Ausdruck besagt. Differentiiren bezeichnet das Setzen von Differenzen; durch das Differentiiren aber wird eine Gleichung vielmehr auf weniger Dimensionen herabgebracht, durch das Weglassen der Konstante wird ein Moment der Bestimmtheit hinweggenommen; wie bemerkt, werden die Wurzeln der veränderlichen Größe auf eine Gleichheit gesetzt, die Differenz also derselben aufgehoben. In der Integration hingegen soll die Konstante wieder hinzugesetzt werden; die Gleichung wird dadurch allerdings, aber in dem Sinne integriert, dass die vorher aufgehobene Differenz der Wurzeln wieder hergestellt, das gleichgesetzte wieder differenziert wird. – Der gewöhnliche Ausdruck trägt dazu bei, die wesentliche Natur der Sache in Schatten zu setzen und alles auf den untergeordneten, ja der Hauptsache fremdartigen Gesichtspunkt teils der unendlich kleinen Differenz, des Inkrements und dergleichen, teils der bloßen Differenz überhaupt zwischen der gegebenen und der abgeleiteten Funktion, ohne deren spezifischen, d. i. den qualitativen Unterschied zu bezeichnen, zu stellen.

Ein anderes Hauptgebiet, in welchem von dem Differentialcalcul Gebrauch gemacht wird, ist die Mechanik; von den unterschiedenen Potenzen-Funktionen, die sich bei den elementarischen Gleichungen ihres Gegenstandes, der Bewegung, ergeben, sind deren Bedeutungen bereits beiläufig erwähnt; ich will dieselben hier direkt aufnehmen. Die Gleichung, nämlich der mathematische Ausdruck, der schlechtgleichförmigen Bewegung c = s/t oder s = ct, in welcher die durchlaufenen Räume den verflossenen Zeiten nach einer empirischen Einheit c, der Größe der Geschwindigkeit, proportionirt sind, bietet für die Differentation keinen Sinn dar; der Coefficient c ist bereits vollkommen bestimmt und bekannt, und es kann keine weitere Potenzen-Entwicklung Statt finden. – Wie s = at², die Gleichung der Bewegung des Falles, analysiert wird, ist früher schon erinnert; – das erste Glied der Analyse ds/dt = 2 at wird in die Sprache und resp. in die Existenz so übersetzt, es solle ein Glied einer Summe (– welche Vorstellung wir längst entfernt haben), der eine Teil der Bewegung sein und zwar solle dieser der Kraft der Trägheit, d. i. einer schlechtgleichförmigen Geschwindigkeit so zukommen, dass in den unendlich-kleinen Zeitteilen die Bewegung gleichförmig, in den endlichen Zeitteilen d. h. in der Tat existierenden aber ungleichförmig sei. Freilich ist fs = 2 at; und die Bedeutung von a und von t für sich bekannt, so wie dass hiermit die Bestimmung von gleichförmiger Geschwindigkeit einer Bewegung gesetzt ist; da a = s/t², ist 2 at = 2s/t überhaupt; damit aber weiß man im geringsten nichts weiter; nur die fälschliche Annahme, dass 2 at ein Teil der Bewegung als einer Summe sei, gibt den fälschlichen Schein eines physikalischen Satzes. Der Faktor selbst, a, die empirische Einheit – ein Quantum als solches – wird der Schwere zugeschrieben; wenn die Kategorie der Kraft der Schwere gebraucht wird, so ist vielmehr zu sagen, dass eben das Ganze s = at² die Wirkung oder besser das Gesetz der Schwere ist. – Gleichmäßig ist der aus ds/dt = 2 at abgeleitete Satz, dass wenn die Schwere aufhörte zu wirken, der Körper mit der am Ende seines Falles erlangten Geschwindigkeit den doppelten Raum von dem, welchen er durchlaufen hat, in einer der Dauer seines Falles gleichen Zeit zurücklegen würde. – Es liegt hierin auch eine für sich schiefe Metaphysik; das Ende des Falles, oder das Ende eines Zeittheils, in welchem der Körper gefallen, ist immer selbst noch ein Zeitteil; wäre es kein Zeitteil, so wäre Ruhe und damit keine Geschwindigkeit angenommen, die Geschwindigkeit kann nur nach dem Raume angesetzt werden, welcher in einem Zeitteil, nicht an seinem Ende, durchlaufen worden ist. – Wenn nun aber vollends in andern physikalischen Gebieten, wo gar keine Bewegung vorhanden ist, wie z. B. im Verhalten des Lichts (außer dem, was seine Fortpflanzung im Raume genannt wird) und Größenbestimmungen an den Farben, eine Anwendung der Differentialrechnung gemacht wird und die erste Funktion von einer quadratischen Funktion hier auch Geschwindigkeit genannt wird, so ist dies für einen noch unstatthafteren Formalismus der Erdichtung von Existenz anzusehen. –

Die Bewegung, welche durch die Gleichung s = a t² vorgestellt wird, finden wir, sagt Lagrange in der Erfahrung vom Falle der Körper; die einfachste Bewegung nach derselben würde die sein, deren Gleichung s = ct³ wäre, aber die Natur zeige keine Bewegung dieser Art; wir wüßten nicht was der Coefficient c bedeuten könnte. Wenn dem wohl so ist, so gibt es dagegen eine Bewegung, deren Gleichung s³ = at² ist, – das Kepplerische Gesetz der Bewegung der Körper des Sonnensystems; – was hier die erste abgeleitete Funktion 2at/3s² u.s.f. bedeuten soll, und die fernere direkte Behandlung dieser Gleichung durch die Differentation, die Entwicklung der Gesetze und Bestimmungen jener absoluten Bewegung von diesem Ausgangspunkte aus, müsste dagegen wohl als eine interessante Aufgabe erscheinen, in welcher die Analysis im würdigsten Glanze sich zeigen würde.

Für sich bietet so die Anwendung des Differentialcalculs auf die elementarischen Gleichungen der Bewegung kein reelles Interesse dar; das formelle Interesse kommt von dem allgemeinen Mechanismus des Calculs. Eine andre Bedeutung aber erhält die Zerlegung der Bewegung in Beziehung auf die Bestimmung ihrer Trajectorie; wenn dieses eine Kurve ist und ihre Gleichung höhere Potenzen enthält, bedarf es der Übergänge von geradlinigten Funktionen als Funktionen der Potenzierung, zu den Potenzen selbst, und indem jene aus der ursprünglichen Gleichung der Bewegung, welche den Faktor der Zeit enthält, mit Elimination der Zeit zu gewinnen sind, ist dieser zugleich auf die niedrigern Entwicklungsfunktionen herabzusetzen, aus welchen jene Gleichungen linearer Bestimmungen erhalten werden können. Diese Seite führt auf das Interesse des andern Teils der Differentialrechnung.

Das bisherige hat den Zweck gehabt, die einfache spezifische Bestimmung des Differentialcalculs herauszuheben und festzustellen, und dieselbe in einigen der elementarischen Beispiele nachzuweisen. Diese Bestimmung hat sich ergeben darin zu bestehen, dass aus einer Gleichung von Potenzenfunctionen der Coefficient des Entwicklungsgliedes, die sogenannte erste Funktion gefunden, und das Verhältnis, welches diese ist, in Momenten des konkreten Gegenstands aufgewiesen werde, durch welche so erhaltene Gleichung zwischen den beiden Verhältnissen diese Momente selbst bestimmt sind. Es ist ebenso von dem Prinzip der Integralrechnung kurz zu betrachten, was sich aus dessen Anwendung, für die spezifische konkrete Bestimmung derselben ergibt. Die Ansicht dieses Calculs ist dadurch schon vereinfacht und richtiger bestimmt worden, dass er nicht mehr als Summationsmethode genommen wird, wie er im Gegensatz gegen das Differentiiren, wo der Zuwachs als das wesentliche Ingrediens gilt, genannt wurde, und womit er in wesentlichem Zusammenhang mit der Form der Reihe erschien. – Die Aufgabe dieses Calculs ist zunächst ebenso die theoretische oder vielmehr formelle, als die der Differentialrechnung, bekanntlich aber die umgekehrte von dieser; – es wird hier von einer Funktion ausgegangen, die als abgeleitete, als der Coefficient des nächsten aus der Entwicklung einer aber noch unbekannten Gleichung entsprungenen Gliedes betrachtet wird, und aus ihr soll die ursprüngliche Potenzen-Funktion gefunden werden; die in der natürlichen Ordnung der Entwicklung als ursprünglich anzusehende wird hier abgeleitet und die früher als abgeleitet betrachtete ist hier die gegebene oder überhaupt die anfangende. Das Formelle dieser Operation scheint nun aber bereits durch den Differentialcalcul geleistet zu sein; indem darin überhaupt der Übergang und das Verhältnis von der ursprünglichen zu der Entwicklungsfunktion festgestellt ist. Wenn hierbei teils schon um die Funktion, von der auszugehen ist, anzusetzen, teils aber den Übergang von ihr zu der ursprünglichen zu bewerkstelligen, notwendig in vielen Fällen zu der Form der Reihe die Zuflucht genommen werden muss, so ist zunächst festzuhalten, dass diese Form als solche mit dem eigentümlichen Prinzip des Integrirens unmittelbar nichts zu tun hat.

Der andere Teil nun aber der Aufgabe des Calculs erscheint in Rücksicht auf die formelle Operation die Anwendung derselben. Diese ist nun selbst die Aufgabe, nämlich die Bedeutung in dem oben angegebenen Sinne zu kennen, welche die ursprüngliche Funktion von der gegebenen als ersten Funktion betrachteten eines besondern Gegenstandes hat. An sich könnte auch diese Lehre bereits in der Differentialrechnung ganz abgetan zu sein scheinen; allein es tritt ein weiterer Umstand [ein], der die Sache nicht so einfach sein lässt. Indem nämlich in diesem Calcul sich ergeben, dass durch die erste Funktion der Gleichung einer Kurve das Verhältnis, welches ein lineares ist, erhalten worden, so weiß man damit auch, dass die Integration dieses Verhältnisses die Gleichung der Kurve im Verhältnisse der Abszisse und Ordinate gibt; oder wenn die Gleichung für die Ebene einer Kurve gegeben wäre, so würde die Differentialrechnung über die Bedeutung der ersten Funktion solcher Gleichung bereits gelehrt haben sollen, dass diese Funktion die Ordinate als Funktion der Abszisse, hiermit die Gleichung der Kurve darstellte.

Nun kömmt es aber darauf an, welches von den Bestimmungsmomenten des Gegenstandes in der Gleichung selbst gegeben ist; denn nur von dem Gegebenen kann die analytische Behandlung den Ausgang nehmen und von da zu den übrigen Bestimmungen des Gegenstands übergehen. Es ist z. B. nicht die Gleichung eines Flächenraums der Kurve, noch etwa des durch ihre Umdrehung entstehenden Körpers, noch auch eines Bogens derselben, sondern nur das Verhältnis der Abszisse und Ordinate in der Gleichung der Kurve selbst gegeben. Die Übergänge von jenen Bestimmungen zu dieser Gleichung selbst können daher nicht schon in der Differentialrechnung behandelt werden; es wird für die Integralrechnung aufgespart, diese Verhältnisse zu finden.

Ferner aber ist gezeigt worden, dass die Differenzierung der Gleichung von mehrern veränderlichen Größen, die Entwicklungspotenz oder Differential-Coefficienten, nicht als eine Gleichung, sondern nur als ein Verhältnis gibt; die Aufgabe ist dann für dies Verhältnis, welches die abgeleitete Funktion ist, ein zweites in den Momenten des Gegenstandes anzugeben, das jenem gleich sei. Dagegen ist das Objekt der Integralrechnung das Verhältnis selbst der ursprünglichen zu der abgeleiteten, hier gegeben sein sollenden Funktion, und die Aufgabe ist, die Bedeutung der zu findenden ursprünglichen Funktion in dem Gegenstande der gegebenen ersten Funktion anzugeben, oder vielmehr indem diese Bedeutung z. B. die Ebene einer Kurve oder die zu rectificirende, als geradlinigt vorgestellte Kurve u.s.f. schon als das Problem ausgesprochen ist, zu zeigen, dass solche Bestimmung durch eine ursprüngliche Funktion gefunden werde und welches das Moment des Gegenstandes sei, welches hierfür zur Ausgangs- (der abgeleiteten) Funktion, angenommen werden müsse.

Die gewöhnliche Methode nun, welche die Vorstellung der Differenz als des Unendlichkleinen gebraucht, macht sich die Sache leicht; für die Quadratur der Kurven also nimmt sie ein unendlich kleines Rectangel, ein Produkt der Ordinate in das Element d. i. das Unendlichkleine der Abszisse, für das Trapez, das zu einer seiner Seiten den unendlichkleinen, jenem unendlichkleinen der Abszisse gegenüberstehenden Bogen habe; das Produkt wird nun in dem Sinne integriert, dass das Integral die Summe der unendlich vielen Trapeze, die Ebene, deren Bestimmung verlangt wird, nämlich die endliche Größe jenes Elements der Ebene gebe. Ebenso formiert sie aus den Unendlichkleinen des Bogens, und der dazu gehörigen Ordinate und Abszisse ein rechtwincklichtes Dreieck, in welchem das Quadrat jenes Bogens gleich sei der Summe der Quadrate der beiden andern Unendlichkleinen, deren Integration den Bogen als einen endlichen gibt.

Dies Verfahren hat die allgemeine Entdeckung, welche diesem Gebiete der Analysis zu Grunde liegt, zu seiner Voraussetzung, hier in der Weise, dass die quadrirte Kurve, der rectificirte Bogen u.s.f. zu einer gewissen durch die Gleichung der Kurve gegebenen Funktion, in dem Verhältnis der sogenannten ursprünglichen Funktion zu der abgeleiteten steht. Es handelt sich darum zu wissen, wenn ein gewisser Teil eines mathematischen Gegenstandes (z. B. einer Kurve) als die abgeleitete Funktion angenommen werde, welcher andere Teil desselben durch die entsprechende ursprüngliche Funktion ausgedrückt ist. Man weiß, dass wenn die durch die Gleichung der Kurve gegebene Funktion der Ordinate als abgeleitete Funktion genommen wird, die relativ ursprüngliche Funktion der Größen-Ausdruck der von dieser Ordinate abgeschnittenen Area der Kurve ist, dass wenn eine gewisse Tangentenbestimmung als abgeleitete Funktion angesehen wird, die ursprüngliche Funktion derselben die Größe des zu dieser Tangentenbestimmung gehörigen Bogens ausdrückt, u.s.f. dass nun aber diese Verhältnisse, das eine einer ursprünglichen Funktion zu der abgeleiteten, das andere von den Größen zweier Teile oder Umstände des mathematischen Gegenstandes, eine Proportion bilden, dies zu erkennen und zu beweisen, erspart sich die Methode, die das Unendlichkleine und die mechanische Operation mit demselben gebraucht. Das eigentümliche Verdienst des Scharfsinns ist, aus den anderwärts her bereits bekannten Resultaten herausgefunden zu haben, dass gewisse und welche Seiten eines mathematischen Gegenstandes, in dem Verhältnisse von ursprünglicher und von abgeleiteter Funktion stehen.

Von diesen beiden Funktionen ist die abgeleitete, oder wie sie bestimmt worden ist, die Funktion der Potenzierung, hier in diesem Calcul die gegebene, relativ gegen die ursprüngliche, als welche erst aus jener durch die Integration, gefunden werden soll. Allein sie ist nicht unmittelbar gegeben, noch ist es für sich schon gegeben, welcher Teil oder Bestimmung des mathematischen Gegenstands als die abgeleitete Funktion angesehen werden soll, um durch Zurückführung derselben auf die ursprüngliche den andern Teil oder Bestimmung zu finden, deren Größe das Problem verlangt. Die gewöhnliche Methode, die, wie gesagt, sogleich gewisse Teile des Gegenstandes als unendlich klein, in der Form abgeleiteter Funktionen, vorstellt, welche sich aus der ursprünglich gegebenen Gleichung des Gegenstandes überhaupt durch die Differenzierung bestimmen lassen, (– wie für die Rektifikation einer Kurve, die unendlichkleinen Abscissen und Ordinaten), nimmt dafür solche, welche sich mit dem Gegenstande des Problems, (in dem Beispiele, dem Bogen) der ebenso als unendlichklein vorgestellt wird, in eine Verbindung bringen lassen, die in der Elementar-Mathematik festgestellt ist, und wodurch, wenn jene Teile bekannt sind, auch dieser bestimmt ist, dessen Größe zu finden aufgegeben ist; so werden für die Rektifikation die angegebenen drei Unendlichkleinen in die Verbindung der Gleichung des rechtwinkligen Dreiecks gebracht, für die Quadratur die Ordinate mit der unendlichkleinen Abszisse in die Verbindung eines Produkts, indem eine Ebene überhaupt arithmetisch als Produkt von Linien angenommen ist. Der Übergang von solchem sogenannten Elemente der Ebene, des Bogens u.s.f. zur Größe der Ebene, des Bogens u.s.f. selbst, gilt dann nur als das Aufsteigen von dem unendlichen Ausdruck zum endlichen, oder zur Summe der unendlich vielen Elemente, aus denen die verlangte Größe bestehen soll.

Es kann daher nur oberflächlich gesagt werden, dass die Integralrechnung bloß das umgekehrte, überhaupt jedoch schwierigere Problem der Differentialrechnung sei; das reelle Interesse der Integralrechnung geht vielmehr ausschließlich auf das Verhältnis der ursprünglichen und der abgeleiteten Funktion in den konkreten Gegenständen, zu einander.

Lagrange ist ebenso wenig in diesem Teile des Calculs darauf eingegangen, die Schwierigkeit der Probleme auf die glatte Weise jener direkten Annahmen abzuthun. Es wird zur Erläuterung der Natur der Sache beitragen, gleichfalls das Nähere seines Verfahrens aus einigen wenigen Beispielen anzugeben. Dasselbe macht es sich eben zur Aufgabe, für sich zu beweisen, dass zwischen besondern Bestimmungen eines mathematischen Ganzen z. B. einer Kurve, ein Verhältnis von der ursprünglichen zu der abgeleiteten Funktion statt finde. Dies kann nun aber in diesem Felde vermöge der Natur des Verhältnisses selbst, welches am mathematischen Gegenstande, krumme mit geraden Linien, lineare Dimensionen und Funktionen derselben mit Ebenen-Flächen-Dimensionen und deren Funktion u.s.f. also qualitativ verschiedene in Beziehung bringt, nicht auf direkte Weise bewerkstelligt werden, die Bestimmung lässt sich so nur als die Mitte zwischen einem Grössern und Kleinern auffassen. Hiermit tritt von selbst wohl wieder die Form eines Zuwachses mit Plus und Minus ein, und das rüstige: Développons, ist an seiner Stelle; aber wie die Zuwächse hier nur arithmetische, endliche Bedeutung haben, davon ist vorhin gesprochen worden. Aus der Entwicklung jener Bedingung, dass die zu bestimmende Größe größer als die eine leicht bestimmbare Grenze und kleiner als die andere sei, wird dann z. B. hergeleitet, dass die Funktion der Ordinate die abgeleitete erste Funktion zu der Funktion der Area ist.

Die Rektifikation der Kurven, wie sie von Lagrange aufgezeigt wird, indem er von dem archimedischen Prinzip ausgeht, hat das Interesse, die Übersetzung der archimedischen Methode in das Prinzip der neuern Analysis einzusehen, was einen Blick in das Innere und in den wahrhaften Sinn des auf die andere Art mechanisch betriebenen Geschäftes tun lässt. Die Verfahrungsweise ist der so eben angegebenen notwendig analog; das archimedische Prinzip, dass der Bogen einer Kurve größer ist, als seine Chorde und kleiner als die Summe zweier an den Endpunkten des Bogens, gezogenen Tangenten, insoweit sie zwischen diesen Puncten und ihrem Durchschnittspunkt enthalten sind, gibt keine direkte Gleichung. Die Übertragung jener archimedischen Grundbestimmung in die moderne analytische Form ist die Erfindung eines Ausdrucks, der für sich eine einfache Grundgleichung sei, während jene Form nur die Forderung aufstellt, zwischen einem zu Großen und zu Kleinen, die sich jedesmal bestimmt haben, ins Unendliche fortzugehen, welches Fortgehen wieder immer nur ein neues zu Großes und ein neues zu Kleines jedoch in immer engern Grenzen gibt. Vermittelst des Formalismus des Unendlichkleinen wird sogleich die Gleichung dz² = dx² + dy² angesetzt. Die Lagrange’sche Exposition ausgehend von der angegebenen Grundlage zeigt hingegen auf, dass die Größe des Bogens die ursprüngliche Funktion ist zu einer abgeleiteten, von der das eigentümliche Glied selbst eine Funktion aus dem Verhältnisse einer abgeleiteten zu der ursprünglichen der Ordinate ist.

Weil in dem archimedischen Verfahren, wie dann später in der Kepplerschen Behandlung stereometrischer Gegenstände, die Vorstellung vom Unendlichkleinen vorkommt, so ist dies so oft als eine Autorität für den Gebrauch, der von dieser Vorstellung in dem Differentialcalcul gemacht wird, angeführt worden, ohne dass das Eigentümliche und Unterscheidende herausgehoben worden wäre. Das Unendlichkleine bedeutet zunächst die Negation des Quantums als eines solchen, d. i. eines sogenannten endlichen Ausdrucks, der vollendeten Bestimmtheit, wie sie das Quantum als solches hat. Ebenso ist in den darauf folgenden berühmten Methoden des Valerius, Cavalleri u. a., die sich auf die Betrachtung der Verhältnisse geometrischer Gegenstände gründen, die Grundbestimmung, dass das Quantum als solches der Bestimmungen, welche nur im Verhältnisse zunächst betrachtet werden, für diesen Behuf auf die Seite gestellt und sie hiernach als ein Nicht-Großes sollen genommen werden. Aber teils ist hiermit das Affirmative überhaupt, welches hinter der bloß negativen Bestimmung liegt, nicht erkannt und herausgehoben, welches sich oben abstrakt als die qualitative Grössebestimmtheit, und diese bestimmter in dem Potenzenverhältnisse liegend, sich ergeben hat; – teils aber, indem dies Verhältnis selbst wieder eine Menge näher bestimmter Verhältnisse in sich begreift, wie das einer Potenz und deren Entwicklungsfunktion, so haben sie auch wieder auf die allgemeine und negative Bestimmung desselben Unendlichkleinen gegründet und daraus abgeleitet werden sollen. In der eben ausgehobenen Lagrangeschen Exposition ist das bestimmte Affirmative, das in der archimedischen Entwicklungsweise der Aufgabe liegt, gefunden und damit dem mit einem unbegrenzten Herausgehen behafteten Verfahren seine richtige Grenze gegeben worden. Das Grosse der modernen Erfindung für sich und ihre Fähigkeit vorher intractable Probleme zu lösen, und die früher lösbaren auf eine einfache Weise zu behandeln, ist allein in die Entdeckung des Verhältnisses der ursprünglichen zu den sogenannten abgeleiteten und der Teile, welche an einem mathematischen Ganzen in solchem Verhältnisse stehen, zu setzen.

Die gemachten Anführungen mögen für den Zweck genügen, das Eigentümliche des Verhältnisses von Größen herauszuheben, welches der Gegenstand der in Rede stehenden besondern Art des Calculs ist. Diese Anführungen konnten sich auf einfache Probleme und deren Auflösungsweisen beschränken; und weder wäre es für die Begriffsbestimmung, um die es hier allein zu tun war, zweckmäßig gewesen, noch hätte es in dem Vermögen des Verfassers gestanden, den gesamten Umfang der sogenannten Anwendung der Differential- und Integralrechnung vorzunehmen und die Induktion, dass das aufgezeigte Prinzip derselben zu Grunde liege, durch die Zurückführung aller ihrer Probleme und deren Lösungen darauf, zu vervollständigen. Das Beigebrachte hat aber hinreichend gezeigt, dass wie jede besondere Rechnungsweise eine besondere Bestimmtheit oder Verhältnis der Größe zu ihrem Gegenstande hat, und ein solches das Addieren, Multipliciren, das Erheben in Potenzen und Ausziehen der Wurzeln, die Rechnung mit Logarithmen, Reihen u.s.f., konstituiert, ebenso der Differential- und Integralcalcul; für das diesem Calcul angehörige möchte der Nahme des Verhältnisses einer Potenzenfunktion und der Funktion ihrer Entwicklung oder Potenzierung der passendste sein, weil er der Einsicht der Natur der Sache am nächsten liegt. Nur wie die Operationen nach den andern Grössenverhältnissen, wie Addieren u.s.f. bei diesem Calcul überhaupt gleichfalls gebraucht werden, werden auch die Logarithmen- Kreis- und Reihen-Verhältnisse angewendet, insbesondere um Ausdrücke zum Behuf der erfoderlichen Operationen des Ableitens der ursprünglichen aus den Entwicklungsfunktionen tractabler zu machen. Mit der Reiheform hat die Differential- und Integralrechnung wohl das nähere Interesse gemeinschaftlich, die Entwicklungsfunktionen, welche bei den Reihen die Coefficienten der Glieder heißen, zu bestimmen; aber indem das Interesse jenes Calculs nur auf das Verhältnis der ursprünglichen Funktion zu dem nächsten Coefficienten ihrer Entwicklung geht, will die Reihe in der nach Potenzen, die mit jenen Coefficienten versehen sind, geordneten Menge von Gliedern eine Summe darstellen. Das Unendliche, das bei der unendlichen Reihe vorkommt, der unbestimmte Ausdruck des Negativen des Quantums überhaupt, hat mit der affirmativen Bestimmung, welche im Unendlichen jenes Calculs liegt, nichts gemein. Ebenso ist das Unendlichkleine, als der Zuwachs, vermittelst dessen die Entwicklung in die Form der Reihe fällt, nur ein äußeres Mittel für die Entwicklung, und seine sogenannte Unendlichkeit ohne alle andere Bedeutung, als die, sonst gar keine zu haben, als die jenes Mittels; die Reihe, da sie in der Tat es nicht ist, die verlangt wird, führt ein Zuviel herbei, welches wieder wegzubringen, die überflüssige Mühe macht. Von dieser Mühe ist die Methode Lagrange’s, der die Form der Reihe vorzugsweise wieder aufgenommen hat, gleichfalls gedrückt; obgleich sie es ist, durch welche in dem, was die Anwendung genannt wird, die wahre Eigentümlichkeit sich heraushebt, indem ohne die Formen von dx, dy u.s.f. in die Gegenstände hinein zu zwängen, direkt derjenige Teil nachgewiesen wird, dem an ihnen die Bestimmtheit der abgeleiteten (– Entwicklungs –) Funktion zukommt, und es sich damit zeigt, dass die Form der Reihe hier nicht das ist, um das es sich handelt.¹³

Anmerkung 3. Noch andere mit der qualitativen Größenbestimmtheit zusammenhängende Formen

Das Unendlichkleine der Differentialrechnung ist in seinem affirmativen Sinn als die qualitative Größenbestimmtheit, und von dieser näher aufgezeigt worden, dass sie in diesem Calcul als Potenzenbestimmtheit nicht nur überhaupt, sondern als die besondere des Verhältnisses einer Potenzenfunktion zu der Entwicklungspotenz vorhanden ist. Die qualitative Bestimmtheit ist aber auch noch in weiterer, so zu sagen, schwächerer Form vorhanden, und diese, wie auch der damit zusammenhängende Gebrauch des Unendlichkleinen und dessen Sinn in diesem Gebrauche, soll noch in dieser Anmerkung betrachtet werden.

Es ist, indem wir vom vorhergehenden ausgehen, in dieser Rücksicht zuerst daran zu erinnern, dass die unterschiedenen Potenzenbestimmungen von der analytischen Seite zunächst so hervortreten, dass sie nur formell, und ganz homogen darin sind, dass sie Zahlengrössen bedeuten, die als solche jene qualitative Verschiedenheit gegeneinander nicht haben. Aber in der Anwendung auf räumliche Gegenstände zeigt sich das analytische Verhältnis ganz in seiner qualitativen Bestimmtheit, als das Übergehen von linearen zu Flächenbestimmungen, von geradlinigten zu krummlinigten u.s.f. Diese Anwendung bringt es ferner mit sich, dass die räumlichen ihrer Natur nach in Form von kontinuierlichen Größen gegebenen Gegenstände in diskreter Weise gefasst werden, die Fläche also als eine Menge von Linien, die Linie als eine Menge von Punkten u.s.f. Diese Auflösung hat das einzige Interesse, die Punkte, in welche die Linie, die Linien, in welche die Fläche u.s.f. aufgelöst ist, selbst zu bestimmen, um von solcher Bestimmung aus analytisch, d. h. eigentlich arithmetisch fortgehen zu können; diese Ausgangspunkte sind für die zu findenden Grössebestimmungen die Elemente, aus welchen die Funktion und Gleichung für das Konkrete, die kontinuierliche Größe, abgeleitet werden soll. Für die Probleme, wo sich vornehmlich das Interesse zeigt, dies Verfahren zu gebrauchen, wird im Elemente für den Ausgang ein für sich selbst bestimmtes verlangt, gegen den Gang, der indirekt ist, indem er im Gegenteil nur mit Grenzen beginnen kann, zwischen welchen das Fürsichbestimmte liege, auf das als sein Ziel er losgehe. Das Resultat läuft in beiden Methoden dann auf dasselbe hinaus, wenn sich nur das Gesetz des weitern Fortbestimmens finden lässt, ohne die gefoderte vollkommene d. h. sogenannte endliche Bestimmung erlangen zu können. Kepplern wird die Ehre zugeschrieben, zuerst den Gedanken jener Umkehrung des Ganges gehabt und das Discrete zum Ausgangspunkte gemacht zu haben. Seine Erklärung, wie er den ersten Satz in Archimed’s Kreismessung verstehe, drückt dies auf eine einfache Weise aus. Der erste Satz Archimed’s ist bekanntlich, dass der Kreis einem rechtwinkligen Dreieck gleich ist, dessen eine Kathete dem Halbmesser, die andere dem Umfange des Kreises gleich ist. Indem Keppler den Sinn dieses Satzes so nimmt, dass die Peripherie des Kreises ebenso viele Teile als Punkte, d. i. unendlich viele habe, deren jeder als die Grundlinie eines gleichschenklichten Dreiecks betrachtet werden könne, u.s.f., so spricht er die Auflösung des Continuirlichen in die Form des Diskreten aus. Der Ausdruck des Unendlichen, der hierbei vorkommt, ist noch weit entfernt von der Bestimmung, die er in dem Differentialcalcul haben soll. – Wenn nun für solche discrete eine Bestimmtheit, Funktion gefunden ist, so sollen sie ferner zusammengefasst werden, wesentlich als Elemente des Continuirlichen sein. Da aber eine Summe von Punkten keine Linie, eine Summe von Linien keine Fläche gibt, werden die Punkte schon sogleich als lineare genommen, wie die Linien als flächenhafte. Weil jedoch zugleich jene Lineare noch keine Linien sein sollen, was sie sein würden, wenn sie als Quantum genommen würden, so werden sie als unendlich klein vorgestellt. Das Discrete ist nur eines äußerlichen Zusammenfassens fähig, in welchem die Momente den Sinn von discretem Eins behalten; der analytische Übergang von denselben geschieht nur zu ihrer Summe, er ist nicht zugleich der geometrische von dem Punkte in die Linie, oder von der Linie in die Fläche u.s.f.; dem Elemente, das als Punkt oder als Linie seine Bestimmung hat, wird daher zugleich auch mit jenem die lineare, dieser die Flächen-qualität gegeben, damit die Summe als von kleinen Linien eine Linie, als von kleinen Flächen eine Fläche werde.

Das Bedürfnis, dies Moment des qualitativen Übergangs zu erhalten und dafür zu dem Unendlich-kleinen die Zuflucht zu nehmen, muss als die Quelle aller der Vorstellungen angesehen werden, welche, indem sie jene Schwierigkeit ausgleichen sollen, an ihnen selbst die gröste Schwierigkeit sind. Diese Nothhülfe entbehrlich zu machen, müsste gezeigt werden können, dass in dem analytischen Verfahren selbst, welches als ein bloßes Summiren erscheint, in der Tat schon ein Multipliciren enthalten ist. Aber in dieser Rücksicht tritt eine neue Annahme, welche die Grundlage in dieser Anwendung arithmetischer Verhältnisse auf geometrische Figurationen ausmacht, ein, nämlich dass das arithmetische Multipliciren auch für die geometrische Bestimmung ein Übergang in eine höhere Dimension, – die arithmetische Multiplikation von Größen, die ihrer räumlichen Bestimmung nach Linien sind, zugleich eine Produktion des Linearen zur Flächenbestimmung sei; 3mal 4 lineare Fuße gibt 12 lineare Fuße, aber 3 lineare Fuße, mal 4 linearen Fußen gibt 12 Flächenfuße, und zwar Quadratfuße, indem die Einheit in beiden als diskreten Größen dieselbe ist. Die Multiplikation von Linien mit Linien bietet sich zunächst als etwas widersinniges dar, insofern die Multiplikation überhaupt Zahlen betrifft, d. i. eine Veränderung von solchen ist, welche mit dem, in das sie übergehen, mit dem Produkte ganz homogen sind, und nur die Größe verändern. Dagegen ist das, was Multipliciren der Linie als solcher mit Linie hieße, – es ist, ductus lineae in lineam, wie plani in planum genannt worden, es ist auch ductus puncti in lineam – eine Veränderung nicht bloß der Größe, sondern ihrer als qualitativer Bestimmung der Räumlichkeit, als einer Dimension; das Übergehen der Linie in Fläche ist als Aussersichkommen derselben zu fassen, wie das Aussersichkommen des Punktes die Linie, der Fläche ein ganzer Raum ist. Es ist dies dasselbe, was so vorgestellt wird, dass die Bewegung des Punktes die Linie u.s.f. sei; aber die Bewegung schließt die Zeitbestimmung ein, und erscheint so in jener Vorstellung mehr nur als eine Zufällige, äußerliche Veränderung des Zustands; es ist aber die Begriffsbestimmtheit, die als Aussersichkommen ausgedrückt worden, zu nehmen, – die qualitative Veränderung, und welche arithmetisch ein Multipliciren, der Einheit (als des Punktes u.s.f.) in die Anzahl (in die Linie u.s.f.) ist. – Es kann hierzu noch bemerkt werden, dass bei dem Aussersichkommen der Fläche, was als ein Multipliciren von Fläche in Fläche erscheinen würde, sich der Schein eines Unterschiedes des arithmetischen und geometrischen Produzierens so ergibt, dass das Aussersichkommen der Fläche, als ductus plani in planum arithmetisch eine Multiplikation der zweiten Dimensionsbestimmung mit solcher, hiermit ein Produkt von vier Dimensionen gäbe, das aber durch die geometrische Bestimmung auf drei herabgesetzt wird. Wenn auf der einen Seite die Zahl darum, weil sie das Eins zu ihrem Prinzip hat, die feste Bestimmung für das äußerliche Quantitative gibt, so sehr ist ihr Produzieren formell; 3 · 3 als Zahlbestimmung genommen sich selbst producirend ist 3 · 3 · 3 · 3; aber dieselbe Größe als Flächenbestimmung sich producirend wird bei 3 · 3 · 3 zurückgehalten, weil der Raum als ein Hinausgehen vom Punkte, der nur abstrakten Grenze, aus vorgestellt, seine wahrhafte Grenze, als konkrete Bestimmtheit von der Linie aus in der dritten Dimension hat. Der angeführte Unterschied könnte sich in Rücksicht der freien Bewegung, worin die eine die räumliche Seite, unter der geometrischen Bestimmung (im Kepplerischen Gesetze s³ : t²), die andere, die zeitliche Seite unter der arithmetischen steht, von Wirksamkeit zeigen.

Wie das Qualitative, das hier betrachtet wird, von dem Gegenstande der vor. Anm. verschieden ist, kann nun ohne weitere Bemerkung von selbst erhellen. In dieser lag das Qualitative in der Potenzenbestimmtheit; hier ist dasselbe, wie das Unendlichkleine, nur als Faktor arithmetisch gegen das Produkt, oder als Punkt gegen die Linie, Linie gegen Fläche u.s.f. Der qualitative Übergang nun, der von dem Diskreten, als in welches die kontinuierliche Größe aufgelöst vorgestellt wird, zu dem Continuirlichen zu machen ist, wird als ein Summiren bewerkstelligt.

Dass aber die angebliche bloße Summation in der Tat eine Multiplikation, also den Übergang von der linearen in die Flächenbestimmung in sich selbst enthält, erscheint am einfachsten in der Art, wie zum Beispiel gezeigt wird, dass der Flächeninhalt eines Trapezes gleich sei dem Produkt der Summe der beiden gegenüberstehenden parallelen Linien in die halbe Höhe. Diese Höhe wird nur als die Anzahl von einer Menge diskreter Größen vorgestellt, welche summiert werden sollen. Diese Größen sind Linien, die parallel zwischen jenen zwei begrenzenden Parallelen liegen; es sind deren unendlich viele; denn sie sollen die Fläche ausmachen, sind aber Linien, welche also um ein Flächenhaftes zu sein, zugleich mit der Negation gesetzt werden müssen. Um der Schwierigkeit zu entgehen, dass eine Summe von Linien eine Fläche geben sollte, werden Linien sogleich als Flächen aber gleichfalls als unendlich dünne angenommen, denn ihre Determination haben sie allein in dem Linearen der parallelen Grenzen des Trapezes. Als parallel und durch das andre Paar der geradlinigten Seiten des Trapezes begrenzt, können sie als die Glieder einer arithmetischen Progression vorgestellt werden, deren Differenz dieselbe überhaupt ist, aber nicht bestimmt zu werden braucht, und deren erstes und letztes Glied jene beiden Parallelen sind; die Summe solcher Reihe ist bekanntlich das Produkt jener Parallelen in die halbe Anzahl der Glieder. Dies letzte Quantum ist nur ganz relativ auf die Vorstellung von den unendlich vielen Linien Anzahl genannt; es ist die Größebestimmtheit überhaupt eines Continuirlichen, – der Höhe. Es ist deutlich, dass was Summe heißt, zugleich ein ductus lineae in lineam, Multipliciren von Linearem mit Linearem, nach obiger Bestimmung ein Hervorgehen von Flächenhaftem ist. In dem einfachsten Falle nun eines Rectangels überhaupt a b ist jeder der beiden Faktoren eine einfache Größe, aber schon in dem weitern selbst elementarischen Beispiele vom Trapez ist nur der eine Faktor das Einfache der halben Höhe, der andere dagegen wird durch eine Progression bestimmt; er ist gleichfalls ein lineares, dessen Größebestimmtheit aber verwickelter ist; insofern sie nur durch eine Reihe ausgedrückt werden kann, so heißt analytisch, d. h. arithmetisch das Interesse, sie zu summiren; das geometrische Moment darin aber ist die Multiplikation, das Qualitative des Übergangs aus der Dimension der Linie in die Fläche; der eine Faktor ist diskret nur für die arithmetische Bestimmung des andern genommen worden, und ist für sich, wie dieser, die Größe eines Linearen.

Das Verfahren, Flächen als Summen von Linien vorzustellen, wird aber auch häufig gebraucht, wo nicht eine Multiplikation als solche zu Behufe des Resultats Statt hat. Dies geschieht, wo es nicht darum zu tun ist, die Größe in der Gleichung als Quantum anzugeben, sondern in einer Proportion. Es ist z. B. eine bekannte Art zu zeigen, dass eine Kreisfläche sich zur Fläche einer Ellipse, deren große Achse der Diameter jenes Kreises ist, verhalte wie die große zur kleinen Achse, indem jede dieser Flächen als die Summe der ihr zugehörigen Ordinaten genommen wird; jede Ordinate der Ellipse verhält sich zu der entsprechenden des Kreises wie die kleine zur großen Achse, also wird geschlossen, verhalten [sich] auch die Summen der Ordinaten d. i. die Flächen ebenso. Diejenigen, welche dabei die Vorstellung der Fläche als eine Summe von Linien vermeiden wollen, machen die Ordinaten mit der gewöhnlichen ganz überflüssigen Aushilfe zu Trapezen von unendlich kleiner Breite; da die Gleichung nur eine Proportion ist, kommt nur das Eine der zwei linearen Elemente der Fläche in Vergleichung. Das andere, die Abscissenachse, ist in Ellipse und Kreis als gleich, als Faktor arithmetischer Größebestimmung also gleich = 1 angenommen, und die Proportion daher ganz nur von dem Verhältnis des einen bestimmenden Moments abhängig. Zur Vorstellung der Fläche sind die zwei Dimensionen notwendig; aber die Größebestimmung, wie sie in jener Proportion angegeben werden soll, geht nur auf das eine Moment allein; der Vorstellung damit nachgeben oder aufhelfen, dass die Vorstellung von Summe zu diesem einen Momente hinzugefügt wird, ist eigentlich eine Verkennung dessen, worauf es hier für die mathematische Bestimmtheit ankömmt.

Was hier auseinandergesetzt worden, enthält auch das Kriterium für die früher erwähnte Methode der Unteilbaren des Cavalleri, die damit ebenso gerechtfertigt ist, und der Zuflucht zu dem Unendlichkleinen nicht bedarf. Diese Unteilbaren sind Linien, indem er eine Fläche, oder Quadrate, Kreisflächen, indem er eine Pyramide oder Conus u.s.f. betrachtet; die als bestimmt angenommene Grundlinie, Grundfläche nennt er die Regel; es ist die Konstante, in Beziehung auf eine Reihe das erste oder letzte Glied derselben; mit ihr werden jene Unteilbaren parallel, also in gleicher Bestimmung in Rücksicht der Figur betrachtet. Der allgemeine Grundsatz Cavalleri’s ist nun, (Exerc. Geometr. VI. – das spätere Werk – Exerc. I. p. 6.), dass alle sowohl ebene, als körperliche Figuren im Verhältnisse aller ihrer Indivisibilien sind, diese collective und wenn etwa ein gemeinschaftliches Verhältnis in solchen Statt findet, distributive mit einander verglichen.« – Er vergleicht zu diesem Behufe in den Figuren von gleicher Grundlinie und Höhe gemacht, die Verhältnisse von den Linien, die parallel mit jener und in gleicher Entfernung mit ihr gezogen werden; alle solche Linien einer Figur haben eine und dieselbe Bestimmung, und machen deren ganzen Inhalt aus. Auf solche Weise beweist Cavalleri z. B. auch den elementarischen Satz, dass Parallelogramme von gleicher Höhe im Verhältnisse ihrer Grundlinie sind; jede zwei Linien, in gleicher Entfernung von der Grundlinie und mit ihr parallel, in beiden Figuren gezogen, sind in demselben Verhältnisse der Grundlinien, als die ganzen Figuren. In der Tat machen die Linien nicht den Inhalt der Figur als kontinuierlicher aus, aber den Inhalt, insofern er arithmetisch bestimmt werden soll; das Lineare ist sein Element, durch welches allein die Bestimmtheit desselben gefasst werden muss.

Wir werden hierbei darauf geführt, auf den Unterschied zu reflektieren, der in Ansehung dessen Statt findet, worein die Bestimmtheit einer Figur fällt, nämlich entweder ist sie beschaffen, wie hier die Höhe der Figur, oder ist sie äußere Grenze. Insofern sie als äußere Grenze ist, gibt man zu, dass der Gleichheit oder dem Verhältnisse der Grenze die Kontinuität der Figur so zu sagen folgt; z. B. die Gleichheit der Figuren, die sich decken, beruht darauf, dass die begrenzenden Linien sich decken. Bei Parallelogrammen aber von gleicher Höhe und Grundlinie ist nur die letztere Bestimmtheit eine äußere Grenze; die Höhe, nicht die Paralleleität überhaupt, auf welcher die zweite Hauptbestimmung der Figuren, ihr Verhältnis, beruht, führt ein zweites Prinzip der Bestimmung zu den äußern Grenzen herbei. Der Euklidische Beweis von der Gleichheit der Parallelogramme, die gleiche Höhe und Grundlinie haben, führt sie auf Dreiecke zurück, auf äußerlich begrenzte Kontinuierliche; in Cavalleri’s Beweis, zunächst über die Proportionalität von Parallelogrammen, ist die Grenze Größe-Bestimmtheit als solche überhaupt, welche als an jedem Paare von Linien, die mit gleichem Abstand in beiden Figuren gezogen werden, genommen, expliziert wird. Diese gleichen oder in gleichem Verhältnis mit der Grundlinie stehenden Linien, collectiv genommen, geben die in gleichem Verhältnisse stehenden Figuren. Die Vorstellung eines Aggregats von Linien geht gegen die Kontinuität der Figur; allein die Betrachtung der Linien erschöpft die Bestimmtheit, auf welche es ankommt, vollkommen. Cavalleri gibt häufige Antwort auf die Schwierigkeit, als ob die Vorstellung von den Unteilbaren es mit sich führe, dass der Anzahl nach unendliche Linien oder Ebenen verglichen werden sollen, (Geom. Lib. II. Prop. I. Schol.); er macht den richtigen Unterschied, dass er nicht die Anzahl derselben, welche wir nicht kennen, – d. i. vielmehr die, wie bemerkt worden, eine zu Hilfe genommene leere Vorstellung ist, – sondern nur die Größe, d. i. die quantitative Bestimmtheit als solche, welche dem von diesen Linien eingenommenen Raume gleich ist, vergleiche; weil dieser in Grenzen eingeschlossen ist, ist auch jene seine Größe in dieselben Grenzen eingeschlossen; das Kontinuierliche ist nichts anderes, als die Unteilbaren selbst, sagt er; wäre es etwas außer diesen, so wäre es nicht vergleichbar; es würde aber ungereimt sein, zu sagen, begrenzte Kontinuierliche seien nicht miteinander vergleichbar.

Man sieht, dass Cavalleri dasjenige, was zur äußerlichen Existenz des Continuirlichen gehört, von demjenigen unterscheiden will, worein dessen Bestimmtheit fällt und das für die Vergleichung und zum Behufe von Theoremen über dasselbe allein herauszuheben ist. Die Kategorien, die er dabei gebraucht, dass das Kontinuierliche aus den Unteilbaren zusammengesetzt sei oder bestehe und dergleichen, sind freilich nicht genügend, weil dabei die Anschauung des Continuirlichen oder, wie vorhin gesagt, dessen äußerliche Existenz, zugleich in Anspruch genommen wird; statt zu sagen, »dass das Kontinuierliche nichts anderes ist, als die Unteilbaren selbst,« würde es richtiger und damit auch sogleich für sich klar heißen, dass die Größebestimmtheit des Continuirlichen keine andere ist, als die der Unteilbaren selbst. – Cavalleri macht sich nichts aus der schlechten Folgerung, dass es größere und kleinere Unendliche gebe, welche aus der Vorstellung, dass die Unteilbaren das Kontinuierliche ausmachen, von der Schule gezogen werde, und drückt weiterhin (Geom. Lib. VII. Praef.) das bestimmtere Bewusstsein aus, dass er durch seine Beweisart keineswegs zur Vorstellung der Zusammensetzung des Continuirlichen aus dem Unteilbaren genötigt sei; die Continuirlichen folgen nur der Proportion der Unteilbaren. Er habe die Aggregate der Unteilbaren nicht so genommen, wie sie in die Bestimmung der Unendlichkeit, um einer unendlichen Menge von Linien oder Ebenen willen, zu verfallen scheinen, sondern insofern sie eine bestimmte Beschaffenheit und Natur der Begrenztheit an ihnen haben. Um denn aber doch diesen Stein des Anstoßes zu entfernen, lässt er sich die Mühe nicht verdrießen, noch in dem eigens dafür hinzugefügten siebenten Buche, die Hauptsätze seiner Geometrie auf eine Art zu beweisen, welche von der Einmischung der Unendlichkeit frei bleibe. – Diese Manier reduziert die Beweise auf die vorhin angeführte, gewöhnliche Form des Deckens der Figuren, d. i. wie bemerkt worden, der Vorstellung der Bestimmtheit als äußerer Raumgrenze.

Über diese Form des Deckens kann zunächst noch diese Bemerkung gemacht werden, dass sie überhaupt eine so zu sagen kindliche Hilfe für die sinnliche Anschauung ist. In den elementarischen Sätzen über die Dreiecke werden zwei solche neben einander vorgestellt, und indem von ihren je sechs Stücken gewisse drei als gleich groß mit den entsprechenden drei des andern Dreiecks angenommen werden, so wird gezeigt, dass solche Dreiecke einander congruent seien, d. i. jedes auch die übrigen drei Stücke gleich groß mit denen des andern habe, – weil sie vermöge der Gleichheit nach jenen drei ersten einander decken. Die Sache abstrakter gefasst, so ist eben um dieser Gleichheit jeden Paars der in beiden einander entsprechenden Stücke, nur Ein Dreieck vorhanden; in diesem sind drei Stücke als bereits bestimmt angenommen, woraus denn die Bestimmtheit auch der drei übrigen Stücke folgt. Die Bestimmtheit wird auf diese Weise als in drei Stücken vollendet aufgezeigt; für die Bestimmtheit als solche sind somit die drei übrigen Stücke ein Überfluß, der Überfluß der sinnlichen Existenz, d. i. der Anschauung der Kontinuität. In solcher Form ausgesprochen, tritt hier die qualitative Bestimmtheit im Unterschiede von dem hervor, was in der Anschauung vorliegt, dem Ganzen als einem in sich kontinuierlichen; das Decken lässt diesen Unterschied nicht zum Bewusstsein kommen.

Mit den Parallel-Linien und bei den Parallelogrammen tritt, wie bemerkt worden, ein neuer Umstand, teils die Gleichheit nur der Winkel teils die Höhe der Figuren ein, von welcher letztern deren äußere Grenzen, die Seiten der Parallelogramme, unterschieden sind. Hierbei kommt die Zweideutigkeit zum Vorschein, inwiefern bei diesen Figuren außer der Bestimmtheit der einen Seite, der Grundlinie, welche als äußere Grenze ist, für die andere Bestimmtheit, die andere äußere Grenze, nämlich die andere Seite des Parallelogramms, oder aber die Höhe zu nehmen ist. Bei zwei solchen Figuren von einerlei Grundlinie und Höhe, wovon das eine rechtwincklich ist, das andere sehr spitze, damit zu den gegenüberstehenden sehr stumpfe Winkel hat, kann der Anschauung letzteres leicht größer scheinen, als das erstere, insofern sie die vorliegende große Seite desselben als bestimmend nimmt, und nach der Vorstellungsweise Cavalleri’s die Ebenen nach einer Menge von parallelen Linien, durch welche sie durchschnitten werden können, vergleicht; die größere Seite könnte als eine Möglichkeit von mehrern Linien, als die senkrechte Seite des Rechtecks gibt, angesehen werden. Solche Vorstellung gibt jedoch keinen Einwurf gegen Cavalleri’s Methode an die Hand; denn die in beiden Parallelogrammen für die Vergleichung vorgestellte Menge von parallelen Linien setzt die Gleichheit ihrer Entfernung von einander oder von der Grundlinie zugleich voraus, woraus folgt, dass die Höhe, und nicht die andere Seite des Parallelogramms, das andere bestimmende Moment ist. Dies ändert sich aber ferner, wenn zwei Parallelogramme mit einander verglichen werden, die von gleicher Höhe und Grundlinie sind, aber nicht in Einer Ebene liegen, und zu einer dritten Ebene verschiedene Winkel machen; hier sind die parallelen Durchschnitte, die entstehen, wenn man sich die dritte Ebene durch sie gelegt und sich parallel mit sich fortbewegend vorstellt, nicht mehr gleich weit von einander entfernt, und jene zwei Ebenen sind einander ungleich. Cavalleri macht sehr sorgfältig auf diesen Unterschied, den er als einen Unterschied von transitus rectus und transitus obliquus der Unteilbaren bestimmt, (gleich in Exercit. I. n. XII. ff. wie schon in der Geometr. 1. II.) aufmerksam, und schneidet damit oberflächlichen Missverstand ab, der nach dieser Seite entstehen könnte. Ich erinnere mich, dass Barrow in seinem obenangeführten Werke (Lect. Geom. II. p. 21), indem er die Methode der Unteilbaren gleichfalls gebraucht, jedoch sie bereits mit der von ihm aus auf seinen Schüler Newton und die sonstigen mathematischen Zeitgenossen, darunter auch Leibnitz, übergegangenen Annahme der Gleichsetzbarkeit eines krummlinigten Dreiecks, wie das sogenannte charakteristische ist, mit einem geradlinigten, insofern beide unendlich d. h. sehr klein seien, versetzt und verunreinigt hat, – einen eben dahin gehenden Einwurf Tacquet’s, eines damaligen in neuen Methoden gleichfalls tätigen, scharfsinnigen Geometers, anführte. Die von diesem gemachte Schwierigkeit bezieht sich ebenfalls darauf, welche Linie und zwar bei Berechnung konischer und sphärischer Oberflächen als Grundmoment der Bestimmung für die auf Anwendung des Diskreten gestützte Betrachtung genommen werden solle. Tacquet wende gegen die Methode der Unteilbaren ein, dass wenn die Oberfläche eines rechtwinkligen Kegels berechnet werden solle, so werde nach jener atomistischen Methode das Dreieck des Kegels als zusammengesetzt aus den geraden, mit der Grundlinie parallelen auf die Achse senkrechten Linien vorgestellt, welche zugleich die Radien der Kreise sind, aus denen die Oberfläche des Kegels bestehe. Wenn nun diese Oberfläche als Summe der Peripherien, und diese Summe aus der Anzahl ihrer Radien, d. i. der Größe der Achse, der Höhe des Kegels, bestimmt werde, so sei solches Resultat mit der sonst von Archimed gelehrten und bewiesenen Wahrheit im Widerspruch. Barrow zeigt nun dagegen, dass für die Bestimmung der Oberfläche nicht die Achse, sondern die Seite des Dreiecks des Kegels als diejenige Linie genommen werden müsse, deren Umdrehung die Oberfläche erzeuge, und welche daher, und nicht die Achse, als die Größebestimmtheit für die Menge der Peripherien angenommen werden müsse.

Dergleichen Einwürfe oder Unsicherheiten haben ihre Quelle allein in der gebrauchten unbestimmten Vorstellung der unendlichen Menge von Punkten, aus denen die Linie, oder von Linien, aus denen die Fläche u.s.f. bestehend angesehen wird; durch diese Vorstellung wird die wesentliche Grössebestimmtheit der Linien oder Flächen in Schatten gestellt. – Es ist die Absicht dieser Anmerkungen gewesen, die affirmativen Bestimmungen, die bei dem verschiedenen Gebrauch, der von dem Unendlich-kleinen in der Mathematik gemacht wird, so zu sagen im Hintergrunde bleiben, aufzuweisen und sie aus der Nebulosität hervorzuheben, in welche sie durch jene bloß negativ gehaltene Kategorie gehüllt werden. Bei der unendlichen Reihe, wie in der Archimedischen Kreismessung bedeutet das Unendliche nichts weiter, als dass das Gesetz der Fortbestimmung bekannt ist, aber der sogenannte endliche Ausdruck, d. i. der arithmetische, nicht gegeben, die Zurückführung des Bogens auf die gerade Linie nicht bewerkstelligt werden kann; diese Inkommensurabilität ist die qualitative Verschiedenheit derselben. Die qualitative Verschiedenheit des Diskreten mit dem Continuirlichen überhaupt, enthält gleichfalls eine negative Bestimmung, welche sie als inkommensurabel erscheinen lässt, und das Unendliche herbei führt, in dem Sinne, dass das als diskret zu nehmende Kontinuierliche nun kein Quantum nach seiner kontinuierlichen Bestimmtheit mehr haben soll. Das Kontinuierliche, das arithmetisch als Produkt zu nehmen ist, ist damit diskret an ihm selbst gesetzt, nämlich in die Elemente, die seine Faktoren sind, zerlegt; in diesen liegt seine Größebestimmtheit; sie sind als ebendamit, dass sie diese Faktoren oder Elemente sind, von einer niedrigern Dimension, und insofern die Potenzenbestimmtheit eintritt, von einer niedrigern Potenz als die Größe, deren Elemente oder Faktoren sie sind. Arithmetisch erscheint dieser Unterschied als ein bloß quantitativer, der Wurzel und der Potenz oder welcher Potenzenbestimmtheit es sei; jedoch wenn der Ausdruck nur auf das Quantitative als solches geht, z. B. a : a² oder da² = 2a:a² = 2:a, oder für das Gesetz des Falles, t : at² so gibt er die nichts sagenden Verhältnisse von 1:a, 2:a, 1:at; die Seiten müssten gegen ihre bloß quantitative Bestimmung durch die unterschiedene qualitative Bedeutung auseinander gehalten werden, wie s:at²; wodurch die Größe als eine Qualität ausgesprochen wird, als Funktion der Größe einer andern Qualität. Hierbei steht dann bloß die quantitative Bestimmtheit vor dem Bewusstsein, mit der nach ihrer Art ohne Schwierigkeit operiert wird, und man kann kein Arges daran haben, die Größe einer Linie mit der Größe einer andern Linie zu multiplizieren; aber die Multiplikation dieser selben Größen gibt zugleich die qualitative Veränderung des Überganges von Linie in Fläche; insofern tritt eine negative Bestimmung ein; sie ist es, welche die Schwierigkeit veranlaßt, die durch die Einsicht in ihre Eigentümlichkeit und in die einfache Natur der Sache gelöst, aber durch die Hilfe des Unendlichen, wodurch sie beseitigt werden soll, vielmehr nur in Verworrenheit gesetzt und ganz unaufgelöst erhalten wird.

Drittes Kapitel. Das quantitative Verhältnis

Die Unendlichkeit des Quantums ist dahin bestimmt worden, dass sie das negative Jenseits desselben ist, das es aber an ihm selbst hat. Dies Jenseits ist das Qualitative überhaupt. Das unendliche Quantum ist als die Einheit beider Momente, der quantitativen und der qualitativen Bestimmtheit, zunächst Verhältnis.

Im Verhältnisse hat das Quantum nicht mehr eine nur gleichgültige Bestimmtheit, sondern ist qualitativ bestimmt als schlechthin bezogen auf sein Jenseits. Es kontinuiert sich in sein Jenseits; dieses ist zunächst ein anderes Quantum überhaupt. Aber wesentlich sind sie nicht als äußerliche Quanta auf einander bezogen, sondern jedes hat seine Bestimmtheit in dieser Beziehung auf das Andere. Sie sind so in diesem ihrem Anderssein in sich zurückgekehrt; was jedes ist, ist es in dem Andern; das andere macht die Bestimmtheit eines jeden aus. – Das Hinausgehen des Quantums über sich hat also itzt diesen Sinn, weder dass es sich nur in ein anderes noch in sein abstraktes Anderes, in sein negatives Jenseits veränderte, sondern darin zu seiner Bestimmtheit gelangt ist; es findet sich selbst in seinem Jenseits, welches ein anderes Quantum ist. Die Qualität des Quantums, seine Begriffsbestimmtheit, ist seine Äußerlichkeit überhaupt, und im Verhältnis ist es nun so gesetzt, in seiner Äußerlichkeit, an einem andern Quantum, seine Bestimmtheit zu haben, in seinem Jenseits das zu sein, was es ist.

Es sind Quanta, welche die Beziehung, die sich ergab, auf einander haben. Diese Beziehung ist selbst auch eine Größe; das Quantum ist nicht nur im Verhältnis, sondern es selbst ist als Verhältnis gesetzt; es ist ein Quantum überhaupt, das jene qualitative Bestimmtheit innerhalb seiner hat. So als Verhältnis drückt es sich als in sich geschlossene Totalität und seine Gleichgültigkeit gegen die Grenze aus, dadurch dass es die Äußerlichkeit seines Bestimmtseins innerhalb seiner selbst hat, und in ihr nur auf sich bezogen, somit an ihm selbst unendlich ist.

Das Verhältnis überhaupt ist

1. das direkte Verhältnis. In demselben tritt das Qualitative noch nicht als solches für sich heraus; es ist noch in keiner weitern Weise, als der des Quantums, dass dieses in seiner Äußerlichkeit selbst seine Bestimmtheit zu haben gesetzt ist. – Das quantitative Verhältnis ist an sich der Widerspruch der Äußerlichkeit und der Beziehung auf sich selbst, des Bestehens der Quantorum und der Negation derselben; – er hebt sich auf, indem zunächst

2. im indirekten Verhältnisse, die Negation des einen Quantums als solche mit in der Veränderung des andern, und die Veränderlichkeit des direkten Verhältnisses selbst, gesetzt wird;

3. im Potenzenverhältnis aber macht sich die in ihrem Unterschiede sich auf sich beziehende Einheit als einfache Selbstproduction des Quantums geltend; dies Qualitative selbst endlich in einfacher Bestimmung und identisch mit dem Quantum gesetzt, wird das Maß.

– Über die Natur der folgenden Verhältnisse ist vieles in den vorhergehenden Anmerkungen, welche das Unendliche der Quantität, d. i. das qualitative Moment an derselben, betreffen, antizipiert worden; es bleibt daher nur der abstrakte Begriff dieser Verhältnisse auseinander zu setzen.

A. Das direkte Verhältnis

1. Im Verhältnisse, welches als unmittelbar das direkte ist, liegt die Bestimmtheit des einen Quantums gegenseitig in der Bestimmtheit des andern. Es ist nur Eine Bestimmtheit oder Grenze beider, die selbst Quantum ist, der Exponent des Verhältnisses.

2. Der Exponent ist irgend ein Quantum, aber in seiner Äußerlichkeit an ihm selbst sich auf sich beziehendes, qualitativ bestimmtes Quantum ist er nur, insofern er den Unterschied seiner, sein Jenseits und Anderssein an ihm selbst hat. Dieser Unterschied des Quantums an ihm selbst aber ist der Unterschied der Einheit und der Anzahl; die Einheit – das Fürsich-Bestimmtsein; die Anzahl – das gleichgültige Hin- und Hergehen an der Bestimmtheit, die äußere Gleichgültigkeit des Quantums. Einheit und Anzahl waren zuerst die Momente des Quantums; jetzt im Verhältnisse, dem insofern realisierten Quantum, erscheint jedes seiner Momente als ein eignes Quantum, und als Bestimmungen seines Daseins, als Begrenzungen gegen die sonst nur äußerliche, gleichgültige Größebestimmtheit.

Der Exponent ist dieser Unterschied als einfache Bestimmtheit d. h. er hat unmittelbar die Bedeutung beider Bestimmungen an ihm selbst. Er ist erstens Quantum; so ist er die Anzahl; wenn die eine Seite des Verhältnisses, welche als Einheit genommen wird, als numerisches Eins ausgedrückt ist, und sie gilt nur für solches, so ist die andere, die Anzahl, das Quantum des Exponenten selbst. Zweitens ist er die einfache Bestimmtheit als das Qualitative der Seiten des Verhältnisses; wenn das Quantum der einen bestimmt ist, ist auch das andere durch den Exponenten bestimmt, und es ist völlig gleichgültig, wie das erste bestimmt wird; es hat als für sich bestimmtes Quantum keine Bedeutung mehr, sondern kann eben so gut jedes andere sein, ohne die Bestimmtheit des Verhältnisses zu ändern, die allein auf dem Exponenten beruht. Das eine, welches als Einheit genommen ist, bleibt, wie groß es werde, immer Einheit, und das andere, wie groß es ebenso dabei werde, muss dieselbe Anzahl jener Einheit bleiben.

3. Hiernach machen beide eigentlich nur Ein Quantum aus, das eine hat gegen das andere, nur den Wert der Einheit, nicht einer Anzahl; das andre nur den der Anzahl; nach ihrer Begriffsbestimmtheit sind sie selbst somit nicht vollständige Quanta. Diese Unvollständigkeit aber ist eine Negation an ihnen und dies nicht nach ihrer Veränderlichkeit überhaupt, nach der das Eine (und jedes ist Eines der beiden) alle mögliche Größe annehmen kann, sondern nach der Bestimmung, dass wenn das eine verändert wird, das andere um ebensoviel vermehrt oder vermindert wird; dies heißt, wie gezeigt, nur das Eine, die Einheit, wird als Quantum verändert, die andere Seite, die Anzahl, bleibt dasselbe Quantum von Einheiten, aber auch jene bleibt ebenso nur als Einheit geltend, sie werde als Quantum verändert wie sie wolle. Jede Seite ist so nur eines der beiden Momente des Quantums, und die Selbstständigkeit, die zu dessen Eigentümlichkeit gehört, ist an sich negiert; in diesem qualitativen Zusammenhange sind sie als negative gegen einander zu setzen.

Der Exponent soll das vollständige Quantum sein, indem die Bestimmung der beiden Seiten in ihm zusammenläuft; er hat aber in der Tat als Quotient selbst nur den Wert der Anzahl, oder der Einheit. Es ist keine Bestimmung vorhanden, welche der Seiten des Verhältnisses als die Einheit oder als die Anzahl genommen werden müsse; die eine, das Quantum B an dem Quantum A als der Einheit gemessen, so ist der Quotient C die Anzahl solcher Einheiten; aber A selbst als Anzahl genommen, ist der Quotient C die Einheit, welche zu der Anzahl A für das Quantum B erfordert wird; dieser Quotient ist als Exponent somit nicht als das gesetzt, was er sein soll, – das Bestimmende des Verhältnisses, oder als seine qualitative Einheit. Als diese ist er nur gesetzt, insofern er den Wert hat, die Einheit der beiden Momente, der Einheit und der Anzahl, zu sein. Indem diese Seiten zwar als Quanta, wie sie in dem expliciten Quantum, dem Verhältnisse, sein sollen, vorhanden sind, aber zugleich nur in dem Werte, den sie als dessen Seiten haben sollen, unvollständige Quanta zu sein und nur als eines jener qualitativen Momente zu gelten, so sind sie mit dieser ihrer Negation zu setzen; womit ein seiner Bestimmung entsprechenderes reelleres Verhältnis entsteht, worin der Exponent die Bedeutung des Produkts derselben hat; nach dieser Bestimmtheit ist es das umgekehrte Verhältnis.

B. Das umgekehrte Verhältnis

1. Das Verhältnis, wie es sich nun ergeben, ist das aufgehobene direkte Verhältnis; es war das unmittelbare, somit noch nicht wahrhaft bestimmte; nunmehr ist die Bestimmtheit so hinzugekommen, dass der Exponent als Produkt, Einheit der Einheit und der Anzahl, gilt. Nach der Unmittelbarkeit konnte er gleichgültig ebensowohl als Einheit wie als Anzahl genommen werden, wie vorhin gezeigt worden; womit er auch nur als Quantum überhaupt und damit vorzugsweise als Anzahl war; die eine Seite war die Einheit, und als Eins zu nehmen, zu welcher die andere eine fixe Anzahl sei, die zugleich der Exponent ist; dessen Qualität war somit nur dies, dass dies Quantum als festes genommen oder vielmehr das Feste nur den Sinn des Quantums hat.

In dem umgekehrten Verhältnisse nun ist der Exponent gleichfalls als Quantum ein unmittelbares, und irgend eines als festes angenommen. Aber dies Quantum ist nicht fixe Anzahl zu dem Eins des andern Quantums im Verhältnisse; dieses im vorhergehenden feste Verhältnis ist nun vielmehr als veränderlich gesetzt; wenn zum Eins der einen Seite ein anderes Quantum genommen wird, so bleibt nun die andere nicht mehr dieselbe Anzahl von Einheiten der ersten. Im direkten Verhältnisse ist diese Einheit nur das gemeinschaftliche beider Seiten; sie als solche kontinuiert sich in die andere Seite, in die Anzahl; die Anzahl selbst für sich, oder der Exponent, ist gegen die Einheit gleichgültig.

Wie nunmehr aber die Bestimmtheit des Verhältnisses ist, wird die Anzahl als solche gegen das Eins, zu dem sie die andere Seite des Verhältnisses ausmacht, verändert; je nachdem zum Eins ein anderes Quantum genommen wird, wird sie eine andere. Der Exponent ist daher zwar auch nur ein unmittelbares nur beliebig als fest angenommenes Quantum, aber er erhält sich nicht als solches in der Seite des Verhältnisses, sondern diese und damit das direkte Verhältnis der Seiten ist veränderlich. Hiermit ist, in dem nunmehrigen Verhältnisse, der Exponent, als das bestimmende Quantum, negativ gegen sich als Quantum des Verhältnisses, hiermit als qualitativ als Grenze gesetzt, dass also das Qualitative für sich im Unterschied gegen das Quantitative hervortritt. – In dem direkten Verhältnisse ist die Veränderung der beiden Seiten nur die Eine Veränderung des Quantums, als welches die Einheit, die das gemeinschaftliche ist, genommen wird, um so viel also die eine Seite vergrössert oder vermindert wird, um so viel auch die andere; das Verhältnis selbst ist gegen diese Veränderung gleichgültig, sie ist ihm äußerlich. Im indirekten Verhältnisse aber ist die Veränderung, obgleich nach dem gleichgültigen quantitativen Momente auch beliebig, innerhalb des Verhältnisses gehalten, und auch dies beliebige quantitative Hinausgehen durch die negative Bestimmtheit des Exponenten, als durch eine Grenze, beschränkt.

2. Diese qualitative Natur des indirekten Verhältnisses ist noch näher, nämlich in ihrer Realisation zu betrachten, und die Verwicklung des Affirmativen mit dem Negativen, die darin enthalten ist, auseinander zu setzen. – Es ist das Quantum gesetzt, als qualitativ das Quantum d. i. sich selbst bestimmend, als Grenze seiner an ihm sich darstellend. Es ist hiermit erstens eine unmittelbare Größe als einfache Bestimmtheit, das Ganze als seiendes, affirmatives Quantum. Aber zweitens ist diese unmittelbare Bestimmtheit zugleich Grenze; dafür ist es in zwei Quanta unterschieden, die zunächst andere gegeneinander sind; aber als deren qualitative Bestimmtheit, und zwar dieselbe als vollständig ist es die Einheit der Einheit und der Anzahl, Produkt, dessen Faktoren sie sind. So ist der Exponent ihres Verhältnisses einesteils in ihnen identisch mit sich, und das Affirmative derselben, wonach sie Quanta sind; andernteils ist er als die an ihnen gesetzte Negation die Einheit an ihnen, nach der zunächst jedes, ein unmittelbares, begrenztes Quantum überhaupt, zugleich so ein begrenztes ist, dass es nur an sich identisch mit seinem Andern ist. Drittens ist er als die einfache Bestimmtheit, die negative Einheit dieser seiner Unterscheidung in die zwei Quanta und die Grenze ihres gegenseitigen Begrenzens.

Nach diesen Bestimmungen begrenzen sich die beiden Momente innerhalb des Exponenten und sind das eine das Negative des andern, da er ihre bestimmte Einheit ist; das eine wird um so vielmal kleiner, als das andere größer wird, jedes hat insofern seine Größe, als es die des andern an ihm hat, als dem andern mangelt. Jede kontinuiert sich auf diese Weise negativ in die andere; soviel sie an Anzahl ist, hebt sie an der andern als Anzahl auf, und ist, was sie ist, nur durch die Negation oder Grenze, die an ihr von der andern gesetzt wird. Jede enthält auf diese Weise auch die andere, und ist an ihr gemessen, denn jede soll nur das Quantum sein, das die andere nicht ist; für den Wert jeder ist die Größe der andern unentbehrlich und damit untrennbar von ihr.

Diese Kontinuität jeder in der Andern macht das Moment der Einheit aus, wodurch sie im Verhältnisse sind; – der Einen Bestimmtheit, der einfachen Grenze, die der Exponent ist. Diese Einheit, das Ganze, macht das Ansichsein einer jeden aus, von dem ihre vorhandene Größe unterschieden ist, nach welcher jedes nur ist, insofern sie der andern von ihrem gemeinsamen Ansichsein, dem Ganzen, entzieht. Aber sie kann nur so viel, als sie diesem Ansichsein gleich macht, der andern entziehen, sie hat an dem Exponent ihr Maximum, der nach der angegebenen zweiten Bestimmung die Grenze ihrer gegenseitigen Begrenzung ist. Und indem jede nur insofern Moment des Verhältnisses ist, als sie die andere begrenzt und damit von der andern begrenzt wird, so verliert sie diese ihre Bestimmung, indem sie sich ihrem Ansichsein gleich macht; die andere Größe wird nicht nur darin Null, sondern sie selbst verschwindet, da sie nicht bloßes Quantum, sondern was sie als solches ist, nur als solches Verhältnißmoment sein soll. So ist jede Seite der Widerspruch der Bestimmung, als ihres Ansichseins, d. i. der Einheit des Ganzen, das der Exponent ist, und der Bestimmung, als Verhältnißmomentes; dieser Widerspruch ist wieder die Unendlichkeit, in einer neuen eigentümlichen Form.

Der Exponent ist Grenze der Seiten seines Verhältnisses, innerhalb deren sie gegeneinander zu- und abnehmen, dem sie nach der affirmativen Bestimmtheit, die er als Quantum ist, nicht gleich werden können. So als Grenze ihres gegenseitigen Begrenzens ist er α) ihr Jenseits, dem sie sich unendlich nähern, aber das sie nicht erreichen können. Diese Unendlichkeit, als in der sie sich ihm nähern, ist die schlechte des unendlichen Progresses; sie ist selbst endlich, hat in ihrem Gegenteil, in der Endlichkeit jeder Seite und des Exponenten selbst, ihre Schranke, und ist daher nur Näherung. Aber β) die schlechte Unendlichkeit ist hier zugleich gesetzt, als das was sie in Wahrheit ist, nämlich nur das negative Moment überhaupt, nach welchem der Exponent gegen die unterschiedenen Quanta des Verhältnisses die einfache Grenze als das Ansichsein ist, auf das ihre Endlichkeit, als das schlechthin veränderliche, bezogen wird, aber schlechthin von ihnen verschieden, als ihre Negation, bleibt. Dies Unendliche, dem sich dieselben nur annähern können, ist dann gleichfalls als affirmatives Diesseits vorhanden und gegenwärtig; das simple Quantum des Exponenten. Darin ist das Jenseits, mit dem die Seiten des Verhältnisses behaftet sind, erreicht; es ist an sich die Einheit beider oder damit an sich die andre Seite einer jeden; denn jede hat nur so viel Wert, als die andere nicht hat, ihre ganze Bestimmtheit liegt so in der andern, und dies ihr Ansichsein ist als affirmative Unendlichkeit einfach der Exponent.

3. Hiermit aber hat sich der Übergang des umgekehrten Verhältnisses in eine andere Bestimmung ergeben, als es zunächst hatte. Diese bestand darin, dass ein Quantum als unmittelbares zugleich auf ein anderes die Beziehung hat, um so viel größer zu sein, als dieses kleiner ist, durch negatives Verhalten gegen das andere zu sein, was es ist; ebenso ist eine dritte Größe die gemeinsame Schranke dieses ihres Grösserwerdens. Diese Veränderung ist hier, im Gegensatze gegen das Qualitative als feste Grenze, ihre Eigentümlichkeit; sie haben die Bestimmung von veränderlichen Größen, für welche jenes Feste ein unendliches Jenseits ist.

Die Bestimmungen aber, die sich gezeigt und die wir zusammen zu fassen haben, sind, nicht nur, dass dies unendliche Jenseits zugleich als ein gegenwärtiges und irgend ein endliches Quantum ist, sondern dass seine Festigkeit, wodurch es solches unendliches Jenseits gegen das Quantitative ist, und die das Qualitative des Seins nur als abstrakte Beziehung auf sich selbst ist, sich als Vermittlung seiner in seinem Andern, den Endlichen des Verhältnisses, mit sich selbst, entwickelt hat. Das Allgemeine hiervon liegt darin, dass überhaupt das Ganze als Exponent die Grenze des gegenseitigen Begrenzens der beiden Glieder, also die Negation der Negation, somit die Unendlichkeit, affirmatives Verhalten zu sich selbst, gesetzt ist. Das Bestimmtere ist, dass an sich der Exponent schon als Produkt die Einheit der Einheit und der Anzahl, jedes der beiden Glieder aber nur das eine dieser beiden Momente ist, wodurch er sie also in sich schließt und in ihnen an sich sich auf sich bezieht. Aber der Unterschied ist im umgekehrten Verhältnisse zur Äußerlichkeit des quantitativen Seins entwickelt, und das Qualitative nicht bloß das Feste, noch nur die Momente unmittelbar in sich einschließend, sondern in dem außersichseienden Anderssein sich mit sich zusammenschließend vorhanden. Diese Bestimmung ist es, die sich als Resultat in den Momenten, die sich gezeigt, heraushebt. Der Exponent ergibt sich nämlich als das Ansichsein, dessen Momente in Quantis und in deren Veränderlichkeit überhaupt realisiert ist; die Gleichgültigkeit ihrer Größen in ihrer Veränderung stellt sich als unendlicher Progreß dar; was dem zu Grunde liegt, ist, dass in ihrer Gleichgültigkeit dies ihre Bestimmtheit ist, ihren Wert in dem Werte des andern zu haben, somit α) nach der affirmativen Seite ihres Quantums an sich das Ganze des Exponenten zu sein. Ebenso haben sie β) für ihr negatives Moment, für ihr gegenseitiges Begrenzen die Größe des Exponenten, ihre Grenze ist die seinige. Dass sie keine andere immanente Grenze, eine feste Unmittelbarkeit, mehr haben, ist in dem unendlichen Progresse ihres Daseins und ihrer Begrenzung, in der Negation jedes besondern Wertes, gesetzt. Diese ist hiernach die Negation des Außersichseins des Exponenten, das in ihnen dargestellt ist, und dieser, d. i. zugleich selbst ein Quantum überhaupt, und in Quanta auch ausgelegt, ist damit gesetzt, als das in der Negation ihres gleichgültigen Bestehens sich erhaltende, mit sich zusammengehende, so das Bestimmende solchen Hinausgehens über sich, zu sein.

Das Verhältnis ist hiermit zum Potenzenverhältnis bestimmt.

C. Potenzenverhältnis

1. Das Quantum in seinem Anderssein sich identisch mit sich setzend, sein Hinausgehen über sich selbst bestimmend, ist zum Fürsichsein gekommen. So qualitative Totalität, indem sie sich als entwickelt setzt, hat sie zu ihren Momenten die Begriffsbestimmungen der Zahl, die Einheit und die Anzahl; die letztere ist noch im umgekehrten Verhältnisse eine nicht durch die erstere selbst als solche, sondern anderswoher, durch ein drittes bestimmte Menge; nun ist sie nur durch jene bestimmt gesetzt. Dies ist der Fall im Potenzenverhältnisse, wo die Einheit, welche Anzahl an ihr selbst ist, zugleich die Anzahl gegen sich als Einheit ist. Das Anderssein, die Anzahl der Einheiten, ist die Einheit selbst. Die Potenz ist eine Menge von Einheiten, deren jede diese Menge selbst ist. Das Quantum als gleichgültige Bestimmtheit verändert sich; aber insofern diese Veränderung ein Erheben in die Potenz ist, ist dies sein Anderssein rein durch sich selbst begrenzt. – Das Quantum ist so in der Potenz als in sich selbst zurückgekehrt gesetzt; es ist unmittelbar es selbst und auch sein Anderssein.

Der Exponent dieses Verhältnisses ist nicht mehr ein unmittelbares Quantum, wie im direkten, und auch im umgekehrten Verhältnisse. Er ist im Potenzenverhältnis ganz qualitativer Natur, diese einfache Bestimmtheit, dass die Anzahl die Einheit selbst, das Quantum in seinem Anderssein mit sich selbst identisch ist. Darin liegt zugleich die Seite seiner quantitativen Natur, dass die Grenze oder Negation nicht als unmittelbar seiendes, sondern das Dasein als in sein Anderssein kontinuiert gesetzt ist; denn die Wahrheit der Qualität ist eben dies, Quantität, die unmittelbare Bestimmtheit als aufgehobene, zu sein.

2. Das Potenzenverhältnis erscheint zunächst als eine äußere Veränderung, in welche irgend ein Quantum versetzt wird; es hat aber die engere Beziehung auf den Begriff des Quantums, dass dieses in dem Dasein, zu welchem es in jenem Verhältnisse fortgebildet ist, denselben erreicht, ihn auf vollständige Weise realisiert hat; dies Verhältnis ist die Darstellung dessen, was das Quantum an sich ist, und drückt dessen Bestimmtheit oder Qualität aus, wodurch es sich von anderem unterscheidet. Das Quantum ist die gleichgültige, als aufgehoben gesetzte Bestimmtheit, das heißt, die Bestimmtheit als Grenze, welche ebensosehr keine ist, in ihr Anderssein sich kontinuiert, in ihm sich also identisch mit sich bleibt; so ist es im Potenzenverhältnis gesetzt; sein Anderssein, Hinausgehen über sich in ein anders Quantum, als durch es selbst bestimmt.

Vergleichen wir den Fortgang dieser Realisierung in den bisherigen Verhältnissen, so ist die Qualität des Quantums, als Unterschied seiner von sich selbst gesetzt zu sein, überhaupt dies, Verhältnis zu sein. Als direktes Verhältnis ist es als solcher gesetzte Unterschied nur erst überhaupt oder unmittelbar, so dass seine Beziehung auf sich selbst, die es gegen seine Unterschiede, als der Exponent hat, nur als die Festigkeit einer Anzahl der Einheit gilt. Im umgekehrten Verhältnis ist das Quantum in negativer Bestimmung ein Verhalten seiner zu sich selbst, – zu sich als seiner Negation, in der es aber seinen Wert hat; als affirmative Beziehung auf sich ist es ein Exponent, der als Quantum nur an sich das Bestimmende seiner Momente ist. Im Potenzenverhältnis aber ist es in dem Unterschied als seiner von sich selbst vorhanden. Die Äußerlichkeit der Bestimmtheit ist die Qualität des Quantums, diese Äußerlichkeit ist so nun seinem Begriffe gemäß als sein eigenes Bestimmen, als seine Beziehung auf sich selbst, seine Qualität, gesetzt.

3. Damit aber, dass das Quantum gesetzt ist, wie es seinem Begriffe gemäß ist, ist es in eine andere Bestimmung übergegangen; oder wie es auch ausgedrückt werden kann, dass seine Bestimmung nun auch als die Bestimmtheit, das Ansichsein auch als Dasein ist. Es ist als Quantum, insofern die Äußerlichkeit oder Gleichgültigkeit des Bestimmtseins (– dass es das ist, wie man sagt, was vergrößert oder vermindert werden kann) nur einfach oder unmittelbar gilt und gesetzt ist; es ist zu seinem Andern, der Qualität, geworden, insofern jene Äußerlichkeit nun als vermittelt durch es selbst, so als ein Moment gesetzt ist, dass es eben in ihr sich auf sich selbst bezieht, Sein als Qualität ist.

Zunächst erscheint also die Quantität als solche der Qualität gegenüber; aber die Quantität ist selbst eine Qualität, sich auf sich beziehende Bestimmtheit überhaupt, unterschieden von der ihr andern Bestimmtheit, von der Qualität als solcher. Allein sie ist nicht nur eine Qualität, sondern die Wahrheit der Qualität selbst ist die Quantität; jene hat sich als in diese übergehend gezeigt. Die Quantität ist dagegen in ihrer Wahrheit die in sich selbst zurückgekehrte, nicht gleichgültige Äußerlichkeit. So ist sie die Qualität selbst, so dass außer dieser Bestimmung nicht die Qualität als solche noch etwas wäre. – Dass die Totalität gesetzt sei, dazu gehört der gedoppelte Übergang, nicht nur der der einen Bestimmtheit in ihre andere, sondern ebenso der Übergang dieser andern, ihr Rückgang, in die erste. Durch den ersten ist nur erst an sich die Identität beider vorhanden; – die Qualität ist in der Quantität enthalten, die aber damit noch eine einseitige Bestimmtheit ist. Dass diese umgekehrt ebenso in der ersten enthalten, sie ebenso nur als aufgehobene ist, ergibt sich im zweiten Übergang, – der Rückkehr in das erste; diese Bemerkung über die Notwendigkeit des doppelten Übergangs ist von großer Wichtigkeit für das Ganze der wissenschaftlichen Methode.

Das Quantum nunmehr als gleichgültige oder äußerliche Bestimmung, so dass es ebenso als solche aufgehoben, und die Qualität und das ist, wodurch etwas das ist, was es ist, ist die Wahrheit des Quantums, Maß zu sein.

Anmerkung

Es ist oben, in den Anmerkungen über das Quantitativ-Unendliche auseinander gesetzt worden, dass dieses so wie die Schwierigkeiten, die sich darüber ergeben, in dem qualitativen Momente, das sich im Quantitativen hervortut, ihren Ursprung haben, und wie das Qualitative des Potenzenverhältnißes insbesondere, in die mannigfaltigen Entwicklungen und Verwicklungen ausgeht; als der Grundmangel, der die Auffassung des Begriffes verhindert, wurde aufgezeigt, dass bei dem Unendlichen nur nach der negativen Bestimmung, die Negation des Quantums zu sein, stehen geblieben und nicht zu der einfachen Bestimmung, dem Affirmativen, dass dieses das Qualitative ist, fortgegangen wird. – Hier bleibt nur übrig, noch eine Bemerkung über die in der Philosophie geschehene Einmischung von Formen des Quantitativen in die reinen qualitativen Formen des Denkens, zu machen. Besonders ist es das Potenzenverhältnis, welches in neuerer Zeit auf Begriffsbestimmungen angewendet worden ist. Der Begriff in seiner Unmittelbarkeit wurde die erste Potenz, in seinem Anderssein oder der Differenz, dem Dasein seiner Momente, die zweite, und in seiner Rückkehr in sich oder als Totalität die dritte Potenz genannt. – Hiergegen fällt sogleich auf, dass die Potenz so gebraucht eine Kategorie ist, die dem Quantum wesentlich angehört; – es ist bei diesen Potenzen nicht an die potentia, δύναμις des Aristoteles gedacht. So drückt das Potenzenverhältnis die Bestimmtheit aus, wie dieselbe als der Unterschied, wie er im besondern Begriffe des Quantums ist, zu seiner Wahrheit gelangt, aber nicht wie derselbe am Begriffe als solchem ist. Das Quantum enthält die Negativität, welche zur Natur des Begriffs gehört, noch gar nicht in dessen eigentümlicher Bestimmung gesetzt; Unterschiede, die dem Quantum zukommen, sind oberflächliche Bestimmungen für den Begriff selbst; sie sind noch weit entfernt, bestimmt zu sein, wie sie es im Begriffe sind. Es ist in der Kindheit des Philosophierens, dass wie von Pythagoras Zahlen – und erste, zweite Potenz u.s.f. haben insofern vor Zahlen nichts voraus, – zur Bezeichnung allgemeiner, wesentlicher Unterschiede gebraucht worden sind. Es war dies eine Vorstuffe des reinen denkenden Erfassens; nach Pythagoras erst sind die Gedankenbestimmungen selbst erfunden, d. i. für sich zum Bewusstsein gebracht worden. Aber von solchen weg zu Zahlenbestimmungen zurückzugehen, gehört einem sich unvermögend fühlenden Denken an, das nun im Gegensatze gegen vorhandene philosophische Bildung, die an Gedankenbestimmungen gewohnt ist, selbst das Lächerliche hinzufügt, jene Schwäche für etwas neues, vornehmes und für einen Fortschritt geltend machen zu wollen.

Insofern der Potenzen-Ausdruck nur als Symbol gebraucht wird, so ist dagegen so wenig zu sagen, als gegen die Zahlen oder Symbole anderer Art für Begriffe; aber zugleich eben so viel, als gegen alle Symbolik überhaupt, in welcher reine Begriffs- oder philosophische Bestimmungen dargestellt werden sollen. Die Philosophie bedarf solche Hilfe nicht, weder aus der sinnlichen Welt, noch aus der vorstellenden Einbildungskraft, auch nicht aus Sphären ihres eigentümlichen Bodens, welche untergeordnet sind, deren Bestimmungen daher nicht für höhere Kreise und für das Ganze passen. Das Letztere geschieht, wenn überhaupt Kategorien des Endlichen auf das Unendliche angewendet werden; die geläufigen Bestimmungen von Kraft, oder Substantialität, Ursache und Wirkung u.s.f. sind gleichfalls nur Symbole für den Ausdruck z. B. lebendiger oder geistiger Verhältnisse, d. i. unwahre Bestimmungen für dieselben, so noch mehr die Potenzen des Quantums und gezählte Potenzen, für dergleichen und für spekulative Verhältnisse überhaupt. – Wenn Zahlen, Potenzen, das Mathematisch-Unendliche und dergleichen nicht als Symbole, sondern als Formen für philosophische Bestimmungen, und damit selbst als philosophische Formen sollen gebraucht werden, so müsste vor Allem ihre philosophische Bedeutung, d. i. ihre Begriffsbestimmtheit aufgezeigt werden. Geschieht dies, so sind sie selbst überflüssige Bezeichnungen; die Begriffsbestimmtheit bezeichnet sich selbst, und ihre Bezeichnung ist allein die richtige und passende. Der Gebrauch jener Formen ist darum weiter nichts, als ein bequemes Mittel, es zu ersparen, die Begriffsbestimmungen zu fassen, anzugeben und zu rechtfertigen.

Dritter Abschnitt. Das Maß

Im Masse sind, abstrakt ausgedrückt, Qualität und Quantität vereinigt. Das Sein als solches ist unmittelbare Gleichheit der Bestimmtheit mit sich selbst. Diese Unmittelbarkeit der Bestimmtheit hat sich aufgehoben. Die Quantität ist das so in sich zurückgekehrte Sein, dass es einfache Gleichheit mit sich als Gleichgültigkeit gegen die Bestimmtheit ist. Aber diese Gleichgültigkeit ist nur die Äußerlichkeit, nicht an sich selbst, sondern in anderem die Bestimmtheit zu haben. Das Dritte ist nun die sich auf sich selbst beziehende Äußerlichkeit; als Beziehung auf sich ist es zugleich aufgehobene Äußerlichkeit, und hat an ihr selbst den Unterschied von sich, – der als Äußerlichkeit das quantitative, als in [sich] zurückgenommene, das qualitative Moment ist.

Indem die Modalität, unter den Kategorien des transzendentalen Idealismus, nach der Quantität und Qualität, auf Einschiebung der Relation, aufgeführt wird, so kann derselben hier erwähnt werden. Diese Kategorie hat daselbst die Bedeutung, die Beziehung des Gegenstands auf das Denken zu sein. Im Sinne jenes Idealismus ist das Denken überhaupt dem Ding-an-sich wesentlich äußerlich. Insofern die andern Kategorien nur die transzendentale Bestimmung haben, dem Bewusstsein, aber als das Objektive desselben, anzugehören, so enthält die Modalität, als die Kategorie der Beziehung auf das Subjekt, insofern relativ die Bestimmung der Reflexion in sich; d. h. die Objektivität, welche den andern Kategorien zukomme, mangelt denen der Modalität; diese vermehren, nach Kants Ausdruck, den Begriff, als Bestimmung des Objekts nicht im mindesten, sondern drücken nur das Verhältnis zum Erkenntnisvermögen aus, (Kr. d. rein. Vern. 2te Aufl. s. S. 99, 266). – Die Kategorien, die Kant unter der Modalität zusammenfasst, Möglichkeit, Wirklichkeit und Notwendigkeit, werden in der Folge an ihrer Stelle vorkommen; Kant hat die unendlich wichtige Form der Triplizität, so sehr sie bei ihm nur erst als ein formeller Lichtfuncken erschienen, nicht auf die Gattungen seiner Kategorien (Quantität, Qualität u.s.f.) wie auch diesen Namen, nur auf deren Arten angewendet; daher hat er nicht auf das Dritte der Qualität und Quantität kommen können.

Bei Spinoza ist der Modus nach Substanz und Attribut gleichfalls das Dritte; er erklärt ihn für die Affektionen der Substanz, oder für dasjenige, was in einem Andern ist, durch welches es auch begriffen wird. Dieses Dritte ist nach diesem Begriffe nur die Äußerlichkeit als solche; wie sonst erinnert worden, dass bei Spinoza überhaupt der starren Substantialität die Rückkehr in sich selbst fehlt.

Die hier gemachte Bemerkung dehnt sich allgemeiner auf die Systeme des Pantheismus aus, welche der Gedanke etwas ausgebildet hat. Das Sein, das Eine, die Substanz, das Unendliche, das Wesen ist das Erste; gegen dieses Abstraktum kann das Zweite, alle Bestimmtheit, überhaupt als das nur Endliche, nur Akzidentelle, Vergängliche, Außer- und Unwesentliche u.s.f., ebenso abstrakt zusammengefasst werden wie in dem ganz formalen Denken gewöhnlich und zunächst geschieht. Aber es drängt sich zu sehr der Zusammenhang dieses Zweiten mit dem Ersten auf, um es nicht zugleich in einer Einheit mit demselben zu fassen, wie das Attribut bei Spinoza die ganze Substanz ist, aber von dem Verstand, selbst einer Beschränkung oder Modus, gefasst; der Modus aber, das Nichtsubstantielle überhaupt, das nur aus einem Andern gefasst werden kann, macht so das andere Extrem zu der Substanz, das Dritte überhaupt, aus. Der indische Pantheismus hat in seiner ungeheuern Phantasterei gleichfalls, abstrakt genommen, diese Ausbildung erhalten, die sich durch ihr Maßloses hindurch als ein mässigender Faden zu einigem Interesse zieht, dass Brahm, das Eine des abstrakten Denkens durch die Gestaltung in Vishnu besonders in der Form Krishnas, zu dem Dritten, Shiva, fortgeht. Die Bestimmung dieses Dritten ist der Modus, Veränderung, Entstehen und Vergehen, das Feld der Äußerlichkeit überhaupt. Wenn diese indische Dreiheit zu einer Vergleichung mit der christlichen verleitet hat, so ist in ihnen zwar ein gemeinsames Element der Begriffsbestimmung zu erkennen, aber über den Unterschied ist wesentlich ein bestimmteres Bewusstsein zu fassen; derselbe ist nicht nur unendlich, sondern die wahrhafte Unendlichkeit macht den Unterschied selbst aus. Jenes dritte Prinzip ist seiner Bestimmung nach das Auseinanderfahren der substantiellen Einheit, in ihr Gegenteil, nicht die Rückkehr derselben zu sich, – das Geistlose vielmehr, nicht der Geist. In der wahrhaften Dreiheit, ist nicht nur Einheit, sondern Einigkeit, der Schluss zur inhaltsvollen und wirklichen Einheit, die in ihrer ganz konkreten Bestimmung der Geist ist, gebracht. Jenes Prinzip des Modus und der Veränderung schließt wohl die Einheit nicht überhaupt aus; wie nämlich im Spinozismus eben der Modus als solcher das Unwahre und nur die Substanz das wahrhafte ist, alles auf diese zurückgeführt werden soll, welches dann ein Versenken alles Inhalts in die Leerheit, in nur formelle, inhaltslose Einheit ist, so ist auch Shiwa wieder das große Ganze, von Brahm nicht unterschiedene, Brahm selbst; d. h. der Unterschied und die Bestimmheit verschwindet nur wieder, aber wird nicht aufbewahrt, nicht aufgehoben, und die Einheit wird nicht zur konkreten Einheit, die Entzweiung nicht zur Versöhnung zurückgeführt. Das höchste Ziel für den in die Sphäre des Entstehens und Vergehens, der Modalität überhaupt versetzten Menschen ist die Versenkung in die Bewußtlosigkeit, die Einheit mit Brahm, die Vernichtung; dasselbe ist das Budhistische Nirvana, Nieban u.s.f.

Wenn nun der Modus überhaupt die abstrakte Äußerlichkeit, die Gleichgültigkeit gegen die qualitativen wie gegen die quantitativen Bestimmungen ist, und es im Wesen auf das Äußerliche, Unwesentliche nicht ankommen soll, so wird auch wieder in Vielem zugestanden, dass alles auf die Art und Weise ankomme; der Modus wird damit selbst für wesentlich zum Substantiellen einer Sache gehörig erklärt; in welcher sehr unbestimmten Beziehung wenigstens dies liegt, dass dies Äußerliche nicht so abstrakt das Äußerliche sei.

Hier hat der Modus die bestimmte Bedeutung das Maß zu sein. Der Spinozistische Modus, wie das indische Prinzip der Veränderung ist das Maßlose. Das griechische selbst noch unbestimmte Bewusstsein, dass Alles ein Maß hat, so dass selbst Parmenides nach dem abstrakten Sein die Notwendigkeit, als die alte Grenze, die Allem gesetzt ist, eingeführt, ist der Anfang eines viel höhern Begriffs als die Substanz und der Unterschied des Modus von derselben enthält. –

Das entwickeltere, reflectirtere Maß ist die Notwendigkeit; das Schicksal, die Nemesis, schränkt sich im Allgemeinen auf die Bestimmtheit des Maßes ein, dass was sich vermesse, zu groß, zu hoch mache, auf das andere Extrem der Herabsetzung zur Nichtigkeit reduziert, und damit die Mitte des Maßes, die Mittelmäßigkeit, hergestellt werde. – Das Absolute, Gott ist das Maß aller Dinge, ist nicht stärker pantheistisch als die Definition: das Absolute, Gott ist das Sein, aber unendlich wahrhafter. – Das Maß ist zwar äußerliche Art und Weise, ein Mehr oder Weniger, welches aber zugleich eben so in sich reflektiert, nicht bloß gleichgültige und äußerliche, sondern an sich seiende Bestimmtheit ist; es ist so die konkrete Wahrheit des Seins; in dem Masse haben darum die Völker etwas Unantastbares, Heiliges verehrt.

Es liegt in dem Masse bereits die Idee des Wesens, nämlich in der Unmittelbarkeit des Bestimmtseins identisch mit sich zu sein, so dass jene Unmittelbarkeit durch diese Identität-mit-sich zu einem Vermittelten herabgesetzt ist, wie diese ebenso nur durch diese Äußerlichkeit vermittelt aber die Vermittlung mit sich ist; – die Reflexion, deren Bestimmungen sind, aber in diesem Sein schlechthin nur als Momente ihrer negativen Einheit. Im Masse ist das Qualitative quantitativ; die Bestimmtheit oder der Unterschied ist als gleichgültig, damit ist es ein Unterschied, der keiner ist; er ist aufgehoben; diese Quantitativität macht als Rückkehr in sich, worin sie als das Qualitative ist, das An- und Fürsichsein aus, welches das Wesen ist. Aber das Maß ist erst an sich oder im Begriffe das Wesen; dieser Begriff des Maßes ist noch nicht gesetzt. Das Maß noch als solches ist selbst die seiende Einheit des Qualitativen und Quantitativen; seine Momente sind als ein Dasein, eine Qualität und Quanta derselben, die nur erst an sich untrennbar, aber noch nicht die Bedeutung dieser reflektierten Bestimmung haben. Die Entwicklung des Maßes, enthält die Unterscheidung dieser Momente, aber zugleich die Beziehung derselben, so dass die Identität, welche sie an sich sind, als ihre Beziehung aufeinander wird, d. i. gesetzt wird. Die Bedeutung dieser Entwicklung ist die Realisation des Maßes, in der es sich zu sich selbst ins Verhältnis, und damit zugleich als Moment setzt; durch diese Vermittlung wird es als aufgehobenes bestimmt; seine Unmittelbarkeit wie die seiner Momente verschwindet, sie sind als reflektierte; so als das hervorgetreten, was es seinem Begriffe nach ist, ist es in das Wesen übergegangen.

Das Maß ist zunächst unmittelbare Einheit des Qualitativen und Quantitativen, so dass erstens ein Quantum ist, das qualitative Bedeutung hat, und als Maß ist. Dessen Fortbestimmung ist, dass an ihm, dem an sich bestimmten, – der Unterschied seiner Momente, des qualitativen und quantitativen Bestimmtseins, hervortritt. Diese Momente bestimmen sich weiter selbst zu Ganzen des Maßes, welche insofern als Selbstständige sind; indem sie sich wesentlich aufeinander beziehen, wird das Maß

zweitens Verhältnis von spezifischen Quantis, als selbstständigen Massen. Ihre Selbstständigkeit beruht aber wesentlich zugleich auf dem quantitativen Verhältnisse und dem Größenunterschiede; so wird ihre Selbstständigkeit ein Übergehen in einander. Das Maß geht damit im Maßlosen zu Grunde. – Dies Jenseits des Maßes ist aber die Negativität desselben nur an sich selbst; es ist dadurch

drittens die Indifferenz der Maaßbestimmungen, und als reell mit der in ihr enthaltenen Negativität das Maß gesetzt, als umgekehrtes Verhältnis von Massen, welche als selbstständige Qualitäten wesentlich nur auf ihrer Quantität und auf ihrer negativen Beziehung aufeinander beruhen, und damit sich erweisen, nur Momente ihrer wahrhaft selbstständigen Einheit zu sein, welche ihre Reflexion-in-sich und das Setzen derselben, das Wesen, ist.

Die Entwicklung des Maßes, die im Folgenden versucht worden, ist eine der schwierigsten Materien; indem sie von dem unmittelbaren, äußerlichen Masse anfängt, hätte sie einerseits zu der abstrakten Fortbestimmung des Quantitativen (einer Mathematik der Natur) fortzugehen, andererseits den Zusammenhang dieser Maßbestimmung mit den Qualitäten der natürlichen Dinge anzuzeigen, wenigstens im Allgemeinen; denn die bestimmte Nachweisung des aus dem Begriffe des konkreten Gegenstandes hervorgehenden Zusammenhangs des Qualitativen und Quantitativen gehört in die besondere Wissenschaft des Konkreten; wovon Beispiele in der Encykl. der philos. Wissensch. 3te Aufl. §. 267 u. 270 Anm. das Gesetz des Falles und das der freien himmlischen Bewegung betreffend, nachzusehen sind. Es mag hierbei dies überhaupt bemerkt werden, dass die verschiedenen Formen, in welchen sich das Maß realisiert, auch verschiedenen Sphären der natürlichen Realität angehören. Die vollständige, abstrakte Gültigkeit des entwickelten Maßes d. i. der Gesetze desselben kann nur in der Sphäre des Mechanismus Statt haben, als in welchem das konkrete Körperliche nur die selbst abstrakte Materie ist; die qualitativen Unterschiede derselben haben wesentlich das Quantitative zu ihrer Bestimmtheit; Raum und Zeit sind die reinen Äußerlichkeiten selbst, und die Menge der Materien, Massen, Intensität des Gewichts, sind ebenso äußerliche Bestimmungen, die an dem Quantitativen ihre eigentümliche Bestimmtheit haben. Dagegen wird solche Grössebestimmtheit des abstrakt Materiellen schon durch die Mehrheit und damit einen Konflikt von Qualitäten, im Physikalischen, noch mehr aber im Organischen gestört. Aber es tritt hier nicht bloß der Konflikt von Qualitäten als solchen ein, sondern das Maß wird hier höhern Verhältnissen untergeordnet, und die immanente Entwicklung des Maßes vielmehr auf die einfache Form des unmittelbaren Maßes reduziert. Die Glieder des animalischen Organismus haben ein Maß, welches als ein einfaches Quantum im Verhältnis zu andern Quantis der andern Glieder steht; die Proportionen des menschlichen Körpers sind die festen Verhältnisse von solchen Quantis; die Naturwissenschaft hat noch weithin, von dem Zusammenhange solcher Größen mit den organischen Funktionen, von denen sie ganz abhängig sind, etwas einzusehen. Aber von der Herabsetzung eines immanenten Maßes zu einer bloß äußerlich determinierten Größe ist die Bewegung das nächste Beispiel. An den Himmelskörpern ist sie die freie nur durch den Begriff bestimmte Bewegung, deren Größen hiermit ebenso nur von demselben abhängen (s. oben), aber von dem Organischen wird sie zur willkürlichen oder mechanisch-regelmäßigen, d. h. überhaupt abstrakten formellen Bewegung herunter gesetzt.

Noch weniger aber findet im Reich des Geistes eine eigentümliche, freie Entwicklung des Maßes Statt. Man sieht z. B. wohl ein, dass eine republicanische Verfassung, wie die atheniensische oder eine durch Demokratie versetzte aristokratische nur bei einer gewissen Größe des Staats Platz haben kann; dass in der entwickelten bürgerlichen Gesellschaft die Mengen von Individuen, welche den verschiedenen Gewerben angehören, in einem Verhältnisse mit einander stehen; aber dies gibt weder Gesetze von Massen noch eigentümliche Formen desselben. Im Geistigen als solchen kommen Unterschiede von Intensität des Charakters, Stärke der Einbildungskraft, der Empfindungen, der Vorstellungen u.s.f. vor; aber über dies Unbestimmte der Stärke oder Schwäche geht die Bestimmung nicht hinaus. Wie matt und völlig leer die sogenannten Gesetze ausfallen, die über das Verhältnis von Stärke und Schwäche der Empfindungen, Vorstellungen u.s.f. aufgestellt werden, wird man inne, wenn man die Psychologien nachsieht, welche sich mit dergleichen bemühen.

Erstes Kapitel. Die spezifische Quantität

Die qualitative Quantität ist zunächst ein unmittelbares spezifisches Quantum; das

zweitens, als sich zu anderem verhaltend, ein quantitatives Specificiren, ein Aufheben des gleichgültigen Quantums wird. Dieses Maß, ist insofern eine Regel und enthält die beiden Momente des Maßes unterschieden, nämlich die ansichseiende quantitative Bestimmtheit, und das äußerliche Quantum. In diesem Unterschiede werden aber diese beiden Seiten zu Qualitäten, und die Regel zu einem Verhältnisse derselben; das Maß stellt sich daher dar

drittens als Verhältnis von Qualitäten, die zunächst Ein Maß haben; das sich aber ferner so zu einem Unterschiede von Massen in sich spezifiziert.

A. Das spezifische Quantum

1. Das Maß ist die einfache Beziehung des Quantums auf sich, seine eigene Bestimmtheit an sich selbst; so ist das Quantum qualitativ. Zunächst ist es als unmittelbares Maß, ein unmittelbares, daher als irgend ein bestimmtes, Quantum; ebenso unmittelbar ist die ihm zugehörige Qualität, sie ist irgend eine bestimmte Qualität. – Das Quantum als diese nicht mehr gleichgültige Grenze sondern [sich] auf sich beziehende Äußerlichkeit, ist so selbst die Qualität, und unterschieden von dieser geht es nicht über sie hinaus, so wie diese nicht über dasselbe hinausgeht. Es ist so in die einfache Gleichheit mit sich zurückgekehrte Bestimmtheit; eins mit dem bestimmten Dasein, so wie dieses mit seinem Quantum.

Wenn man aus der erhaltenen Bestimmung einen Satz machen will, so kann man sich ausdrücken: Alles, was da ist, hat ein Maß. Alles Dasein hat eine Größe, und diese Größe gehört zur Natur von Etwas selbst; sie macht seine bestimmte Natur und sein Insichsein aus. Etwas ist gegen diese Größe nicht gleichgültig, so dass wenn sie geändert würde, es bliebe was es ist, sondern die Änderung derselben änderte seine Qualität. Das Quantum hat als Maß aufgehört Grenze zu sein, die keine ist; es ist nunmehr die Bestimmung der Sache, so dass diese, über dies Quantum vermehrt oder vermindert, zu Grunde ginge. –

Ein Maß, als Maßstab im gewöhnlichen Sinne, ist ein Quantum, das als die an sich bestimmte Einheit gegen äußerliche Anzahl willkürlich angenommen wird. Eine solche Einheit kann zwar auch in der Tat an sich bestimmte Einheit sein, wie Fuß und dergleichen ursprüngliche Masse; insofern sie aber als Maßstab zugleich für andere Dinge gebraucht wird, ist sie für diese nur äußerliches, nicht ihr ursprüngliches Maß. – So mag der Erddurchmesser, oder die Pendellänge, als spezifisches Quantum für sich genommen werden. Aber es ist willkürlich, den wievielsten Teil des Erddurchmessers oder der Pendellänge und unter welchem Breitengrade man diese nehmen wolle, um sie als Maßstab zu gebrauchen. Noch mehr aber ist für andere Dinge ein solcher Maßstab etwas äußerliches. Diese haben das allgemeine spezifische Quantum wieder auf besondere Art spezifiziert, und sind dadurch zu besondern Dingen gemacht. Es ist daher thöricht, von einem natürlichen Maaßstabe der Dinge zu sprechen. Ohnehin soll ein allgemeiner Maßstab nur für die äußerliche Vergleichung dienen; in diesem oberflächlichsten Sinne, in welchem er als allgemeines Maß genommen wird, ist es völlig gleichgültig, was dafür gebraucht wird. Es soll nicht ein Grundmaß in dem Sinne sein, dass die Naturmaße der besondern Dinge daran dargestellt und daraus nach einer Regel, als Spezifikationen Eines allgemeinen Maßes, des Maßes ihres allgemeinen Körpers, erkannt würden. Ohne diesen Sinn aber hat ein absoluter Maßstab nur das Interesse und die Bedeutung eines gemeinschaftlichen, und ein solches ist nicht an sich, sondern durch Uebereinkommen ein Allgemeines.

Das unmittelbare Maß ist eine einfache Größenbestimmung; wie z. B. die Größe der organischen Wesen, ihrer Gliedmaßen und so fort. Aber jedes Existierende hat eine Größe, um das zu sein, was es ist, und überhaupt um Dasein zu haben. – Als Quantum ist es gleichgültige Größe, äußerlicher Bestimmung offen und des Auf- und Abgehens am Mehr und Weniger fähig. Aber als Maß ist es zugleich von sich selbst als Quantum, als solcher gleichgültiger Bestimmung, verschieden und eine Beschränkung jenes gleichgültigen Hin- und Hergehens an einer Grenze.

Indem die Quantitätsbestimmtheit so an dem Dasein die gedoppelte ist, das einemal die, an welche die Qualität gebunden ist, das andremal aber die, an der unbeschadet jener hin- und hergegangen werden kann, so geschieht das Untergehen von Etwas, das ein Maß hat, darin dass sein Quantum verändert wird. Dies Untergehen erscheint einesteils als unerwartet, insofern an dem Quantum, ohne das Maß und die Qualität zu verändern, geändert werden kann, andernteils aber wird es zu einem als ganz begreiflichen gemacht, nämlich durch die Allmählichkeit. Zu dieser Kategorie wird so leicht gegriffen, um das Vergehen von einer Qualität oder von Etwas vorstellig zu machen oder zu erklären, indem man so dem Verschwinden beinahe mit den Augen zusehen zu können scheint, weil das Quantum die als äußerliche, ihrer Natur nach veränderliche Grenze gesetzt ist, hiermit die Veränderung, als nur des Quantums, sich von selbst versteht. In der Tat aber wird nichts dadurch erklärt; die Veränderung ist zugleich wesentlich der Übergang einer Qualität in eine andere, oder der abstraktere von einem Dasein in ein Nichtdasein; darin liegt eine andere Bestimmung als in der Allmählichkeit, welche nur eine Verminderung oder Vermehrung, und das einseitige Festhalten an der Größe ist.

2. Dass aber eine als bloß quantitativ erscheinende Veränderung auch in eine qualitative umschlägt, auf diesen Zusammenhang sind schon die Alten aufmerksam gewesen, und haben die der Unkenntniß desselben entstehenden Collisionen in populären Beispielen vorgestellt; unter den Namen des Kahlen, des Hauffens sind hierher gehörige Elenchen bekannt, d. i. nach des Aristoteles Erklärung, Weisen, wodurch man genötigt wird, das Gegenteil von dem zu sagen, was man vorher behauptet hatte. Man fragte: macht das Ausrauffen Eines Haares vom Kopfe oder einem Pferdeschweiffe kahl, oder hört ein Hauffe auf ein Hauffe zu sein, wenn ein Korn weggenommen wird. Dies kann man unbedenklich zugeben, indem solche Wegnahme nur einen und zwar selbst ganz unbedeutenden quantitativen Unterschied ausmacht; so wird Ein Haar, Ein Korn weggenommen, und dies so wiederholt, dass jedesmal nach dem, was zugegeben worden, nur Eines weggenommen wird; zuletzt zeigt sich die qualitative Veränderung, dass der Kopf, der Schweiff kahl, der Hauffe verschwunden ist. Man vergaß bei jenem Zugeben nicht nur die Wiederholung, sondern dass sich die für sich unbedeutenden Quantitäten (wie die für sich unbedeutenden Ausgaben von einem Vermögen) summiren, und die Summe das qualitativ Ganze ausmacht, so dass am Ende dieses verschwunden, der Kopf kahl, der Beutel leer ist.

Die Verlegenheit, der Widerspruch, welcher als Resultat herauskommt, ist nicht etwas Sophistisches im gebräuchlichen Sinne des Worts, als ob solcher Widerspruch eine falsche Vorspieglung wäre. Das Falsche ist, was der angenommene Andere, d. h. unser gewöhnliches Bewusstsein begeht, eine Quantität nur für eine gleichgültige Grenze d. h. sie eben im bestimmten Sinne einer Quantität zu nehmen. Diese Annahme wird durch die Wahrheit, zu der sie geführt wird, Moment des Maßes zu sein und mit der Qualität zusammenzuhängen, konfundiert; was widerlegt wird, ist das einseitige Festhalten an der abstrakten Quantumsbestimmtheit. – Jene Wendungen sind darum auch kein leerer oder pedantischer Spaß, sondern in sich richtig und Erzeugnisse eines Bewusstseins, das ein Interesse an den Erscheinungen hat, die im Denken vorkommen.

Das Quantum, indem es als eine gleichgültige Grenze genommen wird, ist die Seite, an der ein Dasein unverdächtig angegriffen und zu Grunde gerichtet wird. Es ist die List des Begriffes ein Dasein an dieser Seite zu fassen, von der seine Qualität nicht ins Spiel zu kommen scheint, – und zwar so sehr, dass die Vergrösserung eines Staats, eines Vermögens u.s.f. welche das Unglück des Staats, des Besitzers herbeiführt, sogar als dessen Glück zunächst erscheint.

3. Das Maß ist in seiner Unmittelbarkeit eine gewöhnliche Qualität von einer bestimmten ihr zugehörigen Größe. Von der Seite nun, nach welcher das Quantum gleichgültige Grenze ist, an der ohne die Qualität zu ändern hin- und hergegangen werden kann, ist seine andere Seite, nach welcher es qualitativ, spezifisch ist, auch unterschieden. Beides sind Grössebestimmungen Eines und desselben; aber nach der Unmittelbarkeit, in der zuerst das Maß ist, ist ferner dieser Unterschied als ein unmittelbarer zu nehmen, beide Seiten haben hiernach auch eine verschiedene Existenz. Die Existenz des Maßes, welche die an sich bestimmte Größe ist, ist dann in ihrem Verhalten zu der Existenz der veränderlichen, äußerlichen Seite, ein Aufheben ihrer Gleichgültigkeit, ein Specificiren desselben.

B. Spezifizierendes Maß

Dasselbe ist

erstlich eine Regel, ein Maß äußerlich gegen das bloße Quantum;

zweitens spezifische Quantität, welche das äußerliche Quantum bestimmt;

drittens verhalten sich beide Seiten als Qualitäten von spezifischer Quantitätsbestimmtheit gegeneinander, als Ein Maß.

a. Die Regel

Die Regel oder der Maßstab, von dem schon gesprochen worden, ist zunächst als eine an sich bestimmte Größe, welche Einheit gegen ein Quantum ist, das eine besondere Existenz ist, an einem andern Etwas, als das Etwas der Regel ist, existiert, – an ihr gemessen, d. i. als Anzahl jener Einheit bestimmt wird. Diese Vergleichung ist ein äußerliches Tun, jene Einheit selbst eine willkürliche Größe, die ebenso wieder als Anzahl (der Fuß als eine Anzahl von Zollen) gesetzt werden kann. Aber das Maß ist nicht nur äußerliche Regel, sondern als spezifisches ist es dies, sich an sich selbst zu seinem Andern zu verhalten, das ein Quantum ist.

b. Das spezifizierende Maß

Das Maß ist spezifisches Bestimmen der äußerlichen Größe, d. i. der gleichgültigen, die nun von einer andern Existenz überhaupt an dem Etwas des Maßes gesetzt wird, welches zwar selbst Quantum, aber im Unterschiede von solchem das Qualitative, bestimmend das bloß gleichgültige, äußerliche Quantum, ist. Das Etwas hat diese Seite des Seins-für-anderes an ihm, der das gleichgültige Vermehrt- und Vermindertwerden, zukommt. Jenes immanente Messende ist eine Qualität des Etwas, dem dieselbe Qualität an einem andern Etwas gegenübersteht; aber an diesem zunächst relativ mit maaßlosem Quantum überhaupt gegen jene, die als messend bestimmt ist.

An Etwas, insofern es ein Maß in sich ist, kommt äußerlich eine Veränderung der Größe seiner Qualität; es nimmt davon nicht die arithmetische Menge an. Sein Maß reagiert dagegen, verhält sich als ein intensives gegen die Menge, und nimmt sie auf eine eigentümliche Weise auf; es verändert die äußerlich gesetzte Veränderung, macht aus diesem Quantum ein Anderes, und zeigt sich durch diese Spezifikation als Fürsichsein in dieser Äußerlichkeit. – Diese spezifisch-aufgenommene Menge ist selbst ein Quantum, auch abhängig von der andern oder ihr als nur äußerlichen Menge. Die spezifizierte Menge ist daher auch veränderlich, aber darum nicht ein Quantum als solches, sondern das äußere Quantum als auf eine konstante Weise spezifiziert. Das Maß hat so sein Dasein als ein Verhältnis, und das Spezifische desselben ist überhaupt der Exponent dieses Verhältnisses.

Im intensiven und extensiven Quantum ist es, wie sich bei diesen Bestimmungen ergab, dasselbe Quantum, welches das einemal in der Form der Intensität, das anderemal in der Form der Extensität vorhanden ist. Das zu Grunde liegende Quantum erleidet in diesem Unterschiede keine Veränderung, dieser ist nur eine äußere Form. In dem specificirenden Masse hingegen ist das Quantum das einemal in seiner unmittelbaren Größe, das anderemal aber wird es durch den Verhältnisexponenten in einer andern Anzahl genommen.

Der Exponent, der das Spezifische ausmacht, kann zunächst ein fixes Quantum zu sein scheinen, als Quotient des Verhältnisses zwischen dem äußerlichen und dem qualitativ bestimmten. Aber so wäre er nichts als ein äußerliches Quantum; es ist unter dem Exponenten hier nichts anders als das Moment des Qualitativen selbst zu verstehen, welches das Quantum als solches spezifiziert. Das eigentlich immanente Qualitative des Quantums ist, wie sich früher ergeben hat, nur die Potenz-Bestimmung. Eine solche muss es sein, welche das Verhältnis konstituiert, und die hier als die an sich seiende Bestimmung dem Quantum als der äußerlichen Beschaffenheit gegenübergetreten ist. Dieses hat zu seinem Prinzip das numerische Eins, das dessen An-sich-Bestimmtsein ausmacht; und die Beziehung des numerischen Eins ist die äußerliche und die nur durch die Natur des unmittelbaren Quantums als solchen bestimmte Veränderung besteht für sich in dem Hinzutreten eines solchen numerischen Eins und wieder eines solchen und so fort. Wenn so das äußerliche Quantum in arithmetischer Progression sich verändert, so bringt die specificirende Reaktion der qualitativen Natur des Maßes eine andere Reihe hervor, welche sich auf die erste bezieht, mit ihr zu- und abnimmt, aber nicht in einem durch einen Zahlexponenten bestimmten, sondern einer Zahl incommensurabeln Verhältnisse, nach einer Potenzenbestimmung.

Anmerkung

Um ein Beispiel anzuführen, so ist die Temperatur eine Qualität, an der diese beiden Seiten, äußerliches und specificirtes Quantum zu sein, sich unterscheiden. Als Quantum ist sie äußerliche Temperatur und zwar auch eines Körpers als allgemeinen Mediums, von der angenommen wird, dass ihre Veränderung an der Scale der arithmetischen Progression fortgehe und dass sie gleichförmig zu- oder abnehme, wogegen sie von den verschiedenen in ihr befindlichen besondern Körpern verschieden aufgenommen wird, indem dieselben durch ihr immanentes Maß die äußerlich empfangene Temperatur bestimmen, die Temperatur-Veränderung derselben nicht der des Mediums oder ihrer untereinander im direkten Verhältnisse entspricht. Verschiedene Körper in einer und derselben Temperatur verglichen, geben Verhältniszahlen ihrer spezifischen Wärmen, ihrer Wärme-Kapazitäten. Aber diese Kapazitäten der Körper ändern sich in verschiedenen Temperaturen, womit das Eintreten einer Veränderung der spezifischen Gestalt sich verbindet. In der Vermehrung oder Verminderung der Temperatur zeigt sich somit eine besondere Spezifikation. Das Verhältnis der Temperatur, die als äußerliche vorgestellt wird, zur Temperatur eines bestimmten Körpers, die zugleich von jener abhängig ist, hat nicht einen festen Verhältnisexponenten; die Vermehrung oder Verminderung dieser Wärme geht nicht gleichförmig mit der Zu- und Abnahme der äußerlichen fort. – Es wird hierbei eine Temperatur als äußerlich überhaupt angenommen, deren Veränderung bloß äußerlich oder rein quantitativ sei. Sie ist jedoch selbst Temperatur der Luft oder sonst spezifische Temperatur. Näher betrachtet würde daher das Verhältnis eigentlich nicht als Verhältnis von einem bloß quantitativen zu einem qualifizierenden, sondern von zwei spezifischen Quantis zu nehmen sein. Wie sich das specificirende Verhältnis gleich weiter bestimmen wird, dass die Momente des Maßes nicht nur in einer quantitativen und einer das Quantum qualifizierenden Seite einer und derselben Qualität bestehen, sondern im Verhältnisse zweier Qualitäten, welche an ihnen selbst Masse sind.

c. Verhältnis beider Seiten als Qualitäten

1. Die qualitative, an sich bestimmte Seite des Quantums ist nur als Beziehung auf das äußerlich quantitative; als Specificiren desselben ist sie das Aufheben seiner Äußerlichkeit, durch welche das Quantum als solches ist; sie hat so dasselbe zu ihrer Voraussetzung und fängt von ihm an. Dieses aber ist von der Qualität selbst auch qualitativ unterschieden; dieser Unterschied beider ist in der Unmittelbarkeit des Seins überhaupt, in welcher das Maß noch ist, zu setzen, so sind beide Seiten qualitativ gegeneinander, und jede für sich ein solches Dasein; und das eine zunächst nur als formelle, an ihm unbestimmte Quantum ist das Quantum eines Etwas und seiner Qualität, und wie sich deren Beziehung auf einander nun zum Masse überhaupt bestimmt hat, gleichfalls die spezifische Größe dieser Qualitäten. Diese Qualitäten sind nach der Maßbestimmung im Verhältnis zu einander; diese ist ihr Exponent, sie sind aber an sich schon im Fürsichsein des Maßes aufeinander bezogen, das Quantum ist in seinem Doppelsein als äußerliches und spezifisches, so dass jede der unterschiedenen Quantitäten diese zweifache Bestimmung an ihr hat und zugleich schlechthin mit der andern verschränkt ist; eben darin allein sind die Qualitäten bestimmt. Sie sind so nicht nur für einander seiendes Dasein überhaupt, sondern untrennbar gesetzt; und die an sie geknüpfte Grössebestimmtheit ist eine qualitative Einheit, – Eine Maßbestimmung, in der sie ihrem Begriffe nach, an sich zusammenhängen. Das Maß ist so das immanente quantitative Verhalten zweier Qualitäten zu einander.

2. Im Maß tritt die wesentliche Bestimmung der veränderlichen Größe ein, denn es ist das Quantum als aufgehoben, also nicht mehr als das, was es sein soll um Quantum zu sein, sondern als Quantum und zugleich als etwas Anderes; dies Andere ist das Qualitative, und wie bestimmt worden, nichts anderes als das Potenzenverhältnis desselben. Im unmittelbaren Masse ist diese Veränderung noch nicht gesetzt; es ist nur irgend und zwar ein einzelnes Quantum überhaupt, an das eine Qualität geknüpft ist. Im Specificiren des Maßes, der vorhergehenden Bestimmung, als einer Veränderung des bloß äußerlichen Quantums durch das Qualitative ist Unterschiedenheit beider Grössebestimmtheiten und damit überhaupt die Mehrheit von Massen an einem gemeinschaftlichen äußerlichen Quantum gesetzt; das Quantum zeigt sich erst als daseiendes Maß in solcher Unterschiedenheit seiner von sich selbst, indem es, ein und dasselbe (z. B. dieselbe Temperatur des Mediums), zugleich als verschiedenes und zwar quantitatives Dasein (– in den verschiedenen Temperaturen der in jenem befindlichen Körper) hervortritt. Diese Unterschiedenheit des Quantums in den verschiedenen Qualitäten – den verschiedenen Körpern, – gibt eine weitere, diejenige Form des Maßes, in welcher beide Seiten als qualitativ bestimmte Quanta sich zu einander verhalten, was das realisierte Maß genannt werden kann.

Die Größe ist als eine Größe überhaupt veränderlich, denn ihre Bestimmtheit ist als eine Grenze, die zugleich keine ist; die Veränderung betrifft insofern nur ein besonderes Quantum, an dessen Stelle ein anderes gesetzt wird; die wahrhafte Veränderung aber ist die des Quantums als solchen; dies gibt die, so gefasst, interessante Bestimmung der veränderlichen Größe in der höhern Mathematik; wobei nicht bei dem Formellen der Veränderlichkeit überhaupt stehen zu bleiben, noch andere als die einfache Bestimmung des Begriffs herbeizunehmen ist, nach welcher das Andere des Quantums nur das Qualitative ist. Die wahrhafte Bestimmung also der reellen veränderlichen Größe ist, dass sie die qualitativ, hiermit, wie zur Genüge gezeigt worden, die durch ein Potenzenverhältnis bestimmte ist; in dieser veränderlichen Größe ist es gesetzt, dass das Quantum nicht als solches gilt, sondern nach seiner ihm andern Bestimmung, der qualitativen.

Die Seiten dieses Verhaltens haben nach ihrer abstrakten Seite als Qualitäten überhaupt irgend eine besondere Bedeutung, z. B. Raum und Zeit. In ihrem Maßverhältnis als Größebestimmtheiten zunächst überhaupt genommen, ist die eine davon Anzahl, die in äußerlicher, arithmetischer Progression auf- und abgeht, die andere eine Anzahl, die durch jene, welche Einheit für sie ist, spezifisch bestimmt wird. Insofern jede ebenso nur eine besondere Qualität überhaupt wäre, läge kein Unterschied in ihnen, welche von den beiden, in Rücksicht auf ihre Größen-Bestimmung als die bloß äußerlich quantitative, und welche als die in quantitativer Spezifikation sich verändernde genommen werde. Wenn sie sich z. B. als Wurzel und Quadrat verhalten, ist es gleichviel, an welcher die Vermehrung oder Verminderung als bloß äußerlich, in arithmetischer Progression fortgehend, und welche dagegen an diesem Quantum sich spezifisch bestimmend angesehen wird.

Aber die Qualitäten sind nicht unbestimmt verschieden gegen einander, denn in ihnen soll als Momenten des Maßes die Qualifikation desselben liegen. Die nächste Bestimmtheit der Qualitäten selbst ist, der einen, das Extensive, die Äußerlichkeit an ihr selbst zu sein, der andern, das Intensive, das Insichseiende oder Negative gegen jene. Von den quantitativen Momenten kommt hiernach jener die Anzahl, dieser die Einheit zu, im einfachen direkten Verhältnisse ist jene als der Dividend, diese als Divisor, im specificirenden Verhältnis jene als die Potenz oder das Anderswerden, diese als Wurzel zu nehmen. Insofern hier noch gezählt, d. i. auf das äußerliche Quantum, (das so als die ganz zufällige, empirischgenannte Größebestimmtheit ist) reflektiert, hiermit die Veränderung gleichfalls auch als in äußerlicher, arithmetischer Progression fortgehend genommen wird, so fällt dies auf die Seite der Einheit, der intensiven Qualität, die äußerliche, extensive Seite hingegen ist als in der spezifizierten Reihe sich verändernd darzustellen. Aber das direkte Verhältnis (wie die Geschwindigkeit überhaupt, s/t) ist hier zur formellen, nicht existierenden, sondern nur der abstrahierenden Reflexion angehörigen Bestimmung herabgesetzt; und wenn noch im Verhältnis von Wurzel und Quadrat (wie in s= at²) die Wurzel als empirisches Quantum und in arithmetischer Progression fortgehend, die andere Seite aber als spezifiziert zu nehmen ist, so ist die höhere dem Begriffe entsprechendere Realisation der Qualifikation des Quantitativen diese, dass beide Seiten in höhern Potenzenbestimmungen (wie in s³= at² der Fall ist) sich verhalten.

Anmerkung

Das hier Erörterte in Rücksicht des Zusammenhangs der qualitativen Natur eines Daseins und seiner Quantitätsbestimmung im Masse, hat seine Anwendung in dem schon angedeuteten Beispiel der Bewegung, zunächst dass in der Geschwindigkeit, als dem direkten Verhältnisse von durchlaufenem Raume und verflossener Zeit, die Größe der Zeit als Nenner, die Größe des Raums dagegen als Zähler, angenommen wird. Wenn Geschwindigkeit überhaupt nur ein Verhältnis vom Raum und der Zeit einer Bewegung ist, so ist es gleichgültig, welches von beiden Momenten als die Anzahl oder als die Einheit betrachtet werden soll. Aber Raum, wie in der spezifischen Schwere das Gewicht, ist äußerliches, reales Ganzes überhaupt, somit Anzahl, die Zeit hingegen, wie das Volumen, ist das Ideelle, das Negative, die Seite der Einheit. – Wesentlich aber gehört hierher das wichtigere Verhältnis, dass in der freien Bewegung, – zuerst der noch bedingten –, des Falls, Zeit- und Raum-Quantität, jene als Wurzel, diese als Quadrat, – oder in der absolutfreien Bewegung der Himmelskörper die Umlaufszeit und die Entfernung, jene um eine Potenz tiefer als diese, – jene als Quadrat, diese als Kubus gegen einander bestimmt seien. Dergleichen Grundverhältnisse beruhen auf der Natur der im Verhältnis stehenden Qualitäten, des Raums und der Zeit, und der Art der Beziehung, in welcher sie stehen, entweder als mechanische Bewegung d. i. als unfreie, durch den Begriff der Momente nicht bestimmte, oder als Fall d. i. bedingt freie, oder als absolutfreie himmlische Bewegung; – welche Arten der Bewegung ebensowohl als deren Gesetze auf der Entwicklung des Begriffs ihrer Momente, des Raums und der Zeit, beruhen, indem diese Qualitäten als solche, an sich d. i. im Begriffe sich als untrennbar erweisen, und ihr quantitatives Verhältnis das Fürsichsein des Maßes, nur Eine Maßbestimmung ist.

In Rücksicht auf die absoluten Maßverhältnisse darf wohl erinnert werden, dass die Mathematik der Natur, wenn sie des Namens von Wissenschaft würdig sein will, wesentlich die Wissenschaft der Masse sein müsse, – eine Wissenschaft für welche empirisch wohl viel, aber eigentlich wissenschaftlich d. i. philosophisch, noch wenig getan ist. Mathematische Prinzipien der Naturphilosophie, – wie Newton sein Werk genannt hat, – wenn sie diese Bestimmung in einem tiefern Sinn erfüllen sollten, als er und das ganze Baconische Geschlecht von Philosophie und Wissenschaft hatte, müssten ganz andere Dinge enthalten, um ein Licht in diese noch dunkeln aber höchst betrachtungswürdigen Regionen zu bringen. – Es ist ein großes Verdienst, die empirischen Zahlen der Natur kennen zu lernen, z. B. Entfernungen der Planeten von einander; aber ein unendlich größeres, die empirischen Quanta verschwinden zu machen, und sie in eine allgemeine Form von Quantitätsbestimmungen zu erheben, so dass sie Momente eines Gesetzes oder Maßes werden; – unsterbliche Verdienste, die sich z. B. Galilei in Rücksicht auf den Fall, und Keppler in Rücksicht auf die Bewegung der himmlischen Körper erworben hat. Sie haben die Gesetze, die sie gefunden haben, so erwiesen, dass sie gezeigt haben, dass ihnen der Umfang der Einzelnheiten der Wahrnehmung entspricht. Es muss aber noch ein höheres Beweisen dieser Gesetze gefordert werden; nämlich nichts anders als dass ihre Quantitätsbestimmungen aus den Qualitäten, oder bestimmten Begriffen, die bezogen sind, (wie Zeit und Raum) erkannt werden. Von dieser Art des Beweisens findet sich in jenen mathematischen Prinzipien der Naturphilosophie, so wie in den fernern Arbeiten dieser Art, noch keine Spur. Es ist oben bei Gelegenheit des Scheins mathematischer Beweise von Naturverhältnissen, der sich auf den Missbrauch des Unendlichkleinen gründet, bemerkt worden, dass der Versuch, solche Beweise eigentlich mathematisch d. h. weder aus der Empirie noch aus dem Begriffe, zu führen, ein widersinniges Unternehmen ist. Diese Beweise setzen ihre Theoreme, eben jene Gesetze, aus der Erfahrung voraus; was sie leisten, besteht darin, sie auf abstrakte Ausdrücke und bequeme Formeln zu bringen. Das ganze reelle Verdienst, das Newton im Vorzug gegen Keppler in Beziehung auf die nämlichen Gegenstände zugeschrieben wird, wird, das Scheingerüste von Beweisen abgezogen, – ohne Zweifel bei gereinigterer Reflexion über das, was die Mathematik zu leisten vermag und was sie geleistet hat, einst mit deutlicher Kenntnis auf jene Umformung des Ausdrucks¹⁴ und der den Anfängen nach eingeführten analytischen Behandlung, eingeschränkt werden.

C. Das Fürsichsein im Maße

1. In der so eben betrachteten Form des spezifizierten Maßes ist das Quantitative beider Seiten qualitativ bestimmt, (beide im Potenzen-Verhältnis); sie sind so Momente Einer Maßbestimmtheit von qualitativer Natur. Dabei sind aber die Qualitäten nur erst noch als unmittelbare, nur verschiedene gesetzt, die nicht selbst in jenem Verhältnisse stehen, in welchem ihre Größebestimmtheiten sind, nämlich außer solchem Verhältnisse, keinen Sinn noch Dasein zu haben, was die Potenzenbestimmtheit der Größe enthält. Das Qualitative verhüllt sich so, als nicht sich selbst, sondern die Grössebestimmtheit specificirend; nur als an dieser ist es gesetzt, für sich aber unmittelbare Qualität als solche, die außerhalb dessen, dass die Größe von ihr in Differenz gesetzt wird, und außer ihrer Beziehung auf ihre andere, noch für sich bestehendes Dasein habe. So Raum und Zeit gelten beide außer jener Spezifikation, die ihre Größebestimmtheit in der Bewegung des Falles oder in der absolutfreien Bewegung erhält, als Raum überhaupt, Zeit überhaupt, der Raum bestehend für sich außer und ohne die Zeit als dauernd, und die Zeit als für sich fließend unabhängig vom Raume.

Diese Unmittelbarkeit des Qualitativen gegen seine spezifische Maßbeziehung ist aber ebensosehr mit einer quantitativen Unmittelbarkeit und der Gleichgültigkeit eines Quantitativen an ihm gegen dies sein Verhältnis verknüpft; die unmittelbare Qualität hat auch ein nur unmittelbares Quantum. Daher hat denn das spezifische Maß auch eine Seite zunächst äußerlicher Veränderung, deren Fortgang bloß arithmetisch ist, von jenem nicht gestört wird, und in welche die äußerliche, darum nur empirische Größebestimmtheit fällt. Qualität und Quantum auch so außer dem spezifischen Masse auftretend, sind zugleich in der Beziehung auf dieses; die Unmittelbarkeit ist ein Moment von solchen, die selbst zum Masse gehören. So sind die unmittelbaren Qualitäten dem Masse auch angehörig, gleichfalls in Beziehung, und stehen nach der Größebestimmtheit in einem Verhältnis, welches als außerhalb des spezifizierten, der Potenzbestimmung, selbst nur das direkte Verhältnis, und unmittelbares Maß ist. Diese Folgerung und deren Zusammenhang ist näher anzugeben.

2. Das unmittelbar bestimmte Quantum als solches ist, wenn es auch als Maaßmoment sonst an sich in einem Begriffszusammenhang begründet ist, in der Beziehung zu dem spezifischen Masse als ein äußerlich gegebenes. Die Unmittelbarkeit, die hiermit gesetzt ist, ist aber die Negation der qualitativen Maßbestimmung; dieselbe wurde vorhin an den Seiten dieser Maßbestimmung aufgezeigt, welche darum als selbstständige Qualitäten erschienen. Solche Negation und das Zurückkehren zur unmittelbaren Quantitätsbestimmtheit liegt in dem qualitativbestimmten Verhältnisse insofern, als das Verhältnis Unterschiedener überhaupt deren Beziehung als Eine Bestimmtheit enthält, die hiermit hier im Quantitativen, unterschieden von der Verhältnisbestimmung, ein Quantum ist. Als Negation der unterschiedenen qualitativbestimmten Seiten ist dieser Exponent ein Fürsichsein, das Schlechthin-Bestimmtsein; aber ist solches Fürsichsein nur an sich; als Dasein ein einfaches, unmittelbares Quantum, Quotient oder Exponent als eines Verhältnisses der Seiten des Maßes, dies Verhältnis als ein direktes genommen; aber überhaupt die als empirisch erscheinende Einheit in dem Quantitativen des Maßes. – Im Falle der Körper stehen die durchlaufenen Räume im Verhältnisse des Quadrats der verflossenen Zeiten; s = at²; – dies ist das spezifisch-bestimmte, ein Potenzenverhältnis des Raums und der Zeit; das andere, das direkte Verhältnis, käme dem Raum und der Zeit, als gegeneinander gleichgültigen Qualitäten, zu; es soll das des Raumes zu dem ersten Zeitmomente sein; derselbe Coefficient, a, bleibt in allen folgenden Zeitpunkten; – die Einheit als ein gewöhnliches Quantum für die übrigens durch das specificirende Maß bestimmte Anzahl. Sie gilt zugleich als der Exponent jenes direkten Verhältnisses, welches der vorgestellten schlechten, d. i. formellen, nicht durch den Begriff spezifisch bestimmten Geschwindigkeit zukommt. Solche Geschwindigkeit existiert hier nicht, so wenig als die früher erwähnte, die dem Körper am Ende eines Zeitmoments zukommen sollte. Jene wird dem ersten Zeitmomente des Falles zugeschrieben, aber dieser sogenannte Zeitmoment ist eine selbst nur angenommene Einheit, und hat als solcher atomer Punkt kein Dasein; der Anfang der Bewegung, – die Kleinheit, die für diesen vorgegeben wird, könnte keinen Unterschied machen, – ist sogleich eine Größe und zwar eine durch das Gesetz des Falles spezifizierte Größe. Jenes empirische Quantum wird der Kraft der Schwere zugeschrieben, so dass diese Kraft selbst keine Beziehung auf die vorhandene Spezifikation, (die Potenzenbestimmtheit), auf das Eigentümliche der Maßbestimmung haben soll. Das unmittelbare Moment, dass in der Bewegung des Falles auf eine Zeiteinheit (– eine Secunde und zwar die sogenannte erste –) die Anzahl von etwa fünfzehn räumlichen Einheiten, die als Fuße angenommen sind, komme, ist ein unmittelbares Maß, wie die Maaßgröße der menschlichen Gliedmaaßen, die Distanzen, Durchmesser der Planeten u.s.f. Die Bestimmung solchen Maßes fällt anderswohin, als innerhalb der qualitativen Maßbestimmung hier des Gesetzes des Falles selbst; wovon aber solche Zahlen, das nur unmittelbar, daher als empirisch erscheinende eines Maßes, abhängen, darüber haben uns die konkreten Wissenschaften noch keinen Aufschluß gegeben. Hier haben wir es nur mit dieser Begriffsbestimmtheit zu tun; diese ist, dass jener empirische Coefficient das Fürsichsein in der Maßbestimmung ausmacht, aber nur das Moment des Fürsichseins, insofern dasselbe an sich und daher als unmittelbares ist. Das andere ist das Entwickelte dieses Fürsichseins, die spezifische Maßbestimmtheit der Seiten. – Die Schwere, im Verhältnisse des Fallens, einer zwar noch halb bedingten und nur halbfreien Bewegung, ist nach diesem zweiten Momente als eine Naturkraft anzusehen, so dass durch die Natur der Zeit und des Raums ihr Verhältnis bestimmt ist, und daher in die Schwere jene Spezifikation, das Potenzenverhältnis, fällt; jenes das einfache direkte Verhältnis drückt nur ein mechanisches Verhalten der Zeit und des Raumes aus, die formelle, äußerliche hervorgebrachte und determinierte Geschwindigkeit.

3. Das Maß hat sich dahin bestimmt, ein specificirtes Größenverhältnis zu sein, das als quantitativ das gewöhnliche äußerliche Quantum an ihm hat; dieses aber ist nicht ein Quantum überhaupt, sondern wesentlich als Bestimmungsmoment des Verhältnisses als solchen; es ist so Exponent, und als nun unmittelbares Bestimmtsein ein unveränderlicher Exponent, somit des schon erwähnten direkten Verhältnisses derselben Qualitäten, durch welches zugleich ihr Größenverhältnis zu einander spezifisch bestimmt wird. Dieses direkte Verhältnis ist im gebrauchten Beispiel des Maßes der Fallbewegung gleichsam antizipiert und als vorhanden angenommen; aber wie bemerkt existiert es in dieser Bewegung noch nicht. – Es macht aber die weitere Bestimmung aus, dass das Maß nun auf die Weise realisiert ist, dass seine beiden Seiten Masse, unterschieden als unmittelbares, äußerliches, und als in sich specificirtes, sind, und es die Einheit derselben ist. Als diese Einheit enthält das Maß das Verhältnis, in welchem die Größen durch die Natur der Qualitäten bestimmt und different gesetzt sind, und dessen Bestimmtheit daher ganz immanent und selbstständig, zugleich in das Fürsichsein des unmittelbaren Quantums, den Exponenten eines direkten Verhältnisses, zusammen gegangen ist; seine Selbstbestimmung ist darin negiert, indem es in diesem seinem Andern die letzte, fürsichseiende Bestimmtheit hat; und umgekehrt hat das unmittelbare Maß welches an ihm selbst qualitativ sein soll, an jenem erst in Wahrheit die qualitative Bestimmtheit. Diese negative Einheit ist reales Fürsichsein, die Kategorie eines Etwas, als Einheit von Qualitäten, die im Maaßverhältniße sind; – eine volle Selbstständigkeit. Unmittelbar geben die beiden, welche sich als zwei verschiedene Verhältnisse ergeben haben, auch ein zweifaches Dasein, oder näher solches selbstständige Ganze ist als Fürsichseiendes überhaupt zugleich ein Abstoßen in sich selbst in unterschiedene Selbstständige, deren qualitative Natur und Bestehen (Materialität) in ihrer Maßbestimmtheit liegt.